曲邊梯形的面積與定積分

1、22、定積分22. 1曲邊梯形的面積與定積分【知識網絡】1. 了解定積分的實際背景。2. 初步了解定積分的概念，并能根據定積分的意義計算簡單的定積分。 【典型例題】例1 (1)已知和式1P 2P 3P HI - np(p 0)當n + R時，無限趨近于一個常數(1)則A可用定積分表示為A. dx0 x(2)下列定積分為1Axdx1°xPdx10(x 1)dx1 1C. -0(；)Pdx1C. o1dx1 xD.0L)Pdx0 n1dx2(3)求由 y =ex,x= 2,y=1圍成的曲邊梯形的面積時，若選擇x為積分變量，則積分區(qū)間(A . 0,B . 0, 2C. : 1 , 2D .

2、 : 0, 1 :(4) 由y=cosx及x軸圍成的介于0與2 n之間的平面圖形的面積，利用定積分應表達為.(5) 計算 | ； 1 - x2 dx =。0例2利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分的值是正是負？3n(1)4 sin xdx ; / °00(2)exdx ;(3)112 In xdx .3 利用定積分的幾何意義，比較下列定積分的大小.1 1 20xdx， 0xdx，0x3dx。例3計算下列定積分:1 1邛存1)ck ；2 32兀(3) ! cos xdx ;2，x3dx。例4利用定積分表示圖中四個圖形的面積:【課內練習】F歹OA .定積分值為0伽y1O-Oy = x2L

3、1dx)2.3.A.C.4.5.6.7.&9.10.1.A.2.()132B。2 o(x tanx x sinx)dx/x3 tanx x2 sin x)dx =32(x tanx x sinx)dxA. 0D。2 | x3 tan x x2 sinx | dxJ0b設連續(xù)函數f(x) >0,則當av b時，定積分 a f(x)dx的符號()一定是正的 B.當0<a<b時為正，當a<b<0時為負定是負的 D.當0<a<b時為負，當a<b<0時為正由直線y=x,y x 1，及x軸所圍成平面圖形的面積為()!1a. (1-y)-ydyb

4、。(_x+1)_xdx11C. 02 H - y - y dyD。°x -丨-x 1 dx和式丄 丄 川丄 當+R時，無限趨近于一個常數 A，則A用定積分可表 n+1 n+22n示為。曲線y =x2,x =0, y =1，所圍成的圖形的面積可用定積分表示為.計算曲邊三角形的面積的過程大致為：分割；以直代曲；作和；逼近。試用該方法計 算由直線x=0 , x=1, y=0和曲線y=x2所圍成的曲邊三角形的面積。(下列公式可供使I I I 2 2 2 1用：1 +2 + +n = n(n 1)(2 n 1)6求由曲線y =x 1與x =1,x =3, y=0所圍的圖形的面積.，"

5、亠|2x, 0 蘭xc1,計算(f(x)dx，其中，仁刈=5,仁x蘭2.彈簧在拉伸過程中，力與伸長量成正比，即力F(x)=kx (k是正的常數，x是伸長量)，求彈簧從平衡位置拉長 b所做的功。22、定積分22. 1曲邊梯形的面積與定積分A組a若f (x)是a, a上的連續(xù)偶函數，則f f(x)dx =* 3-0 0Jj(x)dxB . 0C. 2jf(x)dxD. f(x)dx變速直線運動的物體的速度為v(t)，初始t=0時所在位置為，則當秒末它所在的位置tio v(t)dtt1titiB. So0 v(t)dtc.0 v(t)dtSoD. So - 0 v(t)dt3.由直線y =x,y -

6、 -X J，及X軸所圍成平面圖形的面積為A ._y Aydy14.f(x)二h(x) 0g(x)：o.a ： X ： b，且 bh(x)dx=A,b _ x ： c. acb g(x)dx =B，給出下列結論: A > 0; B > 0;c f (x)dx = A B ;bac| f (x) |dx = A -B。La其中所有正確的結論有。5. 設函數f (x)的圖象與直線x =a, x =b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數 兀*2的面積。已知函數 y = sinnx在0, (n N )上的面積為 一。nnf(x)在a, b上y= sin3x 在0,上的面積為;C.: H -y -y

