有限元法基礎(chǔ)-2理論基礎(chǔ)

1、第二章 有限元法的理論基礎(chǔ) 2.1 微分方程的等效積分形式2.2 等效積分的“弱”形式2.3 加權(quán)余量法2.4 變分原理2.5 Ritz法2.6 彈性力學(xué)的變分原理2.1 微分方程的等效積分形式l已知算子方程已知算子方程方程的解在域方程的解在域W W中的每一點(diǎn)都滿(mǎn)足算子方程和邊界條件中的每一點(diǎn)都滿(mǎn)足算子方程和邊界條件 有限元法基礎(chǔ)0AufBuWW在內(nèi)2.1 微分方程的等效積分形式l算子算子 設(shè)設(shè)X和和Y是同一數(shù)域是同一數(shù)域P上的兩個(gè)賦范線(xiàn)性空間，上的兩個(gè)賦范線(xiàn)性空間，D是是X的的一個(gè)子集，若存在某種對(duì)應(yīng)法則一個(gè)子集，若存在某種對(duì)應(yīng)法則T，使對(duì)任意，使對(duì)任意 , ,有有唯一確定的唯一確定的 與之

2、對(duì)應(yīng)，則與之對(duì)應(yīng)，則T稱(chēng)為稱(chēng)為X中中D到到Y(jié)的算子，或映射。的算子，或映射。D稱(chēng)為稱(chēng)為T(mén)的定義域，的定義域，y或或T( (x) )稱(chēng)為象，稱(chēng)為象，象的集合稱(chēng)為象的集合稱(chēng)為T(mén)的值域。的值域。l算子方程算子方程 設(shè)算子設(shè)算子T的定義域的定義域?yàn)闉镈， ，值域?yàn)?，值域?yàn)門(mén)(D), , 等式等式 稱(chēng)為算子方程。稱(chēng)為算子方程。 有限元法基礎(chǔ)xD( ) y =T xTxY()fT DuDTuf2.1 微分方程的等效積分形式l將算子方程及邊界條件在各自的定義域?qū)⑺阕臃匠碳斑吔鐥l件在各自的定義域中積分，有中積分，有 有限元法基礎(chǔ)()0v Auf dWW v對(duì)任意函數(shù)有() d0v BuW v對(duì)任意函數(shù)有2.1

3、 微分方程的等效積分形式l進(jìn)一步改寫(xiě)為進(jìn)一步改寫(xiě)為 可以證明在積分方程對(duì)任意的可以證明在積分方程對(duì)任意的v 都成立的話(huà)，則積分項(xiàng)都成立的話(huà)，則積分項(xiàng)在域內(nèi)每一點(diǎn)都滿(mǎn)足算子方程和邊界條件。在域內(nèi)每一點(diǎn)都滿(mǎn)足算子方程和邊界條件。l稱(chēng)為算子方程的等效形式稱(chēng)為算子方程的等效形式l特點(diǎn)特點(diǎn) 和和 是單值函數(shù)并且在定義域上可積是單值函數(shù)并且在定義域上可積 u的選擇取決于算子的選擇取決于算子A和和B 有限元法基礎(chǔ)()() d0v Auf dv BuWWW vv2.1 微分方程的等效積分形式l例：二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程例：二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程等效積分方程等效積分方程 有限元法基礎(chǔ)T00S0SqAufkkTQxxyy

4、TTBuTkqn 在上在上12()0qTSSvkkTQ dxxyyTwkqw TT dnWW 2.2 等效積分的“弱”形式l對(duì)積分方程分部積分得到另一種形式對(duì)積分方程分部積分得到另一種形式C、D、E、F是微分算子，它們的導(dǎo)數(shù)階數(shù)都比是微分算子，它們的導(dǎo)數(shù)階數(shù)都比A低。低。l積分方程特點(diǎn)積分方程特點(diǎn) 對(duì)對(duì)u的連續(xù)性要求降低了；對(duì)的連續(xù)性要求降低了；對(duì) 和和 的要求提高了。的要求提高了。l這種通過(guò)適當(dāng)提高對(duì)任意函數(shù)的連續(xù)性要求，以降這種通過(guò)適當(dāng)提高對(duì)任意函數(shù)的連續(xù)性要求，以降低對(duì)微分方程場(chǎng)函數(shù)的連續(xù)性要求所建立的積分形式低對(duì)微分方程場(chǎng)函數(shù)的連續(xù)性要求所建立的積分形式稱(chēng)為微分方程的等效積分稱(chēng)為微分方

