高考數(shù)學(xué)試題分類匯編專題立體幾何理

1、2011年高考試題數(shù)學(xué)（理科）立體幾何一、選擇題:1. (2011年高考山東卷理科11)下圖是長和寬分別相等的兩個矩形給定下列三個命題：存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖其中真命題的個數(shù)是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0【答案】A【解析】對于,可以是放倒的三棱柱；容易判斷可以.2.(2011年高考浙江卷理科3)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是【答案】D 【解析】由正視圖可排除A、B選項；由俯視圖可排除C選項.3.(2011年高考浙江卷理科4)下列命題中錯誤的是（A）如果平面，那么

2、平面內(nèi)一定存在直線平行于平面（B）如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面（C）如果平面，平面，那么（D）如果平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面【答案】D 【解析】若面面，在面內(nèi)與面的交線不相交的直線平行平面，故A正確；B中若內(nèi)存在直線垂直平面，則，與題沒矛盾，所以B正確；由面面的性質(zhì)知選項C正確.4.(2011年高考安徽卷理科6)一個空間幾何體得三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 （A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80【答案】C【命題意圖】本題考查三視圖的識別以及空間多面體表面積的求法.【解析】由三視圖可知幾何體是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形

3、的上底為2，下底為4，高為4，。故【解題指導(dǎo)】：三視圖還原很關(guān)鍵，每一個數(shù)據(jù)都要標注準確。5.(2011年高考遼寧卷理科8)如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）(A) ACSB (B) AB平面SCD (C) SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角(D)AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角答案： D解析：對于A:因為SD平面ABCD，所以DSAC.因為四邊形ABCD為正方形，所以ACBD，故AC平面ABD,因為SB平面ABD,所以ACSB，正確.對于B：因為AB/CD,所以AB/平面SCD.對于C:設(shè).因為AC平面ABD，所以

4、SA和SC在平面SBD內(nèi)的射影為SO，則ASO和CSO就是SA與平面SBD所成的角和SC與平面SBD所成的角，二者相等，正確.故選D.6.(2011年高考遼寧卷理科12)已知球的直徑SC=4，A,B是該球球面上的兩點，AB=，則棱錐S-ABC的體積為（ ）（A） （B） （C） （D）17.(2011年高考全國新課標卷理科6)在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為8(2011年高考江西卷理科8)已知，是三個相互平行的平面平面，之間的距離為，平面，之間的距離為直線與，分別相交于，那么“=”是“”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分

5、也不必要條件【答案】C【解析】過點作平面的垂線g,交平面，分別于點A、B兩點,由兩個平面平行的性質(zhì)可知,所以,故選C.332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖19. (2011年高考湖南卷理科3)設(shè)圖1是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 A. B. C. D. 答案：B解析：由三視圖可以還原為一個底面為邊長是3的正方形，高為2的長方體以及一個直徑為3的球組成的簡單幾何體，其體積等于。故選B評析：本小題主要考查球與長方體組成的簡單幾何體的三視圖以及幾何體的體積計算.10.(2011年高考廣東卷理科7)如圖l3某幾何體的正視圖(主視圖)是平行四邊形，側(cè)視圖(左視圖)和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為（ ）

6、 A. B. C. D.【解析】B.由題得三視圖對應(yīng)的直觀圖是如圖所示的直四棱柱，。所以選B11.(2011年高考陜西卷理科5)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】：由三視圖可知該幾何體為立方體與圓錐，立方體棱長為2，圓錐底面半徑為1、高為2，所以體積為故選A12.(2011年高考重慶卷理科9)高為的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為（A） （B）（C）1 （D）解析：選C. 設(shè)底面中心為G，球心為O，則易得，于是，用一個與ABCD所在平面距離等于的平面去

7、截球，S便為其中一個交點，此平面的中心設(shè)為H，則，故，故13(2011年高考四川卷理科3)，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是( ) (A)， （B），(C)，共面 （D），共點，共面答案：B解析：A答案還有異面或者相交，C、D不一定14(2011年高考全國卷理科6)已知直二面角，點,C為垂足，為垂足若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于(A)(B) (C) (D) 1 【思路點撥】本題關(guān)鍵是找出或做出點D到平面ABC的距離DE，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)不難證明平面，進而平面ABC,所以過D作于E，則DE就是要求的距離?！敬鸢浮緾【解析】如圖，作于，由為直二面角，得平面，進而,

8、又,于是平面。故為到平面的距離。在中，利用等面積法得15. (2011年高考全國卷理科11)已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成，二面角的平面截該球面得圓N，若該球的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為 (A) (B) (c) (D)【答案】D【解析】：由圓的面積為得，在故選D16(2011年高考北京卷理科7)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中，最大的是A8 B C10 D【答案】C二、填空題:1.(2011年高考遼寧卷理科15)一個正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為，它的三視圖中的俯視圖如右圖所示，左視圖是一個矩形，則這個矩形的面積是_.答案： 解析：設(shè)正三棱柱的側(cè)棱

