華科線性代數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、第一部分 行列式重點(diǎn)：1 排列的逆序數(shù)（P.5例4；P.26第2、4題）2 行列式按行（列）展開法則（P.21例13；P.28第9題）3 行列式的性質(zhì)及行列式的計(jì)算（P.27第8題）【主要內(nèi)容】1、行列式的定義、性質(zhì)、展開定理、及其應(yīng)用克萊姆法則2、排列與逆序3、方陣的行列式4、幾個(gè)重要公式：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7） ； （8） （其中為階方陣，為常數(shù)）5、行列式的常見計(jì)算方法：（1）利用性質(zhì)化行列式為上（下）三角形；（2）利用行列式的展開定理降階；（3）根據(jù)行列式的特點(diǎn)借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定義，熟記幾個(gè)特殊行列式的值。2、掌握排

2、列與逆序的定義，會(huì)求一個(gè)排列的逆序數(shù)。3、能熟練應(yīng)用行列式的性質(zhì)、展開法則準(zhǔn)確計(jì)算3-5階行列式的值。4、會(huì)計(jì)算簡單的階行列式。5、知道并會(huì)用克萊姆法則。第二部分 矩陣1 矩陣的運(yùn)算性質(zhì)2 矩陣求逆及矩陣方程的求解（P.56第17、18題；P.78第5題）3 伴隨陣的性質(zhì)（P.41例9；P.56第23、24題；P.109第25題）、正交陣的性質(zhì)（P.116）4 矩陣的秩的性質(zhì)（P.69至71；P.100例13、14、15）【主要內(nèi)容】1、矩陣的概念、運(yùn)算性質(zhì)、特殊矩陣及其性質(zhì)。2、方陣的行列式3、可逆矩陣的定義、性質(zhì)、求法（公式法、初等變換法、分塊對(duì)角陣求逆）。4、階矩陣可逆為非奇異(非退化)

3、的矩陣。為滿秩矩陣。只有零解有唯一解的行（列）向量組線性無關(guān)的特征值全不為零?？梢越?jīng)過初等變換化為單位矩陣?？梢员硎境梢幌盗谐醯染仃嚨某朔e。5、矩陣的初等變換與初等矩陣的定義、性質(zhì)及其二者之間的關(guān)系。6、矩陣秩的概念及其求法（1）定義法；（2）初等變換法）。7、矩陣的分塊，分塊矩陣的運(yùn)算：加法，數(shù)乘，乘法以及分塊矩陣求逆?！疽蟆?、 了解矩陣的定義，熟悉幾類特殊矩陣（單位矩陣，對(duì)角矩陣，上、下三角形矩陣，對(duì)稱矩陣，可逆矩陣，伴隨矩陣，正交矩陣）的特殊性質(zhì)。2、熟悉矩陣的加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等運(yùn)算法則，會(huì)求方陣的行列式。3、熟悉矩陣初等變換與初等矩陣，并知道初等變換與初等矩陣的關(guān)系。4、掌握

4、矩陣可逆的充要條件，會(huì)求矩陣的逆矩陣。5、掌握矩陣秩的概念，會(huì)求矩陣的秩。6、掌握分塊矩陣的概念，運(yùn)算以及分塊矩陣求逆矩陣。第三部分 線性方程組1 線性方程組的解的判定，帶參數(shù)的方程組的解的判定2 齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）3 非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）【主要內(nèi)容】1、向量、向量組的線性表示：設(shè)有單個(gè)向量，向量組：，向量組：，則（1）向量可被向量組線性表示（2）向量組可被向量組線性表示（3） 向量組與向量組等價(jià)的充分必要條件是：（4）基本題型：判斷向量或向量組是否可由向量組線性表示？如果能，寫出表達(dá)式。解法：以向量組：以及向量或向量組:為列向量構(gòu)成矩陣，并對(duì)其進(jìn)行