5、程的等效積分“弱弱”形式形式有限元法基礎(chǔ)()()()()0Cv Du dEv Fu dWWW vv2.2 等效積分的“弱”形式l例：二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)例：二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo) 假設(shè)實(shí)現(xiàn)滿(mǎn)足邊界條件假設(shè)實(shí)現(xiàn)滿(mǎn)足邊界條件 ，等效積分，等效積分形式成為形式成為分部積分分部積分有限元法基礎(chǔ)T0STT在上10qSTvkkTQ dwkqxxyynWW ()()()()()()xyTvTTvkdxdykdxdyv kn dxxxxxTvTTvkdxdykdxdyv kn dyyyyyWWWWWW 2.2 等效積分的“弱”形式得到得到令令有限元法基礎(chǔ)10qxySv Tv TTTTkvQ dxdyvknndwkq dxx

6、yyxynWW 1qSwv 0qTSSTk vT dvQ dvq dkvdnWW WW 0Sqv 若使在上，積分方程更簡(jiǎn)捷2.3 加權(quán)余量法l由于實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性精確解難于找到，往往求近似解由于實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性精確解難于找到，往往求近似解 假設(shè)未知場(chǎng)函數(shù)假設(shè)未知場(chǎng)函數(shù)u u可用近似解表示可用近似解表示 為待定參數(shù)，為待定參數(shù)， 為已知的試函數(shù)。代入算子方程有為已知的試函數(shù)。代入算子方程有 和和 是方程的殘余量。取是方程的殘余量。取n個(gè)獨(dú)立的函數(shù)作為個(gè)獨(dú)立的函數(shù)作為v,得到得到 n 個(gè)方程，即個(gè)方程，即有限元法基礎(chǔ)1niiiuuN aNaiaiN();()AfRBRNaNaRR;(1, )jjv

7、wvwjn ()()0(1, )jjwAf dw BdjnWWWW NaNa0(1, )jjw Rdw RdjnWWWW 2.3 加權(quán)余量法l基于等效積分基于等效積分“弱弱”形式的近似方法形式的近似方法l定義：采用使余量的加權(quán)積分為零來(lái)求解微分方程近似定義：采用使余量的加權(quán)積分為零來(lái)求解微分方程近似解的方法成為加權(quán)余量法（解的方法成為加權(quán)余量法（Weighted Residual Method）l根據(jù)權(quán)函數(shù)的選取方法，可得到各種形式的加權(quán)余量的根據(jù)權(quán)函數(shù)的選取方法，可得到各種形式的加權(quán)余量的求解方法，最常見(jiàn)的是伽遼金（求解方法，最常見(jiàn)的是伽遼金（Galerkin）法）法l伽遼金法的特點(diǎn)是權(quán)函數(shù)

8、與試函數(shù)取相同的函數(shù)形式伽遼金法的特點(diǎn)是權(quán)函數(shù)與試函數(shù)取相同的函數(shù)形式 有限元法基礎(chǔ)()()()()0(1, )jjCwDu dEwFu djnWWW 2.3 加權(quán)余量法l取取 ，在邊界上，在邊界上 可得積分形式的余量方可得積分形式的余量方程組程組l注意到注意到 ，可將上式改寫(xiě)為，可將上式改寫(xiě)為l積分積分“弱弱”形式的方程組形式的方程組 有限元法基礎(chǔ)jjwNjjjwwN 11()()0(1, )nnjiijiiiiNAN afdN BN a djnWWWW ()()()()0C u Du dE u Fu dWWW 1122nnuNaNaNa( )( )0u A uf duB u dWWWW 2

