線性分組碼編碼分析與實(shí)現(xiàn)

1、吉林建筑大學(xué)電氣與電子信息工程學(xué)院信息理論與編碼課程設(shè)計(jì)報(bào)告設(shè)計(jì)題目：線性分組碼編碼的分析與實(shí)現(xiàn)專業(yè)班級(jí)：電子信息工程 111學(xué)生姓名：學(xué) 號(hào):指導(dǎo)教師：設(shè)計(jì)時(shí)間：2014.11.24- 2014.12.5教師評(píng)語：成績(jī)?cè)u(píng)閱教師日期第1章概述1.1設(shè)計(jì)的作用、目的1、 通過完成具體編碼算法的程序設(shè)計(jì)和調(diào)試工作，提高編程能力，深刻理解 信源編碼、信道編譯碼的基本思想。2、加深對(duì)理論知識(shí)的理解，提高實(shí)踐技能，培養(yǎng)獨(dú)立分析問題及解決問題的 能力。3、掌握編碼的基本原理與編碼過程，增強(qiáng)邏輯思維能力。4、使用MATLABH或其他語言進(jìn)行編程及實(shí)現(xiàn)。1.2設(shè)計(jì)任務(wù)及要求設(shè)計(jì)一個(gè)(7,3)線性分組碼的編譯碼

2、程序，完成對(duì)任意序列的編碼，根據(jù) 生成矩陣形成監(jiān)督矩陣，得到伴隨式下，并根據(jù)其進(jìn)行譯碼，同時(shí)驗(yàn)證工作的正 確性，最基本的是要具備對(duì)輸入的信息碼進(jìn)行編碼，讓它具有抗干擾的能力。1. 理解無失真信源編碼的理論基礎(chǔ)，掌握無失真信源編碼的基本方法；2. 掌握哈夫曼編碼/費(fèi)諾編碼方法的基本步驟及優(yōu)缺點(diǎn)；3. 深刻理解信道編碼的基本思想與目的，理解線性分組碼的基本原理與編 碼過程4. 能夠使用MATLAB或其他語言進(jìn)行編程，編寫的函數(shù)要有通用性。1.3設(shè)計(jì)內(nèi)容已知一個(gè)(7,3)線性分組碼的校驗(yàn)元與信息元有如下限定關(guān)系。設(shè)碼字為(C1,c2,C3, C4, C5, C6,C7)C4 = q C3C5 = G

3、C?C3C6 = C| c21C7 =C2 C3求出標(biāo)準(zhǔn)校驗(yàn)矩陣、Q矩陣、標(biāo)準(zhǔn)生成矩陣，完成對(duì)任意信息序列(23個(gè) 許用碼字)的編碼。當(dāng)接收碼字分別為(0000000), (0000001), (0000010), (0000100), (0001000), (0010000), (0100000), (1000000), (0100100時(shí)，寫出其伴隨式 S，以表格形式寫出 伴隨式與錯(cuò)誤圖樣E的對(duì)應(yīng)關(guān)系，糾錯(cuò)并正確譯碼，當(dāng)有兩位錯(cuò)碼時(shí)，假定為 C5位和C2位發(fā)生錯(cuò)誤。第2章線性分組碼編碼分析與實(shí)現(xiàn)2.1設(shè)計(jì)原理1. 線性分組碼的生成矩陣和校驗(yàn)矩陣(1) (n, k)線性分組碼的性質(zhì)1、封閉性

4、。任意兩個(gè)碼組的和還是許用的碼組。2、碼的最小距離等于非零碼的最小碼重。對(duì)于長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制線性分組碼，它有種2n可能的碼組，從2n種碼組中， 可以選擇M=2k個(gè)碼組(kvn)組成一種碼。這樣，一個(gè) k比特信息的線性分組 碼可以映射到一個(gè)長(zhǎng)度為n碼組上，該碼組是從M=2k個(gè)碼組構(gòu)成的碼集中選出 來的，這樣剩下的碼組就可以對(duì)這個(gè)分組碼進(jìn)行檢錯(cuò)或糾錯(cuò)。對(duì)于碼組長(zhǎng)度為n、信息碼元為k位、監(jiān)督碼元為r= n-k位的分組碼，常 記作(n，k)碼，如果滿足2r- 1 n則有可能構(gòu)造出糾正一位或一位以上錯(cuò)誤 的線性碼。(2) 生成矩陣和校驗(yàn)矩陣線性分組碼碼空間C是由k個(gè)線性無關(guān)的基底gk，g1 go，張成的

