高考文科數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題匯總

1、04 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1.（天津文）19（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（）證明：對(duì)任意的在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn)【解析】（19）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點(diǎn)、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法，滿分14分。（）解：當(dāng)時(shí)，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）解：，令，解得因?yàn)?，以下分兩種情況討論：（1）若變化時(shí)，的變化情況如下表：+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是。（2）若，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是（）證明：由（）可知，當(dāng)時(shí)

2、，在內(nèi)的單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況討論：（1）當(dāng)時(shí)，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，所以對(duì)任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，若所以內(nèi)存在零點(diǎn)。若所以內(nèi)存在零點(diǎn)。所以，對(duì)任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)。綜上，對(duì)任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)。2.（北京文）18（本小題共13分）已知函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）求在區(qū)間0,1上的最小值.【解析】（18）（共13分）解：（）令，得與的情況如下：x（）（0+所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是（）；單調(diào)遞增區(qū)間是（）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在0，1上單調(diào)遞增，所以（x）在區(qū)間0，1上的最小值為當(dāng)時(shí)，由（）知上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞

3、增，所以在區(qū)間0，1上的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在0，1上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間0，1上的最小值為3.(全國大綱文)21（本小題滿分l2分）（注意：在試題卷上作答無效）已知函數(shù)（I）證明：曲線處的切線過點(diǎn)（2，2）；（II）若處取得極小值，求a的取值范圍。【解析】21解：（I）2分由得曲線處的切線方程為由此知曲線處的切線過點(diǎn)（2，2）6分（II）由（i）當(dāng)沒有極小值；（ii）當(dāng)?shù)霉视深}設(shè)知當(dāng)時(shí)，不等式無解。當(dāng)時(shí)，解不等式綜合（i）（ii）得a的取值范圍是12分4.（全國新文）21（本小題滿分12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為（I）求a，b的值；（II）證明：當(dāng)x>0，且時(shí)，【解析】（21

4、）解：（）由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故即解得，。（）由（）知，所以考慮函數(shù)，則所以當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)5.（遼寧文）20（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)=x+ax2+blnx，曲線y=過P（1,0），且在P點(diǎn)處的切斜線率為2（I）求a，b的值；（II）證明：2x-2【解析】20解：（I） 2分由已知條件得解得 5分（II），由（I）知設(shè)則而 12分6.（江西文）20（本小題滿分13分）設(shè)（1）如果處取得最小值-5，求的解析式；（2）如果的單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度是正整數(shù)，試求m和n的值；（注；區(qū)間（a，b）的長(zhǎng)度為b-a）【解析】20（本小題滿分13分）解：（1）由題得已知處取得最小值-5所以，即即

5、得所要求的解析式為（2）因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度為正整數(shù)，故一定有兩個(gè)不同的根，從而，不妨設(shè)為為正整數(shù)，故時(shí)才可能有符合條件的m，n當(dāng)m=2時(shí)，只有n=3符合要求當(dāng)m=3時(shí)，只有n=5符合要求當(dāng)時(shí)，沒有符合要求的n綜上所述，只有m=2，n=3或m=3，n=5滿足上述要求。7.（山東文）21（本小題滿分12分）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元（）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求

6、該函數(shù)的定義域；（）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的【解析】21解：（I）設(shè)容器的容積為V，由題意知故由于因此所以建造費(fèi)用因此（II）由（I）得由于當(dāng)令所以（1）當(dāng)時(shí)，所以是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)。（2）當(dāng)即時(shí)，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減，所以r=2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)8.（陜西文）21（本小題滿分14分）設(shè)。（）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（）討論與的大小關(guān)系；（）求的取值范圍，使得對(duì)任意0成立?！窘馕觥?1解（）由題設(shè)知，令0得=1，當(dāng)（0，1）時(shí)，0，故（0，1）是的單調(diào)減區(qū)間。當(dāng)（1，+）時(shí)，0，故（1，+）是的單調(diào)遞增區(qū)間，因此，=1是的唯一值點(diǎn)，且

7、為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為（II）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)（III）由（I）知的最小值為1，所以，對(duì)任意，成立即從而得。9.（上海文）21（14分）已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足。（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求時(shí)折取值范圍?！窘馕觥?1解：當(dāng)時(shí)，任意，則，函數(shù)在上是增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，同理，函數(shù)在上是減函數(shù)。當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則。10.（四川文）22（本小題共l4分）已知函數(shù)，（）設(shè)函數(shù)F(x)18f(x)x2h(x)2，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；（）設(shè)，解關(guān)于x的方程；（）設(shè)，證明：本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形

8、結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法及推理運(yùn)算、分析問題、解決問題的能力解：（），令，得（舍去）當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)為的極大值點(diǎn)，且（）方法一：原方程可化為，即為，且當(dāng)時(shí)，則，即，此時(shí)，此時(shí)方程僅有一解當(dāng)時(shí)，由，得，若，則，方程有兩解；若時(shí)，則，方程有一解；若或，原方程無解方法二：原方程可化為，即，當(dāng)時(shí)，原方程有一解；當(dāng)時(shí)，原方程有二解；當(dāng)時(shí)，原方程有一解；當(dāng)或時(shí)，原方程無解（）由已知得，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（）從而有，當(dāng)時(shí)，又即對(duì)任意時(shí)，有，又因?yàn)?，所以則，故原不等式成立11.（浙江文）（21）（本小題滿分15分）設(shè)函數(shù)，（）求的單調(diào)區(qū)間；（）求所有實(shí)數(shù)，使對(duì)