5、初等行變換化為簡化階梯型矩陣，最終斷定。2、向量組的線性相關(guān)性判別向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的常用方法：方法一：（1）向量方程只有零解向量組 線性無關(guān)；（2）向量方程有非零解向量組 線性相關(guān)。方法二：求向量組的秩（1）秩小于個(gè)數(shù)s向量組線性相關(guān)（2）秩等于個(gè)數(shù)s 向量組線性無關(guān)。（3）特別的，如果向量組的向量個(gè)數(shù)與向量的維數(shù)相同，則向量組線性無關(guān)以向量組為列向量的矩陣的行列式非零；向量組線性相關(guān)以向量組為列向量的矩陣的行列式為零。3、向量組的極大無關(guān)組的概念（與向量空間的基、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的關(guān)系）及其求法?；绢}型：判斷向量組的相關(guān)性以及求出向量組的極大無關(guān)組。4、等價(jià)向量組的定義、

6、性質(zhì)、判定。5、向量組的秩與矩陣的秩之關(guān)系?！疽蟆?、掌握向量組、線性組合和線性表示的概念，知道兩個(gè)向量組等價(jià)的含義。2、掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義，并會(huì)判斷一個(gè)具體向量組的線性相關(guān)性。3、知道向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系，會(huì)求一個(gè)具體向量組的秩及其極大無關(guān)組。4、了解向量空間及其基和維數(shù)的概念第四部分 向量組（矩陣、方程組、向量組三者之間可以相互轉(zhuǎn)換）1向量組的線性表示2向量組的線性相關(guān)性3向量組的秩【主要內(nèi)容】1、齊次線性方程組只有零解系數(shù)矩陣的秩未知量個(gè)數(shù)n；2、齊次線性方程組有非零解系數(shù)矩陣的秩未知量個(gè)數(shù)n.3、非齊次線性方程組無解增廣矩陣秩系數(shù)矩陣的秩；4、非齊次線性方程組有

7、解增廣矩陣秩系數(shù)矩陣的秩 特別地，1）增廣矩陣的秩系數(shù)矩陣的秩未知量個(gè)數(shù)n非齊次線性方程組有唯一解；2）增廣矩陣的秩系數(shù)矩陣的秩 未知量個(gè)數(shù)n非齊次線性方程組有無窮多解?！疽蟆?、掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)、基礎(chǔ)解系的求法，2、掌握非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，熟悉非齊次線性方程組有解的等價(jià)條件。3、知道齊次與非齊次線性方程組的解之間的關(guān)系。4、會(huì)求解非齊次線性方程組。第五部分 方陣的特征值及特征向量1施密特正交化過程2特征值、特征向量的性質(zhì)及計(jì)算（P.120例8、9、10；P.135第7至13題）3矩陣的相似對(duì)角化，尤其是對(duì)稱陣的相似對(duì)角化（P.135第15、16、19、23題）【主要內(nèi)容】1

8、、向量的內(nèi)積、長度、夾角等概念及其計(jì)算方法。2、向量的正交關(guān)系及正交向量組的含義。3、施密特正交化方法。4、方陣的特征值與特征向量的概念及其計(jì)算方法。（1）特征值求法：解特征方程；（2）特征向量的求法：求方程組的基礎(chǔ)解系。5、相似矩陣的定義（）、性質(zhì)(相似、有相同的特征值)。6、判斷矩陣是否可以對(duì)角化以及對(duì)角化的步驟，找到可逆矩陣P使得為對(duì)角矩陣。7、用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟:（將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化）（1）寫出二次型的矩陣.（2）求出的所有特征值（3）解方程組（）求對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量（4）若特征向量組不正交，則先將其正交化，再單位化，得標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組，記，對(duì)二次型做正交變換,即得

9、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形8、正定二次型的定義及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定義法（2）特征值全大于零（3）順序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的內(nèi)積、長度、夾角，正交向量組的性質(zhì)，會(huì)利用施密特正交化方法化線性無關(guān)向量組為正交向量組。2、掌握方陣特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩陣的概念、掌握化對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣的方法。4、掌握二次型的概念、會(huì)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。5、知道正定二次型的概念及其判定方法。線性代數(shù)要注意的知識(shí)點(diǎn)1、行列式1. 行列式共有個(gè)元素，展開后有項(xiàng)，可分解為行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、和的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式