9、長和底面邊長為a，則由，解得a=2，正三棱柱的左視圖與底面一邊垂直的截面大小相同，故該矩形的面積是.2. (2011年高考全國新課標卷理科15)已知矩形的頂點都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為。答案: 解析：如圖，連接矩形對角線的交點和球心,則，,四棱錐的高為,所以，體積為點評：本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)概念和性質(zhì)以及體積的計算。關(guān)鍵是確定棱錐高的大小，正確運用公式求解。3(2011年高考天津卷理科10)一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則這個幾何體的體積為_ 【答案】【解析】由題意知,該幾何體為一個組合體,其下面是一個長方體(長為3m,寬為2m,高為1m),上面有一個圓錐(底

10、面半徑為1,高為3),所以其體積為.4. (2011年高考四川卷理科15)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱.當圓柱的側(cè)面積最大時，求球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是. 答案：解析：時，則5.(2011年高考全國卷理科16)己知點E、F分別在正方體ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于.【思路點撥】本題應(yīng)先找出兩平面的交線，進而找出或做出二面角的平面角是解決此問題的關(guān)鍵,延長EF必與BC相交，交點為P，則AP為面AEF與面ABC的交線.【答案】【精講精析】延長EF交BC的延長線于P，則AP為面AEF與面

11、ABC的交線，因為，所以為面AEF與面ABC所成的二面角的平面角。6(2011年高考福建卷理科12)三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，PA=3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐P-ABC的體積等于_?！敬鸢浮?(2011年高考上海卷理科7)若圓錐的側(cè)面積為，底面積為，則該圓錐的體積為 。【答案】；三、解答題:1. (2011年高考山東卷理科19)（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形， ACB=，平面，EF，.=.（)若是線段的中點，求證：平面;（）若=,求二面角-的大小【解析】（)連結(jié)AF,因為EF，EF=F,所以平面EFG平面ABCD,又易

12、證,所以,即,即,又M為AD的中點,所以,又因為D，所以M,所以四邊形AMGF是平行四邊形,故GMFA,又因為平面,FA平面,所以平面.（）取AB的中點O,連結(jié)CO,因為,所以COAB,又因為平面，CO平面,所以CO,又AB=A,所以CO平面,在平面ABEF內(nèi),過點O作OHBF于H,連結(jié)CH,由三垂線定理知: CHBF,所以為二面角-的平面角.設(shè)=,因為 ACB=，=,CO=,連結(jié)FO,容易證得FOEA且,所以,所以O(shè)H=,所以在中,tan CHO=,故 CHO=,所以二面角-的大小為.2.(2011年高考浙江卷理科20)（本題滿分15分）如圖，在三棱錐中，D為B

13、C的中點，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）證明：APBC；（）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A-MC-為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由?！窘馕觥勘绢}主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，空間向量的應(yīng)用，同時考查空間想象能力和運算求解能力。滿分15分法一：（）證明：如圖，以為原點，以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標系，則，由此可得 ，所以 ，即（）解：設(shè) ，則，設(shè)平面的法向量，平面的法向量 由 得即 ，可取 由即得可取，由得解得 ，故綜上所述，存在點M 符合題意，法二（）證明：又因為所以平面故（）如圖，

14、在平面內(nèi)作由（）知得平面，又平面所以平面平面在中，得在中，在中，所以得，在中，得又從而，所以綜上所述，存在點M 符合題意，.3.(2011年高考遼寧卷理科18)（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD.（I）證明：平面PQC平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.解：如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系Dxyz. （I）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.則所以即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. 6分 （II）

15、依題意有B（1，0，1），設(shè)是平面PBC的法向量，則因此可取設(shè)m是平面PBQ的法向量，則可取故二面角QBPC的余弦值為 12分4.(2011年高考安徽卷理科17)（本小題滿分12分）如圖，為多面體，平面與平面垂直，點在線段上，,，都是正三角形。（）證明直線；（II）求棱錐F-OBED的體積?！久}意圖】本題考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，空間直線平行的證明，多面體體積的計算等基本知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.【解析】（）(幾何法)設(shè)G為線段DA與線段延長線的交點由于OAB與ODE都是正三角形，OBDE且OB=DE，OG=OD=2,同理，設(shè)是線段DA與

