積分與路徑的無關(guān)性

1、授課題目§ 2柯西積分定理授課類型理論課首次授課時間2009年9月1 日學(xué)時2教學(xué)目標掌握柯西積分定理及推廣.重點與難點重點：柯西積分定理及推廣到復(fù)周線的情形 難點：柯西積分定理推廣到復(fù)周線的情形教學(xué)手段與方法黑板講授教學(xué)過程：(包括授課思路、過程設(shè)計、講解要點及各部分具體內(nèi)容、時間分配等)(一) 授課思路(二) 過程設(shè)計1. 回顧上節(jié)課的主要內(nèi)容2. 講授新課3. 課堂練習與討論4. 課堂小結(jié)與布置作業(yè)(三) 講解要點及各部分具體內(nèi)容：1.柯西積分定理從§1所舉的例子中可以看出，在例3.1(2)中，被積函數(shù)f(z)-z在單連通區(qū)域平面上解析，它沿連接起點與終點的任何路徑的

2、積分值都是相同，即積分與路徑無關(guān)， 但在例3.3中，被積函數(shù)f (z) = Re z在平面上處處不解析(見第二章習題1) ，而積分值卻與連接起點與終點 1 + i的路徑 無關(guān)下面給出周線積分的基本定理。定理：設(shè)f (z)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)， F(z)是f(z)在內(nèi)的原函數(shù)，即 Vz D, F'(z)= f (z)則對于內(nèi)上任意起點為，終點為的周線，有fdz = F(Z2)-F(Z1)。C注意定理的條件蘊含F(xiàn) (z)在內(nèi)解析。該定理的意義在于：把微積分基本定理推廣到周線積分上。證明：如果是光滑曲線，Z = z(t)例 1求 cos zdz,C其中如圖：1J-K解：因為對任意的，被積函數(shù)有原函數(shù)

3、，F(xiàn)(z)二sinz,不必再求C的參數(shù)表示，由定理 1Jcoszdz =sin z|節(jié)C例2求 1dz ，其中C分別如下圖：c z解: ( 1)在去掉負實軸的區(qū)域內(nèi)取對數(shù)函數(shù)的分支：F(z) = 1 n |z|，iarg z,(-二：:arg z< :)11i n n則在 區(qū)域 F (z)=，于是dz= F(z) . =i( +)=叫z cZ 亠 2 2推論1：若f(z)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)有原函數(shù)，則對內(nèi)的任意環(huán)線,有 fdz =0C這個推論提供了當n -1時，積分.(z-a)ndz的另一求法。C推論2.若f(Z)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)有原函數(shù)，則它沿內(nèi)的周線積分只依賴與周線的端點,即積

4、分與連接這兩點的路徑無關(guān)。如下圖:至此，我們將建立已討論的三個性質(zhì)的等價性:定理2.設(shè)f(Z)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則以下結(jié)論等價：(1) f (z)在內(nèi)的原函數(shù)(2) 沿內(nèi)的任意環(huán)線的積分為零。即對內(nèi)的任意環(huán)線，有fdz =0C(3 )沿內(nèi)的周線積分與路徑無關(guān)。，即對于內(nèi)任意兩點與，積分值Z1f (z)dz與連接起點與終點的路徑無關(guān)Z0證明：(2)(3)設(shè)與是內(nèi)連接與的兩條曲線，則正方向曲線與負方向曲線閉曲線，從而由定理及§1的性質(zhì)(3)有0= C f(z)dz = C f (z)dz C2_f (z)dzC就連接成內(nèi)的一條2因此 f(z)dz 二 C f(z)dzC1C2.f(z)dz只

5、其起點和終點有關(guān)，因而當起點固定時，對于一個D，就唯一地確定了一C個積分值 " f( )d， 這說明當固定時，積分就定義了內(nèi)的一個單值函數(shù)，記為z0z0F(z)二 Z1 f( )d (3.5)z0D，作一個以為心，以充分小的為半徑的圓，使得C：、 D，在內(nèi)取動點z 厶z(厶z = 0),F(z：z) -F(z)由于積分與路徑無關(guān)，因而我們可取f(©d Jz 屮)川z0Z二Z<<f( )d的積分路徑為由沿與%z f ( )d相同的路徑到,'Z)再從沿直線段到 Z Z (圖3 .3)z :.;_z _._Zo' '' "1f(z)d z f( )d - f(z)d Lz，zo是 F(z 叨F(z)-f(zr 1f( )d -f(z)Az zz “zzoVS但已知f (z)在內(nèi)連續(xù)，所以對- ； 0 ,可取上述的充分小，使得在內(nèi)的一切點均有f( ) - f (z):：；，從而由定理3.2有F(z：z) -F(z)1 z地b疋-f(z)P f(AfdS即F(zz)-F(z)即 F(z)=lizm.o=f(z)現(xiàn)在看來，定理2的作用不