高等數(shù)學(xué)：8-3 曲面及其方程

1、五、二次曲面五、二次曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念四、旋轉(zhuǎn)曲面四、旋轉(zhuǎn)曲面 三、柱面三、柱面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3 曲面及其方程曲面及其方程 第八八章 二、平面及其方程二、平面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的等距離的點(diǎn)的222)3()2() 1(zyx07262zyx化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得即說明說明: : 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面的垂直平分面. .引例引例: :顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, , 不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方

2、程不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程. .222)4() 1()2(zyx解解: :設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為, ),(zyxM,BMAM 則軌跡軌跡方程方程. . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面如果曲面 S 與方程與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系有下述關(guān)系:(1) 曲面曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程;則稱則稱F( x, y, z ) = 0 為曲面為曲面 S 的方程的方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形的圖形.兩個(gè)基本問題兩個(gè)基本問題 :

3、 :(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2) 滿足方程的任一解都在曲面滿足方程的任一解都在曲面 S 上；上；求曲面方程求曲面方程.(2) 已知方程時(shí)已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀研究它所表示的幾何形狀( 必要時(shí)需作圖 ). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故所求方程為故所求方程為例例1. 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)),(zyxM),(0000zyxM方程方程. 特別特別, ,當(dāng)當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí)在原點(diǎn)時(shí), ,球面方程為球面方程為解解: 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為RMM0即即依題意依題意距離為距離為 R 的軌跡的軌跡xyzoM0M222yxRz表示上表示上

4、(下下)球面球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 研究方程研究方程042222yxzyx解解: : 配方得配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示此方程表示:說明說明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.的曲面的曲面. . 表示表示怎樣怎樣半徑為的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心為 5)2() 1(222zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、平面及其方程二、平面及其方程zyxo0Mn1.1.平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程0)(

5、)()(000zzCyyBxxAM稱稱式式為平面為平面 的的點(diǎn)法式方程。點(diǎn)法式方程。 000,xxyyzz00nMMMM0則有則有 故故機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義2 2 稱垂直于平面的任一非零向量為平面的法向稱垂直于平面的任一非零向量為平面的法向量，記為量，記為n 設(shè)一平面通過已知點(diǎn)設(shè)一平面通過已知點(diǎn)0000(,)Mxyz ,nA B C 求該平面求該平面 的的方程方程. .( , , ),M x y z 任任取取點(diǎn)點(diǎn)nMM0kji例例1.1.求過三點(diǎn)求過三點(diǎn),1M又 14, 9,10)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即即1M2M3M解解: 取該平面取該平面

6、的法向量為的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面的平面 的方程的方程. 利用點(diǎn)法式得平面利用點(diǎn)法式得平面 的方程的方程346231nn3121MMMM機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：注：當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的此式稱為平面的截距式方程截距式方程. . 123( ,0,0),(0, ,0),(0,0, )P aPbPc1xyzabc時(shí)時(shí), ,)0,(cba平面方程為平面方程為 1Pozyx3P2P機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.2.平面的一般方程平面的一般方程設(shè)有三元一次方程設(shè)有三元一次方程 以

7、上兩式相減以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程得平面的點(diǎn)法式方程式式稱為稱為平面的一平面的一般方程般方程。0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù)任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則有則有0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià)與此點(diǎn)法式方程等價(jià), , 的平面。的平面。 因此方程因此方程的圖形是的圖形是法向量為法向量為 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,nA B C 特殊情形特殊情形 當(dāng)當(dāng) D = 0 時(shí)時(shí), A x + B y + C z = 0 表示表示 過原點(diǎn)過原點(diǎn)的平面的平面; 當(dāng)當(dāng) A = 0 時(shí)時(shí), B y + C z

8、+ D = 0 的法向量的法向量平面平行于平面平行于 x 軸軸; 當(dāng)當(dāng) B = 0 時(shí)，平面時(shí)，平面平行于平行于 y 軸；軸； 當(dāng)當(dāng) C = 0 時(shí)，平面時(shí)，平面平行于平行于 z 軸；軸； 當(dāng)當(dāng) A = B = 0 時(shí)時(shí), C z + D = 0 表示表示 當(dāng)當(dāng) B = C = 0 時(shí)，平面平行于時(shí)，平面平行于yoz 面面 ； 當(dāng)當(dāng) A = C = 0 時(shí)，平面平行于時(shí)，平面平行于 zox 面面 ；0DCzByAx平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (0,),nB Ci例例2. 求通過求通過 y 軸和點(diǎn)軸和點(diǎn)( 2, 0, 3) 的平面方程的平面方程.解