10、為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為；3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：4. 行列式的重要公式：、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積；、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積；、上、下三角行列式（）：主對(duì)角元素的乘積；、和：副對(duì)角元素的乘積；、拉普拉斯展開式：、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；、特征值 5. 證明的方法：、；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解；、利用秩，證明；、證明0是其特征值；2、矩陣是階可逆矩陣：（是非奇異矩陣）；（是滿秩矩陣）的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組有非零解；，總有唯一解；與等價(jià)；可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；的特征值全不為0；是正定矩陣；

11、的行（列）向量組是的一組基；是中某兩組基的過渡矩陣；6. 對(duì)于階矩陣： 無條件恒成立；7.8. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；9. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均、可逆：若，則：、；、；、3、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個(gè)矩陣，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：；等價(jià)類：所有與等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣；對(duì)于同型矩陣、，若；2. 行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個(gè)非0元素必須為1；、每行首個(gè)非0元素所在列的其他元素必須為0；3. 初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行

12、變換）、 若，則可逆，且；、對(duì)矩陣做初等行變化，當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，就變成，即：；、求解線形方程組：對(duì)于個(gè)未知數(shù)個(gè)方程，如果，則可逆，且；4. 初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)，且，例如：；、倍乘某行或某列，符號(hào)，且，例如：；、倍加某行或某列，符號(hào),且，如：；5. 矩陣秩的基本性質(zhì)：、；、；、若，則；、若、可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）、；（）、；（）、；（）、如果是矩陣，是矩陣，且，則：（）、的列向量全部是齊次方程組解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論）；、若、均為階

13、方陣，則；6. 三種特殊矩陣的方冪：、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；、型如的矩陣：利用二項(xiàng)展開式、利用特征值和相似對(duì)角化：7. 伴隨矩陣：、伴隨矩陣的秩：；、伴隨矩陣的特征值：；、8. 關(guān)于矩陣秩的描述：、，中有階子式不為0，階子式全部為0；（兩句話）、，中有階子式全部為0；、，中有階子式不為0；9. 線性方程組：，其中為矩陣，則：、與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組有個(gè)方程；、與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組為元方程；10. 線性方程組的求解：、對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）；、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；

14、11. 由個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的方程組構(gòu)成元線性方程：、；、（向量方程，為矩陣，個(gè)方程，個(gè)未知數(shù)）、（全部按列分塊，其中）；、（線性表出）、有解的充要條件：（為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1. 個(gè)維列向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；個(gè)維行向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)；2. 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)有、無非零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示是否有解；（矩陣方程）3. 矩陣與行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組和同解；(例14)4. ；(例15)5. 維向量線性相關(guān)的幾何意義：、線性相關(guān)；、線性

15、相關(guān)坐標(biāo)成比例或共線（平行）；、線性相關(guān)共面；6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若線性相關(guān)，則必線性相關(guān)；若線性無關(guān)，則必線性無關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶）若維向量組的每個(gè)向量上添上個(gè)分量，構(gòu)成維向量組：若線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；反之若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7. 向量組（個(gè)數(shù)為）能由向量組（個(gè)數(shù)為）線性表示，且線性無關(guān)，則；向量組能由向量組線性表示，則； 向量組能由向量組線性表示有解；向量組能由向量組等價(jià)8. 方陣可逆存在有限個(gè)初等矩陣，使；、矩陣行等價(jià)：（左乘，可逆）與同解、矩陣列等價(jià)：（右乘，可逆）；、矩陣等價(jià)：（

16、、可逆）；9. 對(duì)于矩陣與：、若與行等價(jià)，則與的行秩相等；、若與行等價(jià)，則與同解，且與的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣的行秩等于列秩；10. 若，則：、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）11. 齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；12. 設(shè)向量組可由向量組線性表示為： （）其中為，且線性無關(guān)，則組線性無關(guān)；（與的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：；充分性：反證法）注：當(dāng)時(shí)，為方陣，可當(dāng)作定理使用；13. 、對(duì)矩陣，存在，、的列向量線性無關(guān)； 、對(duì)矩陣，存在，、的行向量線性無關(guān)；14. 線性相關(guān)存在一組不全為0的數(shù)，