9、.4 變分原理l線(xiàn)性自伴隨算子線(xiàn)性自伴隨算子 算子方程算子方程 在在 內(nèi)，若算子有如下性質(zhì)內(nèi)，若算子有如下性質(zhì) ， 和和 為任意常數(shù)為任意常數(shù) 則則A為線(xiàn)性算子。為線(xiàn)性算子。 定義內(nèi)積定義內(nèi)積 對(duì)上式進(jìn)行分部積分直至對(duì)上式進(jìn)行分部積分直至u的導(dǎo)數(shù)消失，即的導(dǎo)數(shù)消失，即 稱(chēng)為稱(chēng)為A 的伴隨算子，若的伴隨算子，若 稱(chēng)算子為自伴隨算子。稱(chēng)算子為自伴隨算子。 有限元法基礎(chǔ)AufW()AuvAuAv( , )u vv Au dWW*. .( , )v Au du A v dbt u vWWW W*A*AA2.4 變分原理l例：證明例：證明 是自伴隨算子。是自伴隨算子。 構(gòu)造內(nèi)積，并分部積分構(gòu)造內(nèi)積，并分

10、部積分 由上式可見(jiàn)由上式可見(jiàn)AA*. . 有限元法基礎(chǔ)22dAdx 222211112221112222()()()()()xxxxxxxxxxxxxxd udv duduv Au dxvdxdxvdxdx dxdxd vdvduudxuvdxdxdx 2.4 變分原理l微分方程為微分方程為利用線(xiàn)性自伴隨算子的性質(zhì)利用線(xiàn)性自伴隨算子的性質(zhì)伽遼金法的積分方程為伽遼金法的積分方程為 有限元法基礎(chǔ)0AufBuWW在 內(nèi)1111(). .(, )2222111(). .(, ). .(, )222u Au du Auu Au du Auu Audbtu uu AuuAudbtu uu Au dbtu

11、uWWWWWW W WWW( )( )0u A uf duB u dWWWW 2.4 變分原理l綜合上面的式子，有綜合上面的式子，有 其中其中 上式稱(chēng)為原問(wèn)題的變分原理上式稱(chēng)為原問(wèn)題的變分原理l特點(diǎn)特點(diǎn) 泛函中泛函中u的最高階次為二次，故成為二次泛函；的最高階次為二次，故成為二次泛函； 如果函數(shù)如果函數(shù)u及其變分及其變分 滿(mǎn)足一定的條件，能夠得到全變滿(mǎn)足一定的條件，能夠得到全變分形式，從而得到泛函的變分。分形式，從而得到泛函的變分。 有限元法基礎(chǔ)( )0u1( ). .( )2uu Auufdbt uWWu2.4 變分原理l例：二維熱傳導(dǎo)問(wèn)題例：二維熱傳導(dǎo)問(wèn)題 伽遼金法的積分方程為伽遼金法的積

12、分方程為 經(jīng)分部積分，并注意到在經(jīng)分部積分，并注意到在ST上上 ，有，有由此導(dǎo)出由此導(dǎo)出 有限元法基礎(chǔ)2222()()0qSTTTTkkQ dT kq dxynWW 0T()0qSTTTTkkT Q dTq dxxyyWW ( )0T2211( )22qSTTTkkTQ dT q dxyWW2.5 Ritz法l對(duì)于線(xiàn)性自伴隨算子，存在等效的變分原理，有近似解對(duì)于線(xiàn)性自伴隨算子，存在等效的變分原理，有近似解法法Ritz法法 設(shè)近似解為設(shè)近似解為Ni為取自完全系列的已知函數(shù)，為取自完全系列的已知函數(shù)，ai為待定參數(shù)。代入泛函為待定參數(shù)。代入泛函中，得到由待定參數(shù)表示的泛函，關(guān)于泛函變分，有中，得到

13、由待定參數(shù)表示的泛函，關(guān)于泛函變分，有由變分的任意性的方程組由變分的任意性的方程組 有限元法基礎(chǔ)1niiiuuN aNa12120nnaaaaaa 0(1, )iina2.5 Ritz法l對(duì)于二次泛函得到的是線(xiàn)性方程組對(duì)于二次泛函得到的是線(xiàn)性方程組l可以證明可以證明K是對(duì)稱(chēng)矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣l關(guān)于關(guān)于Ritz法的收斂性法的收斂性 當(dāng)試函數(shù)當(dāng)試函數(shù)Ni (i=1,n)i=1,n)取自完備函數(shù)系列，且滿(mǎn)足算取自完備函數(shù)系列，且滿(mǎn)足算子方程要求的連續(xù)性，當(dāng)子方程要求的連續(xù)性，當(dāng) 泛函泛函 單調(diào)收斂于單調(diào)收斂于 ，泛函具有極值泛函具有極值。有限元法基礎(chǔ)KaP0aijjiKKn ( )u ( )u2.5 R