9、恒成立注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)【解析】（21）本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查抽象概括、推理論證能力。滿分15分。 （）解：因?yàn)樗杂捎冢缘脑鰠^(qū)間為，減區(qū)間為 （）證明：由題意得，由（）知內(nèi)單調(diào)遞增，要使恒成立，只要解得12.（重慶文）19（本小題滿分12分，（）小題5分，（）小題7分）設(shè)的導(dǎo)數(shù)為，若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且（）求實(shí)數(shù)的值（）求函數(shù)的極值【解析】19（本題12分）解：（I）因從而即關(guān)于直線對(duì)稱，從而由題設(shè)條件知又由于（II）由（I）知令當(dāng)上為增函數(shù)；當(dāng)上為減函數(shù)；當(dāng)上為增函數(shù)；從而函數(shù)處取得極大值處取得極小值13.（安徽文）（18）（本小題

10、滿分13分）設(shè)，其中為正實(shí)數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn)；（）若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.【解析】（18）（本小題滿分13分）本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，極值點(diǎn)的判斷，導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)變化之間的關(guān)系，求解二次不等式，考查運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力.解：對(duì)求導(dǎo)得（I）當(dāng)，若綜合,可知+00+極大值極小值所以,是極小值點(diǎn),是極大值點(diǎn).（II）若為R上的單調(diào)函數(shù)，則在R上不變號(hào)，結(jié)合與條件a>0，知在R上恒成立，因此由此并結(jié)合，知14.（福建文）22（本小題滿分14分）已知a，b為常數(shù)，且a0，函數(shù)f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=271828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。（I

11、）求實(shí)數(shù)b的值；（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（III）當(dāng)a=1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M（m<M），使得對(duì)每一個(gè)tm，M，直線y=t與曲線y=f（x）（x，e）都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說明理由。【解析】22本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，滿分14分。解：（I）由（II）由（I）可得從而，故：（1）當(dāng)（2）當(dāng)綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為。（III）當(dāng)

12、a=1時(shí)，由（II）可得，當(dāng)x在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，的變化情況如下表：-0+單調(diào)遞減極小值1單調(diào)遞增2又的值域?yàn)?，2。據(jù)經(jīng)可得，若，則對(duì)每一個(gè)，直線y=t與曲線都有公共點(diǎn)。并且對(duì)每一個(gè)，直線與曲線都沒有公共點(diǎn)。綜上，當(dāng)a=1時(shí)，存在最小的實(shí)數(shù)m=1，最大的實(shí)數(shù)M=2，使得對(duì)每一個(gè)，直線y=t與曲線都有公共點(diǎn)。15.（湖北文）19（本小題滿分12分）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛 /千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛 /千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛 /千米時(shí)，車流速度

13、為60千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)。（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；（II）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值。（精確到1輛/小時(shí)）?！窘馕觥?9本小題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。（滿分12分）解：（）由題意：當(dāng)；當(dāng)再由已知得故函數(shù)的表達(dá)式為（）依題意并由（）可得當(dāng)為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，其最大值為60×20=1200；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立。所以，當(dāng)在區(qū)間20，200上取得最大值綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間0，200上取得最大值。即當(dāng)車流密

14、度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)。16.（湖北文）20（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，其中，a、b為常數(shù)，已知曲線與在點(diǎn)（2,0）處有相同的切線l。（I）求a、b的值，并寫出切線l的方程；（II）若方程有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、，其中，且對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！窘馕觥?0本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力，以及函數(shù)與方程和特殊與一般的思想，（滿分13分）解：（）由于曲線在點(diǎn)（2，0）處有相同的切線，故有由此得所以，切線的方程為（）由（）得，所以依題意，方程有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，故是方程的兩相異的實(shí)根

15、。所以又對(duì)任意的成立，特別地，取時(shí)，成立，得由韋達(dá)定理，可得對(duì)任意的則所以函數(shù)的最大值為0。于是當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，綜上，的取值范圍是17.（湖南文）22（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性.（）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記過點(diǎn)的直線斜率為.問：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】22（本小題13分）解析：（I）的定義域?yàn)榱?1) 當(dāng)故上單調(diào)遞增(2) 當(dāng)?shù)膬筛夹∮?，在上，故上單調(diào)遞增(3) 當(dāng)?shù)膬筛鶠?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（II）由（I）知，因?yàn)?，所以又?I)知，于是若存在，使得則即亦即再由（I）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而

16、，所以這與式矛盾故不存在，使得18.（廣東文）19（本小題滿分14分）設(shè)a0,討論函數(shù)f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）的單調(diào)性?！窘馕觥?9（本小題滿分14分）解：函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)?shù)呐袆e式當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn)，且當(dāng)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，內(nèi)為減函數(shù)。的單調(diào)區(qū)間如下表：（其中）19.（江蘇）19已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)和是的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，則稱和在區(qū)間上單調(diào)性一致（1）設(shè)，若和在區(qū)間上單調(diào)性一致,求b的取值范圍；（2）設(shè)且，若和在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值【解析】19本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分.解：（1）由題意知上恒成立，因?yàn)閍>0，故進(jìn)而上恒成立，所以因此的取值范圍是（2）令若又因?yàn)?，所以函?shù)在上不是單調(diào)性一致的，因此現(xiàn)設(shè)；當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，故由題設(shè)得從而因此時(shí)等號(hào)成立，又當(dāng)，從而當(dāng)故當(dāng)函數(shù)上單調(diào)性一致，因此的最大值為20.（江蘇）17請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被