5、k維n 重子空間，碼空間的所有元素(即碼字)都可以寫成k個(gè)基底的線性組合，即c = mu g丄川 mg mg這種線性組合特性正是線性分組碼名稱的來歷。顯然，研究線性分組的關(guān)鍵是研究基底、子空間和映射規(guī)則，可把子空間和映射關(guān)系畫成如圖一所示的圖形。圖2.1碼空間與映射用gi表示第i個(gè)基底并寫成1 n矩陣形式gi - gm 9心，gm gio】再將k個(gè)基底排列成k行n列的G矩陣，得:g（k）（nd_）g（k J）1G =際川,gi,g】=川 gi（n）I”gi1g0（n）HIgoig（k）ogiogoo由于k個(gè)基底即G的k個(gè)行矢量線性無關(guān)，矩陣G的秩一定等于k，當(dāng)信息元確 定后，碼字僅由G矩陣決定

6、，因此稱這k n矩陣G為該n k線性分組碼的生成矩陣。基底不是唯一的，生成矩陣也就不是唯一的。事實(shí)上，將 k個(gè)基底線性組合 后產(chǎn)生另一組k個(gè)矢量，只要滿足線性無關(guān)的條件，依然可以作為基底張成一個(gè) 碼空間。不同的基地有可能生成同一個(gè)碼集，但因編碼涉及碼集和映射兩個(gè)因素， 碼集一樣而映射方法不同也不能說是同樣的碼?；椎木€性組合等效于生成矩陣G的行運(yùn)算，可以產(chǎn)生一組新的基底。利用這點(diǎn)可使生成矩陣具有如下的系統(tǒng)形式”：-i00 :P（k）（n_k_i）P（k 丄l）iP（k _i）0G = Ik :P 】=0i0 -9+a+33pi（n _k _1）piipi0000 i -p0（ n _k _i）

7、P01P00一這里P是k n-k矩陣；Ik是k k單位矩陣，從而保證了矩陣的秩是 K與任何一個(gè)n,k分組線性碼的碼空間C相對(duì)應(yīng)，一定存在一個(gè)對(duì)偶空間D。 事實(shí)上，碼空間基底數(shù)k只是n維n重空間全部n個(gè)基底的一部分，若能找出另 外n-k個(gè)基底，也就找到了對(duì)偶空間 D。既然用k個(gè)基底能產(chǎn)生一個(gè)n,k分組 線性碼，那么也就能用n-k個(gè)基底產(chǎn)生包含2n*個(gè)碼字的n,n-k分組線性碼， 稱n,n-k碼是n,k碼的對(duì)偶碼。將D空間的n - k個(gè)基底排列起來可構(gòu)成一個(gè)n-k n矩陣，將這個(gè)矩陣稱為碼空間C的校驗(yàn)矩陣H ,而它正是n,n-k對(duì)偶 碼的生成矩陣，它的每一行是對(duì)偶碼的一個(gè)碼字。C和D的對(duì)偶是互相的

8、，G是 C的生成矩陣又是D的校驗(yàn)矩陣，而H是D的生成矩陣，又是C的校驗(yàn)矩陣。 由于C的基底和D的基底正交，空間C和空間D也正交，它們互為零空間。因 此，n,k線性碼的任意碼字c一定正交于其對(duì)偶碼的任意一個(gè)碼字， 也必定正交 于校驗(yàn)矩陣H的任意一個(gè)行矢量，即cHT =0。由于生成矩陣的每個(gè)行矢量都是 一個(gè)碼字，因此必有GHT = 0。對(duì)于生成矩陣符合 系統(tǒng)形式” G的系統(tǒng)碼，其校 驗(yàn)矩陣也是規(guī)則的，必為：H - L pT 1|n_kl上式中的負(fù)號(hào)在二進(jìn)制碼情況下可以省略，因?yàn)槟?減法和模2加法是等同的。（3）信息碼元及對(duì)應(yīng)碼字的關(guān)系（n，k）碼字中的任一碼字G，均可以由這組基底的線性組合生成，即