14、itz法lRitz法應(yīng)用中的難點(diǎn)法應(yīng)用中的難點(diǎn) 求解域比較復(fù)雜時(shí)，選取滿(mǎn)足邊界的試函數(shù)往往產(chǎn)生求解域比較復(fù)雜時(shí)，選取滿(mǎn)足邊界的試函數(shù)往往產(chǎn)生難以克服的困難；難以克服的困難； 為了提高計(jì)算精度，需增加待定參數(shù)，這增加了求解為了提高計(jì)算精度，需增加待定參數(shù)，這增加了求解的復(fù)雜性；的復(fù)雜性；有限元法同樣建立在變分原理的基礎(chǔ)上的，可以有效地有限元法同樣建立在變分原理的基礎(chǔ)上的，可以有效地避免上述困難避免上述困難有限元法基礎(chǔ)2.6 彈性力學(xué)的變分原理l彈性力學(xué)中的變分原理包括彈性力學(xué)中的變分原理包括虛功原理、余虛功原理、最小勢(shì)能原理、最小余能原理、虛功原理、余虛功原理、最小勢(shì)能原理、最小余能原理、Hel

15、linger-Reissner（兩場(chǎng)廣義變分原理）、廣義變分原理（兩場(chǎng)廣義變分原理）、廣義變分原理（胡（胡-鷲原理）等。鷲原理）等。在一定條件下它們之間是可以相互等價(jià)的，如在真實(shí)解的在一定條件下它們之間是可以相互等價(jià)的，如在真實(shí)解的情況下情況下 ， 最小勢(shì)能原理最小余能原理最小勢(shì)能原理最小余能原理0；在滿(mǎn)足勒讓?zhuān)辉跐M(mǎn)足勒讓德變換的條件下，廣義變分原理與德變換的條件下，廣義變分原理與Hellinger-Reissner等價(jià)；等價(jià)；在材料有勢(shì)，外力有勢(shì)時(shí)虛功原理與最小勢(shì)能原理等價(jià)等在材料有勢(shì)，外力有勢(shì)時(shí)虛功原理與最小勢(shì)能原理等價(jià)等等。等。有限元法基礎(chǔ)2.6 彈性力學(xué)的變分原理l彈性力學(xué)的基本假設(shè)彈

16、性力學(xué)的基本假設(shè) 1 1）連續(xù)性假設(shè)）連續(xù)性假設(shè) 物體抽象成連續(xù)密實(shí)的空間幾何體，位移、應(yīng)變、應(yīng)力、能量等物體抽象成連續(xù)密實(shí)的空間幾何體，位移、應(yīng)變、應(yīng)力、能量等物理量作為空間點(diǎn)位置的函數(shù)定義在這個(gè)幾何體上。物體在整個(gè)變形物理量作為空間點(diǎn)位置的函數(shù)定義在這個(gè)幾何體上。物體在整個(gè)變形過(guò)程中始終保持連續(xù)。過(guò)程中始終保持連續(xù)。 2 2）彈性假設(shè)）彈性假設(shè) 彈性體的變形與載荷在整個(gè)加載和卸載過(guò)程中存在一一對(duì)應(yīng)的單值彈性體的變形與載荷在整個(gè)加載和卸載過(guò)程中存在一一對(duì)應(yīng)的單值函數(shù)關(guān)系，且載荷卸去后變形完全消失，服從虎克定律。函數(shù)關(guān)系，且載荷卸去后變形完全消失，服從虎克定律。有限元法基礎(chǔ)2.6 彈性力學(xué)的變