7、dy, 兀 4兀y= sin (3x n )+ 1在,上的面積為。3 36. 求由曲線y =1-x與x =0, x =3, y =0所圍的圖形的面積。7. 試根據定積分的定義說明下列兩個事實：bb cf(x)dx=c f (x)dx ;a'a_b.b.b(f (x) g(x)dx f(x)dx g(x)dx。aa'a2& 物體按規(guī)律x =4t (m)作直線運動，設介質的阻力與速度成正比，且速度等于10(m/s)時阻力為2 (N),求物體從x=0到x=2阻力所做的功的積分表達式.22、定積分22. 1曲邊梯形的面積與定積分B組1. 如果1kg力能拉長彈簧1cm，為了將彈簧

8、拉長 6cm，則力所作的功為A . 0.18kg m B. 0.26kg m C. 0.12kg m D. 0.28kgbbb2. 已知b>a,下列值：& f(x)dx ,玄1 f(x)|dx , I & f(x)dx|的大小關系為bbbA . |f (x)dx|>| f (x) |dx > f (x)dxaa-abbbB。| f (x) | dx > | f (x)dx|> f (x)dxaaabbbC. | f (x)|dx= | f (x)dx|= f (x)dxaaabbbD .| f (x)|dx= | f (x)dx|> f (x

9、)dxaa陽x=b所圍圖( )3. 若f(x)與g(x)是a, b上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線x=a,形的面積bbA . a f (x) -g(x) dxB. a (f (x) -g(x)dxbbC. a (g(x) - f(x)dxD. a(f(x) -g(x)dx4. 給出下列命題：b 若f(x)dx >0, b> a,貝U f(x) > 0;b 若 f(x) >0, b> a,貝yf (x)dx > 0;bab 若f (x)dx=0, b> a,則 f(x)=0 ；ab 若 f(x)=0 , b> a,貝Uf (x)dx=0 ；*

10、ab 若| f (x) | dx=0, b>a,則 f(x)=0 。a其中所有正確命題的序號為。5. 給出下列定積分： 2 sin xdx -sin xdx0 -222 xdx x dxJ其中為負值的有。6. 求由曲線y =2x 3, y =1, y =2, x =0所圍圖形的面積。7. 計算：.2,4-x2dx。& 試問下面的結論是否成立?若函數f(x)在區(qū)間a, b上是單調增函數，則bf (a)(b-a)豈 f (x)dx 豈 f (b)(b-a)。a若成立，請證明之；若不成立，請說明理由。參考答案22. 1曲邊梯形的面積與定積分【典型例題】例 1 (1) B .(2) C.

11、3. B。2 n亠(4)0 |cosx dx 或 4 J(2 cosxdx。(5) n。提示：這是求單位圓落在第一象限內部分的面積。4例 2©( 1)正(2)正(3)負。1 1 2 1 3 xdx > x dx > x dx。J0JoJ0545例 3(1)-；(2) 45 ; (3)0 ; (4)0。22a 2220222例 4(1)S0X2dx ; S/2dx ； (3) S=.(x-1)2-1dx- 0(x-1)2-1dx ;b S dx.La【課內練習】1. c。2. A。提示：被積函數為奇函數，且積分區(qū)間又關于原點對稱，利用定積分的幾何意義知，面積的代數和為0。3. A。4. C。1 15. dx。牛+x1 26. ° (1 -x )dx。17. 。提示：請參看教材P4244。3& 6。9.6?？捎谩胺指睿灰灾贝?；作和；逼近”求得:W = fkxdx = kb 0210.1.2.3.4.5.6.7.&1.2.3.4.5.6.7.&本資料來源于七彩教育網22. 1曲邊梯形的面積與定積分C。B。C。4 2-:-no333一 o2定積分的定義實質反映了計算的過程，也就是：分割；以直代曲；作和；逼近。可嘗 試用這四步進行說明或證明。變力作功公式中