9、式中mij - 1叫叫ID叫上1的是k個(gè)信息元組的信息組，因此其信息碼元及 對(duì)應(yīng)碼字的關(guān)系如表一所示：表2.1信息碼元及對(duì)應(yīng)碼字關(guān)系信息組碼字000000000000100111010100100111011011101010010011101011010011110110100111111101002. 線性分組碼的伴隨式與譯碼（1）碼的距離及檢錯(cuò)能力兩個(gè)碼字之間，對(duì)應(yīng)位取之不同的個(gè)數(shù)，稱為漢明距離，用 d表示。一個(gè)碼的最小距離dmin定義為dmin =min ： d（cj，卩j = j,o,c，（n,k）,兩個(gè)碼字之間的距離表示了它們之間差別的大小。距離越大，兩個(gè)碼字的差別越大，則傳送時(shí)從

10、一個(gè)碼字錯(cuò)成另一碼字的可能性越小。碼的最小距離愈大，其抗干擾能力愈強(qiáng)任何最小距離dmin的線性分組碼，其檢錯(cuò)能力為dmin_1糾錯(cuò)能力t為最小距離dm.表明碼集中各碼字差異的程度，差異越大越容易區(qū)分，抗干擾能力 自然越強(qiáng)，因此成了衡量分組碼性能最重要的指標(biāo)之一。估算最小距離是糾錯(cuò)碼設(shè)計(jì)的必要步驟，最原始的方法是逐一計(jì)算兩兩碼字間距離，找到其中最小者。 含2k個(gè)碼字的碼集需計(jì)算2 -12個(gè)距離后才能找出dmin，費(fèi)時(shí)太多，實(shí)用中 還有一些更好更快的方法。線性分組碼的最小距離等于碼集中時(shí)非零碼字的最小重量，即dm i m i rtw G G C及G = 0式中，符號(hào)w q 表示c重量（1的個(gè)數(shù)）。

11、這里利用了群的封閉性，由于分組 碼是群碼，任意兩碼字之和仍是碼字，即Cj二ck二G c o因此任意兩碼字間的 漢明距離其實(shí)必是另一碼字的重量，表示為成下面公式形式。d Ci,Ck 二 wCj 二 Ck 二 wG ,mi n Q Cj,C-mi n fw G 1。于是可將最小距離問題 轉(zhuǎn)化為尋找最輕碼字問題，含2k個(gè)碼字的碼集僅需計(jì)算2k次。碼的檢錯(cuò)能力取決于碼的最小距離，但還需說明的另一點(diǎn)是碼的總體檢錯(cuò)能 力不僅僅與dmin有關(guān)。檢錯(cuò)能力t只是說明距離t的差錯(cuò)一定能糾，并非說距離大 于t的差錯(cuò)一定不能糾。事實(shí)上，如果有2k個(gè)碼子，就存在2k 2k-1 J2個(gè)距離, 這并非相等的。比如最小距離d

12、min =3，檢錯(cuò)力t =1，是由碼C2C1的距離決定， 只要C2朝G方向偏差大于1就會(huì)出現(xiàn)譯碼差錯(cuò)；然而若C2朝C3方向偏差3, 譯碼時(shí)仍可正確地判斷為C2而非C3?？梢?，總體的、平均的糾錯(cuò)能力不但與最 小距離有關(guān)，而且與其余碼距離或者說與碼子的重量分布特性有關(guān)，把碼距（碼重）的分布特性稱為距離（重量）譜，其中最小的重量就是 dmin o正如信息論各 符號(hào)等概時(shí)熵最大一樣，從概念上可以想象到：當(dāng)所有碼距相等時(shí)是（重量譜為線譜）碼的性能應(yīng)該最好；或者退一步說，當(dāng)各碼距相當(dāng)不大時(shí)（重量譜為窄譜） 性能應(yīng)該叫好。事實(shí)證明確實(shí)如此，在同樣的 dmin條件下，窄譜的碼一般比寬譜 的碼更優(yōu)。糾錯(cuò)重量譜的