17、分原理 3 3）均勻性假設(shè)）均勻性假設(shè) 物體在個(gè)點(diǎn)處的彈性性質(zhì)都相同。物體在個(gè)點(diǎn)處的彈性性質(zhì)都相同。 4 4）自然狀態(tài)假設(shè)）自然狀態(tài)假設(shè) 假設(shè)物體不受外力作用和溫度的影響，物體便沒(méi)有應(yīng)力和變形，假設(shè)物體不受外力作用和溫度的影響，物體便沒(méi)有應(yīng)力和變形，即不考慮由于制造工藝引起的殘余應(yīng)力和裝配應(yīng)力。即不考慮由于制造工藝引起的殘余應(yīng)力和裝配應(yīng)力。有限元法基礎(chǔ)2.6.1 彈性力學(xué)基本方程 l平衡方程平衡方程l幾何方程幾何方程l本構(gòu)方程本構(gòu)方程 對(duì)各向同性彈性材料對(duì)各向同性彈性材料 Lam系數(shù)系數(shù) (下標(biāo)下標(biāo) i, j = 1,2,3 )有限元法基礎(chǔ),0ij jiFW在 內(nèi)1(),2uuiji jj i

18、W在 內(nèi)Cijijkl klW在 內(nèi)()ijklijklikjliljkC (1)(1 2 )2(1)EE2.6.1 彈性力學(xué)基本方程 l位移邊界條件位移邊界條件l力的邊界條件力的邊界條件有限元法基礎(chǔ)SiiTT在 上uuSSSSWSiiuuu在上2.6.1 彈性力學(xué)基本方程 l矩陣記法矩陣記法 平衡方程平衡方程 幾何方程幾何方程 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 位移邊界條件位移邊界條件 力的邊界條件力的邊界條件 應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度 余能密度余能密度 有限元法基礎(chǔ)TDF0 = Du,or-1 = C = SC = Su = uT = = T12T C12T S2.6.1 彈性力學(xué)基本方程 l符號(hào)定義為符號(hào)定

19、義為有限元法基礎(chǔ) , , ;, ;,TTTxyzyzxzxyxyzyzxzxyu v w u100011100011000(1)1 200(1)(1 2 )2(1)1 2.02(1)1 22(1)ESymC000000000 xyzzyzxyxD000000000Txyzzyzxyxnnnnnnnnn,TxyzF F FF2.6.1 彈性力學(xué)基本方程 l退化為平面問(wèn)題退化為平面問(wèn)題平面應(yīng)力時(shí)的材料常數(shù)矩陣 平面應(yīng)變時(shí)的材料常數(shù)矩陣 有限元法基礎(chǔ) , ;, ;,TTTxyzxyxyzxyu v u21010(1)1.2EsymC00 xyyxD00Txyyxnnnn,TxyF FF101(1)1

20、0(1)(1 2 )1 2.2(1)ESymC2.6.2 虛功原理l考慮一處于平衡的物體，即在域內(nèi)滿(mǎn)足平衡方程，在邊考慮一處于平衡的物體，即在域內(nèi)滿(mǎn)足平衡方程，在邊界上滿(mǎn)足力的邊界條件。以虛位移作為權(quán)函數(shù)得到等效界上滿(mǎn)足力的邊界條件。以虛位移作為權(quán)函數(shù)得到等效積分方程積分方程第一項(xiàng)分部積分得第一項(xiàng)分部積分得有限元法基礎(chǔ),()()0iij jiiijjiSuF dunT dWW ,1()2iij ji jijiijji jj iijiijjijijiijjududun duudun ddun d WWWWWWWW W W W2.6.2 虛功原理l注意到在注意到在S Su u上上 ，得到，得到l物

21、理意義物理意義 平衡力系在虛位移和虛應(yīng)變上做功的總和為零。反之，平衡力系在虛位移和虛應(yīng)變上做功的總和為零。反之，如果力系在虛位移上所作之功的和為零，則物體一定處如果力系在虛位移上所作之功的和為零，則物體一定處于平衡。虛功原理表述了力系平衡的必要而充分的條件。于平衡。虛功原理表述了力系平衡的必要而充分的條件。l特點(diǎn)特點(diǎn) 推導(dǎo)中未涉及本構(gòu)關(guān)系，它適用于小變形的非線(xiàn)性彈性推導(dǎo)中未涉及本構(gòu)關(guān)系，它適用于小變形的非線(xiàn)性彈性和彈塑性材料。和彈塑性材料。有限元法基礎(chǔ)0iu0ijijiiiiSdu FduTd WWWW 2.6.2 虛功原理l矩陣表達(dá)式矩陣表達(dá)式l類(lèi)似的方式可以導(dǎo)出余虛功原理類(lèi)似的方式可以導(dǎo)出