16、線段FC延長線的交點，有OG=OD=2，又由于G和都在線段DA的延長線上，G與重合,在和中，由和,可知，B、C分別是GE和GF的中點， BC是的中位線， BCEF.(坐標法) 過F作FQAD，交D于點Q，連結(jié)QE，面ADFC面ABED, FQ面ABED，以Q點為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立如圖空間直角坐標系，由條件知，,則,.（）解：由OB=1，OE=2，,知=,而是邊長為2的正三角形，故, =,過F點作FQAD,交AD于Q，面ABED面ACFD，F(xiàn)Q面ABED，F(xiàn)Q就是四棱錐F-OBED的高，且FQ=， =.【解題指導(dǎo)】：空間線線、線面、面面位置關(guān)系的證明方法，一是要從

17、其上位或下位證明，本題的第一問方法一，是從其上位先證明面面平行，再借助面面平行的性質(zhì)得到線面平行，再借助線面平行的性質(zhì)得到線線平行；二是借助中位線定理等直接得到；三是借助空間向量直接證明。求不規(guī)則的幾何體體積或表面積，通常采用分割或補齊成規(guī)則幾何體即可。求解過程要堅持“一找二證三求”的順序和原則防止出錯。5. (2011年高考全國新課標卷理科18) (本小題滿分12分)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.()證明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。分析：（1）要證明線線垂直只要證明線面垂直或者用向

18、量去證明；（2）求二面角的余弦只需建立適當?shù)淖鴺讼?，有空間向量來完成。解：(1)證明：在三角形ABD中，因為該三角形為直角三角形，所以,（2）建立如圖的坐標系，設(shè)點的坐標分別是則，設(shè)平面PAB的法向量為，所以， 取得，同理設(shè)平面PBC的法向量為， 取得，于是，因此二面角的余弦值是。點評：該題考查空間內(nèi)的垂直關(guān)的證明，空間角的計算?？疾槎ɡ淼睦斫夂瓦\用，空間向量的運用。同時也考察了空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。解題時要注意法向量的計算和運用這一關(guān)鍵。6. (2011年高考天津卷理科17)（本小題滿分13分）如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦

19、值；（）求二面角的正弦值；（）設(shè)為棱的中點，點在平面內(nèi)，且平面，求線段的長本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.滿分13分. 方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點B為坐標原點. 依題意得 （I）解：易得， 于是 所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為 （II）解：易知 設(shè)平面AA1C1的法向量， 則即 不妨令可得， 同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量， 則即不妨令，可得于是從而所以二面角AA1C1B的正弦值為（）由N為棱的中點,得,設(shè),則,由平面,得,即,解得,故,因此,所以線段

20、的長為.7. (2011年高考江西卷理科21)（本小題滿分14分）（1）如圖，對于任一給定的四面體，找出依次排列的四個相互平行的，使得且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；（2）給定依次排列的四個相互平行的平面，其中每相鄰兩個平面間的距離為1，若一個正四面體的四個頂點滿足： 求該正四面體的體積解析：如圖，將此正四面體補形為正方體（如圖），分別取AB、CD、的中點E、F、，平面與是分別過點、的兩平行平面，若其距離為1，則正四面體滿足條件，右圖為正方體的下底面，設(shè)正方體的棱長為，若，因為，在直角三角形ADE中，AMDE，所以，所以，又正四面體的棱長為，所以此正四面體的體積為本題考查立體幾何中的面面關(guān)

21、系、正四面體及體積計算8(2011年高考湖南卷理科19)（本小題滿分12分）如圖5，在圓錐中，已知=，O的直徑,是的中點，為的中點（）證明：平面平面;（）求二面角的余弦值.解法1：連結(jié)OC，因為又底面O，AC底面O，所以，因為OD，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以平面POD，而平面PAC，所以平面POD平面PAC。（II）在平面POD中，過O作于H，由（I）知，平面所以平面PAC，又面PAC，所以在平面PAO中，過O作于G，連接HG，則有平面OGH，從而，故為二面角BPAC的平面角。在在在在所以故二面角BPAC的余弦值為解法2：（I）如圖所示，以O(shè)為坐標原點，OB、OC、OP所在直線分別

22、為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，設(shè)是平面POD的一個法向量，則由，得所以設(shè)是平面PAC的一個法向量，則由，得所以得。因為所以從而平面平面PAC。（II）因為y軸平面PAB，所以平面PAB的一個法向量為由（I）知，平面PAC的一個法向量為,設(shè)向量的夾角為，則由圖可知，二面角BPAC的平面角與相等，所以二面角BPAC的余弦值為9. (2011年高考廣東卷理科18)如圖5，在椎體中，是邊長為1的棱形，且,分別是的中點，（1） 證明：（2）求二面角的余弦值?！窘馕觥糠ㄒ唬海?）證明：取AD中點G，連接PG，BG，BD。因PA=PD，有，在中，有為等邊三角形，因此，所以平面PBG又PB/EF，