13、研究具有理論與現(xiàn)實(shí)意義， 不僅僅是計(jì)算各種譯碼差錯(cuò) 概率的主要依據(jù)，也是研究碼的結(jié)構(gòu)、改善碼集內(nèi)部關(guān)系從而發(fā)現(xiàn)新的好碼的重 要工具。但目前除了少數(shù)幾類碼如漢明碼、 極長(zhǎng)碼等的重量分布已知外，還有很 多碼的重量分布并不知道，距離分布與性能之間確切的定量關(guān)系對(duì)于大部分碼而 言尚在進(jìn)一步研究當(dāng)中，特別當(dāng)n和k較大時(shí)，要得出碼重分布是非常困難的。重量譜可以如下多項(xiàng)式來表示，稱為重量算子，即nA（x ）=Aq + Ax + Ax? + 人乂33+人乂4川 AnXn =送 AjXniA式中的含義：在碼長(zhǎng)n的碼集里，包括重量為0的碼子Ao個(gè)（線性碼一定包含一 個(gè)重量為0的全0碼），碼重為1的碼字A個(gè)，重量為

14、n的碼字An個(gè)。（2）伴隨式與譯碼碼字c二在傳輸過程中受到各種干擾，接收端收碼R二從,川，12,1，已不一定等于發(fā)碼c，兩者間的差異就是差錯(cuò)，差錯(cuò)是多樣 化的，我們定義差錯(cuò)的式樣為差錯(cuò)圖樣 E,即Eh 4, I “&金產(chǎn) R - c hrn 4 - Cn111, ri - C|，ro - Co對(duì)于二進(jìn)制碼，模2減等同模2加，因此有E = R (及 R=C E m o d 2利用碼字與校驗(yàn)矩陣的正交性 CHT，可檢驗(yàn)收碼R是否錯(cuò)誤，即:-orht =( c+ e H = cU + Erro + E h=止 h 序o定義rht運(yùn)算結(jié)果為伴隨式S,即S 二 Sn*4,川，S,So 二 RHT-EH可

15、見，雖然R本身與發(fā)碼有關(guān)，但乘以HT后的伴隨式RHT=S = EHT僅與差錯(cuò)圖E有關(guān)，只反映信道對(duì)碼字造成怎樣的干擾而與發(fā)什么碼 C無關(guān)了。于是可以 先利用收碼R和已知的H算出的伴隨式S ；再利用S算出差錯(cuò)圖樣E。這種思路 下的編譯碼過程如圖所示。在此過程中，RHT和R E的計(jì)算都是確定性的，而從S計(jì)算E卻帶有隨機(jī)性。這是因?yàn)榘殡S式S是一個(gè)重失量，二進(jìn)制時(shí)只有種肯 那個(gè)的組合，而差錯(cuò)圖樣E是n重失量，有種可能的組合，因此 S與E不存在一 一對(duì)應(yīng)關(guān)系。假設(shè)接收端收到的碼字為B，那么它和原來發(fā)送端發(fā)送的碼字 A之間就有可 能存在著誤差。即在碼組A =玄a5 a4 a3 a2aQ中的任意一位就有可能

16、出錯(cuò)。這樣我們?cè)诮邮斩私邮盏揭粋€(gè)碼組是就有可能判斷錯(cuò)發(fā)送端原來應(yīng)該要 表達(dá)的意思。為了描述數(shù)據(jù)在傳輸信道中出現(xiàn)錯(cuò)誤的情況，引入了錯(cuò)誤圖樣E，在錯(cuò)誤圖樣中，0代表對(duì)應(yīng)位沒有傳錯(cuò)，1代表傳輸錯(cuò)誤。實(shí)際上錯(cuò)誤圖樣 E就 是收序列與發(fā)送序列的差。所以在譯碼中用接收到的碼字 B模爾加錯(cuò)誤圖樣E就 可以得到發(fā)送端的正確碼字A。因此譯碼的過程就是要找到錯(cuò)誤圖樣 E。定義：校正子SS 二 B* H 二 AT E * HT二 A* H T E* H T=E* H因?yàn)锳是編得的正確碼字。根據(jù)前面所敘述，它和監(jiān)督矩陣的轉(zhuǎn)置相乘為0。 顯然，S僅與錯(cuò)誤圖樣有關(guān)，它們之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。找到了校正子 S，也 就可以找