22、余虛功原理 如果位移是協(xié)調(diào)的，則虛應(yīng)力和虛邊界力所作之功的如果位移是協(xié)調(diào)的，則虛應(yīng)力和虛邊界力所作之功的總和為零?？偤蜑榱恪Ｓ邢拊ɑA(chǔ)TTTSdddWWW W u Fu TuTTSddWW T u2.6.3 最小勢(shì)能原理l假設(shè)材料存在勢(shì)函數(shù)，即假設(shè)材料存在勢(shì)函數(shù)，即l外力也存在外力勢(shì)，即外力也存在外力勢(shì)，即l虛功原理虛功原理l對(duì)于線(xiàn)彈性材料，以及外力變分為零的情況對(duì)于線(xiàn)彈性材料，以及外力變分為零的情況有限元法基礎(chǔ)()ijijijU( )iiiuFu ( )iiiuTu 0ijijiiiiSdu FduTd WWWW ( )0piu( )()( )( )piijiiSuUudu dWW1( )

23、()2piijijklkliiiiSuCFu dTu dWW2.6.3 最小勢(shì)能原理l泛函事先滿(mǎn)足位移協(xié)調(diào)條件泛函事先滿(mǎn)足位移協(xié)調(diào)條件 1 1） 2 2）l隱含滿(mǎn)足本構(gòu)關(guān)系隱含滿(mǎn)足本構(gòu)關(guān)系l泛函與平衡條件等價(jià)泛函與平衡條件等價(jià) 1 1） 2 2）有限元法基礎(chǔ)S0iiuiuuu在上,1()2iji jj iuuW在 內(nèi)ijijklklC,0ij jiFW在 內(nèi)SiiTT在 上2.6.3 最小勢(shì)能原理l取極小值的證明取極小值的證明 設(shè)設(shè) 為真實(shí)位移，為機(jī)動(dòng)許可的位移為真實(shí)位移，為機(jī)動(dòng)許可的位移 ，分，分別代入系統(tǒng)總勢(shì)能表達(dá)式，得別代入系統(tǒng)總勢(shì)能表達(dá)式，得根據(jù)虛功原理泛函的一階變分為零，二階變分表現(xiàn)

24、為應(yīng)根據(jù)虛功原理泛函的一階變分為零，二階變分表現(xiàn)為應(yīng)變能，有變能，有故真實(shí)解使系統(tǒng)勢(shì)能取極小值。故真實(shí)解使系統(tǒng)勢(shì)能取極小值。有限元法基礎(chǔ)iu*iiiuuu*211()()( )22piijijklkliiiipippSuCFudTuduWW ()pijijklkliiiiSCF u dT u dW W211022pijijklklCdW W *()( )pipiuu 2.6.3 最小勢(shì)能原理l基于最小勢(shì)能原理的解的下限性基于最小勢(shì)能原理的解的下限性 由能量守恒知，變形過(guò)程中的功等于彈性體變形后的由能量守恒知，變形過(guò)程中的功等于彈性體變形后的應(yīng)變能，即應(yīng)變能，即將此關(guān)系代入最小勢(shì)能原理，得將此關(guān)系代入最小勢(shì)能原理，得近似位移場(chǎng)總是比精確解偏小近似位移場(chǎng)總是比精確解偏小有限元法基礎(chǔ)111222iiiiijijklklSFu dTu dCdWWW W 應(yīng)變能外外力力功功11( )()22piijijklkliiiiijijklklSuCFu dTu dCdWWWW()( )pipiuu 1122ijijklklijijklklCdCdWWW W2.6.3 最小勢(shì)能原理l矩陣表達(dá)形式矩陣表達(dá)形式l變分取駐值變分取駐值有限元法基礎(chǔ)1()2TTTpSddWW（ ）u CF uT u12TTTpSddWW （ ）uDuC DuF uT uTT1()2()()()()0uuTTTpSTTT