23、得，而DE/GB得AD DE，又，所以AD 平面DEF。 （2），為二面角PADB的平面角，在在法二：（1）取AD中點為G，因為又為等邊三角形，因此，從而平面PBG。延長BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，所以PO 平面ABCD。以O(shè)為坐標原點，菱形的邊長為單位長度，直線OB，OP分別為軸，z軸，平行于AD的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系。設(shè)由于得平面DEF。 （2）取平面ABD的法向量設(shè)平面PAD的法向量由取10. (2011年高考湖北卷理科18)（本小題滿分12分）如圖，已知，本棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點，動點F在側(cè)棱CC1上，且不與點C重

24、合.() 當CF=1時，求證：EFA1E()設(shè)二面角C-AF-E的大小為，求的最小值.本小題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力. 解析：過E點作ENAC于N，連結(jié)EF.（）如圖1，連結(jié)NF、AC1，由直線柱的性質(zhì)知，底面ABC側(cè)面A1C，又底面ABC側(cè)面A1C=AC，且EN底面ABC，所以EN側(cè)面A1C，NF為EF在側(cè)面內(nèi)的射影.在RtCEN中，CN=cos600=1.則由，得，又，故作，由三垂線定理知.（）如圖2。連結(jié)AF，過N作NMAF于M，連結(jié)ME，由（）知EN側(cè)面A1C。根據(jù)三垂線定理得EMAF,所以EMAF，所以是二面

25、角的平面角，即.設(shè)則.在中.在中，故，又，.故當，即當時，達到最小值，.此時F與C1重合.11.(2011年高考陜西卷理科16)（本小題滿分12分）如圖：在，沿把折起，使（）證明：平面；（）設(shè)?！窘馕觥浚海ǎ┱燮鹎埃?。（）由及（）知兩兩垂直，不妨設(shè)為坐標原點，以軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易得夾角的余弦值為12.(2011年高考重慶卷理科19)本小題滿分12分，（）小問5分，（）小問7分。如圖，在四面體中，平面 , ,=,= （）若=2，=2，求四邊形的體積。 （）若二面角-為，求異面直線與所成角的余弦值。 解析：（）如圖所示，設(shè)F為AC的中點，由于AD=CD,所以DFAC.故由平面 ,

26、知DF平面,即，。在中，因,AB=2BC,有勾股定理易得.故四面體ABCD的體積 （）如圖所示設(shè)G、H分別為變CD，BD的中點，則FG/AD,GH/BC,從而是異面直線與所成角或其補角。設(shè)E為邊AB的中點，則EF/BC,由，知，又由（）有DF平面，故由三垂線定理知,所以為二面角-的平面角,由題設(shè)知，設(shè)AD=a，則DF=ADsinCAD=在中，從而因，故BD=AD=a.從而，在中，,又,從而在中，因FG=FH，由余弦定理得,故異面直線與所成角的余弦值為.13(2011年高考四川卷理科19) (本小題共l2分) 如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中 BAC=90°，AB=AC=AA1 =

27、1D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1平面BDA(I)求證：CD=C1D：(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； ()求點C到平面B1DP的距離解析：（1）連接交于,又為的中點，中點，,D為的中點。（2）由題意,過B 作,連接，則,為二面角的平面角。在中，,則(3)因為，所以,在中，14.(2011年高考全國卷理科19)如圖，四棱錐中，,，側(cè)面為等邊三角形，.（）證明：;（)求與平面所成角的大小.【解析】（）：連結(jié)BD過D作，在，在，同理可證（）過做平面，如圖建立空間直角坐標系，可計算平面的一個法向量是，所以與平面所成角為15.(2011年高考江蘇卷1

28、6)如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點.求證：（1）直線EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD【解析】證明:（1）因為E、F分別是AP、AD的中點,所以EFPD,又因為EF平面PCD,PD平面PCD,所以直線EF平面PCD；（2）設(shè)AB=AD=,則AF=,又因為BAD=60°，所以在中,由余弦定理得：BF=，所以，所以BFAF，因為平面PAD平面ABCD，交線為AD，平面ABCD，所以BF平面PAD，因為平面BEF，所以平面BEF平面PAD.16(2011年高考北京卷理科16)（本小題共14分）如圖，在四棱

29、錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當平面與平面垂直時，求的長.證明：（）因為四邊形ABCD是菱形，所以ACBD.又因為PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）設(shè)ACBD=O.因為BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系Oxyz，則P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以設(shè)PB與AC所成角為，則.（）由（）知設(shè)P（0，t）（t>0），則設(shè)平面PBC的法向量,則 令則 同理，平面PDC的法向量平面PCB平面PDC,=0，即,解得PA=17(2011年高考福建卷理科20)（本小題滿分14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求證：平面PAB平面PAD；（II）設(shè)AB=AP （i）若直線PB與平面PCD所成的角為，求線段AB的長； （ii）在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等？說明理由。解析：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置