17、到E。而與發(fā)送的碼字無關(guān)。若E = 0，則S = 0 ;因此根據(jù)S是否為0 可進(jìn)行碼字的檢錯(cuò)。如果接收碼字B中只有一位碼元發(fā)生錯(cuò)誤，又設(shè)錯(cuò)誤在第i位。即Ey=1,其他的Ei均為0。在后面的譯碼程序中，建立了一個(gè)校正子 S與錯(cuò)誤圖樣E對(duì)應(yīng) 的表。也就是收到一個(gè)B序列，就可以通過計(jì)算得到一個(gè)校正子， 而每一個(gè)校正 子都對(duì)應(yīng)著一個(gè)錯(cuò)誤圖樣E，再通過B模爾加上E，就可以得到正確的碼字 A。因?yàn)樵诓煌腻e(cuò)誤序列B中，同一位碼元錯(cuò)誤時(shí)對(duì)應(yīng)的E是一樣的，所以可 以利用0000000這個(gè)正確的碼字讓它每位依次錯(cuò)誤， 來求得它的八個(gè)校正子。而 這時(shí)的矩陣B就是錯(cuò)誤圖樣E。2.2設(shè)計(jì)步驟1.編碼過程根據(jù)已知檢驗(yàn)元

18、與信息的關(guān)系，設(shè)碼字為(C1,C2, C3, C4, C5, C6,C7)C4 = q C3C5 = CC? C3= C| C2C7 = C? C3在由監(jiān)督矩陣和生成矩陣的關(guān)系如下：由H與G的分塊的矩陣形式H-QlnJ, G-|Jp1,P=QT?？梢郧蟪錾删仃嘒和監(jiān)督矩陣H。10 0 1110G= 0 1 0 0 1 1 10 0 1 110 1-1101111001H =11000011000 00 01 00 1有了生成矩陣后可以根據(jù)輸入的四位信息位和生成矩陣相乘得到編碼矩陣，即MATLAB函數(shù)為:C = rem I G,2其中為編碼后的結(jié)果，為信息矩陣，為生成矩陣。則編碼所有情況為:

19、編碼序列：信息位II監(jiān)督位-000000010011101010011111C =010011111001110|1010010|1110100111101010 一2.譯碼過程對(duì)于譯碼過程來說，由上面可知道監(jiān)督矩陣：10 110 0 01110 10 0 H =11 1 0 0 0 1 0衛(wèi) 1 1 0 0 0 1一H矩陣與n,k碼的任何一個(gè)許用碼字進(jìn)行相乘的結(jié)果必等于 0,即若C =m_G是任一 n,k碼字，則必有CUHT = 0。若不屬于許用碼字，或有傳輸差錯(cuò)，且差錯(cuò)位數(shù)在n,k碼糾錯(cuò)能力內(nèi)，則運(yùn)算結(jié)果將為非0值，此時(shí)，可以糾錯(cuò)或檢錯(cuò)重發(fā)。C7為第一位，則:設(shè)接收的碼字(C1,C2,C3

20、,C4,C5,C6,C7)，C1為第七位,(1) 當(dāng)接收碼字為(0000000)時(shí)：1011 伴隨式 S0 = R H T = 0000000 1100_0101000011000I1二 1-0000 1所以此時(shí)接收編碼無錯(cuò)誤。(2)當(dāng)接收碼字為(0000001)時(shí):伴隨式3 = R H T10丨1二0000001 丨 100_00110001二 1-0001 1所以，此時(shí)接收編碼第一位發(fā)生錯(cuò)誤，糾錯(cuò)后的正確譯碼為(000000)1110（3）當(dāng)接收碼字為（0000010）時(shí):0 111伴隨式S2110RhT = 10000010 100j01000100010 | = 0010001所以，此

21、時(shí)接收編碼第二位發(fā)生錯(cuò)誤，糾錯(cuò)后的正確譯碼為（000000）（4）當(dāng)接收碼字為（0000100）時(shí):1110111110伴隨式 S3 = R H 丁 = 10000100 1100010|001.0000110 = 10100 001所以，此時(shí)接收編碼第三位發(fā)生錯(cuò)誤，糾錯(cuò)后的正確譯碼為（000000）（5）當(dāng)接收碼字為（0001000）時(shí):11100 1111 1伴隨式 S4 = R H 丁 二0001000 丨 100 10 0_0 0010 0 = 1-1000 1001001所以，此時(shí)接收編碼第四位發(fā)生錯(cuò)誤，糾錯(cuò)后的正確譯碼為（000000）（6）當(dāng)接收碼字為（0010000）時(shí)：111

22、00111111 0 1伴隨式 S5 = R H 丁 =【0010000 11000010 000 1000 0 1所以，此時(shí)接收編碼第五位發(fā)生錯(cuò)誤，糾錯(cuò)后的正確譯碼為（7）當(dāng)接收碼字為（0100000）時(shí)：11100 11111101伴隨式 S6 = RH =【0100000 10000100|0010.0001所以，此時(shí)接收編碼第六位發(fā)生錯(cuò)誤，糾錯(cuò)后的正確譯碼為（8）當(dāng)接收碼字為（0100100）時(shí)：11100 111 H101伴隨式 S7 二 R H 丁 二0100100 丨 10000100|0010_0001=11101000000）。二 1-0111 1000000）。二 1-11

23、00 1所以，此時(shí)接收編碼C5位和C2位發(fā)生錯(cuò)誤，糾錯(cuò)后的正確譯碼（0000000）當(dāng)編碼矩陣與生成矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣相乘時(shí)，若當(dāng)其中的一位編碼或兩位出現(xiàn)差錯(cuò)時(shí)會(huì)有八種情況，則這些情況列出錯(cuò)碼矩陣如下表二:表2.2伴隨式S與錯(cuò)誤圖樣E的對(duì)應(yīng)關(guān)系校正子S差錯(cuò)圖樣E000000000000001000000100100000010010000001001000000100011010010000011101000001110100000000110100100第 3 章 仿真程序及結(jié)果分析3.1 仿真程序% H 監(jiān)督矩陣% G 生成矩陣% C 編碼矩陣% I 輸入信息序列% B 信道輸出碼% A 糾錯(cuò)

24、輸出碼序列% E 錯(cuò)碼矩陣% S 校驗(yàn)子矩陣% M 校驗(yàn)子的行的十進(jìn)制序列%信道編碼程序clear allclose allH=1 0 1 1 0 0 0;1 1 1 0 1 0 0;1 1 0 0 0 1 0;0 1 1 0 0 0 1; G=gen2par(H);%監(jiān)督矩陣 H%求 H 陣的生成矩陣 GI=0 0 0;0 0 1;0 1 0;0 1 1;1 0 0;1 0 1;1 1 0;1 1 1;C=rem(I*G,2);disp(所得的編碼結(jié)果為：C=);%求碼字 C%顯示輸出碼字 Cdisp(C);%信道譯碼程序 clear all; close all;H=1 0 1 1 0 0

25、 0;1 1 1 0 1 0 0;1 1 0 0 0 1 0;0 1 1 0 0 0 1;B=i nput(請(qǐng)輸入接收碼組 a,b=size(B);%監(jiān)督矩陣 H%返回?cái)?shù)組 R 的維數(shù)E=0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 0; 0 0 1 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 1 0 0;S=rem(B*H,2);%求校驗(yàn)子 Si=1;%求校驗(yàn)子所表示的十進(jìn)制整數(shù)for i=1:1:aM(i,1)=S(i,1).*8+S(i,2).*4+S(i,3).*2+S(i,4);

26、 endfor i=1:1:aswitch(M(i,1)case 0 A(i,:)=B(i,:)+E(1,:); case 1A(i,:)=B(i,:)+E(2,:); case 2A(i,:)=B(i,:)+E(3,:); case 4A(i,:)=B(i,:)+E(4,:); case 8A(i,:)=B(i,:)+E(5,:); case 13A(i,:)=B(i,:)+E(6,:); case 7A(i,:)=B(i,:)+E(7,:); case 14A(i,:)=B(i,:)+E(8,:);endend for i=1:1:a switch(M(i,1) case 0case 1disp（注意：第1位出現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤！請(qǐng)糾正?。?case 2disp（注意：第2位出現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤！請(qǐng)糾正?。?case 4disp（注意：第3位出現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤！請(qǐng)糾正?。?case 8disp（注意：第4位出現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤！請(qǐng)糾正?。?case 13disp（注意：第5位出現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤！請(qǐng)糾正?。?case 7disp（注意：第6位出現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤！請(qǐng)糾正！）;case 14disp（注意：c2位和c5位出現(xiàn)兩個(gè)錯(cuò)誤！請(qǐng)糾正?。?endendA=rem（A,