9、解: 因平面通過因平面通過 y 軸軸 ,0BD故故設(shè)所求平面方程為設(shè)所求平面方程為0AxCz代入已知點(diǎn)代入已知點(diǎn)( 2, 0, 3)， 得得32AC 化簡(jiǎn)，得所求平面方程為化簡(jiǎn)，得所求平面方程為320 xz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)當(dāng) A = D = 0 時(shí)時(shí), 表示表示經(jīng)過經(jīng)過 x 軸的平面軸的平面.3.3.兩平面的夾角兩平面的夾角設(shè)平面設(shè)平面1的法向量為的法向量為 平面平面2的法向量為的法向量為則兩平面夾角則兩平面夾角 的余弦為的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角兩平面法向量的夾角( (常為銳角常為銳角) )稱為稱為兩

10、平面的夾角兩平面的夾角. .122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：12(1) 1212120A AB BC C12(2)/ /111222ABCABC),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此有例例3. 一平面通過兩點(diǎn)一平面通過兩點(diǎn)垂直于平面垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 .解解: 設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為,020CB

11、A即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和和則所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且且機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 一平面通過原點(diǎn)及點(diǎn)一平面通過原點(diǎn)及點(diǎn) P (6, -3, 2)，且垂直于平面，且垂直于平面4x - y - 2z = 8，求其方程。，求其方程。)5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx備用題備用題求過點(diǎn) 且垂直于二平面 和 的平面

12、方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解解: 已知二平面的法向量為取所求平面的法向量 則所求平面方程為化簡(jiǎn)得),1, 1, 1 (1n)12,2,3(2n21nnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz三、柱面三、柱面引例引例. . 分析方程分析方程表示怎樣的曲面表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程的坐標(biāo)也滿足方程222Ryx解解: :在在 xoy 面上面上，表示圓表示圓C, 222Ryx222Ryx沿圓沿圓C平行于平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面軸的一切直線所形成的曲面稱為稱為圓圓故在空間中故在空間中222Ryx過此點(diǎn)作過此點(diǎn)作柱面柱面. .對(duì)任意對(duì)任意 z ,平行

13、平行 z 軸的直線軸的直線 l ,表示表示圓柱面圓柱面oC在圓在圓C上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義3. 平行于定直線平行于定直線 L并沿定曲線并沿定曲線成的軌跡叫做成的軌跡叫做柱面柱面. 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, 動(dòng)曲線動(dòng)曲線 l 叫做叫做母線母線.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如：圓柱面、橢圓柱面、拋物柱面、平面如：圓柱面、橢圓柱面、拋物柱面、平面設(shè)曲線設(shè)曲線( , )0:,0 x yz 求以求以 為準(zhǔn)線，為準(zhǔn)線，母線平行于母線平行于 z 軸的柱面方

14、程。軸的柱面方程。 移動(dòng)的直線形移動(dòng)的直線形L解：所求柱面方程為解：所求柱面方程為( , )0 x y xzy2l注意：注意：柱面柱面平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線：xoz 面上的曲線 l3.母線：柱面準(zhǔn)線：xoy 面上的曲線 l1.母線：準(zhǔn)線：yoz 面上的曲線 l2. 母線：表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3l機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz1l（缺少（缺少z）（缺少（缺少x）（缺少（缺少y）xyzxyzo 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy22122

15、22byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線平行于xyzoo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如：220 xz表示母線平行于 y 軸的拋物柱面拋物柱面.定義定義4. . 一條平面曲線一條平面曲線四、旋轉(zhuǎn)曲面四、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸 . .例如例如 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 建立建立 yoz 面上曲線面上曲線C 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的的方程方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為故旋轉(zhuǎn)曲面方程為, ),(zyx

16、M當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),0),(11zyf,), 0(111CzyM若點(diǎn)給定給定 yoz 面上曲線面上曲線 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz則有22(, )0fxyz則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到0( , )0 xf y z ozyxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意：注意：0( , )0 xf y z 曲曲線線繞繞z z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程是軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程是z 不變，不變，另一變量變?yōu)檎?fù)根號(hào)下自身平方加第三個(gè)變量的平方另一變量變?yōu)檎?fù)根號(hào)下自身平方加第三個(gè)變量的平方22xy即即，得旋轉(zhuǎn)曲面得旋轉(zhuǎn)曲面22(, )0fxyz思考：思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何

17、？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解解: 在yoz面上直線L 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方L), 0(zyM機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xy例例6. 求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線12222czax分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞 x 軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞 z 軸旋轉(zhuǎn)122222czayx這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為

18、z機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意：注意：反之，我們也要知道曲面是由哪條曲線繞哪個(gè)軸反之，我們也要知道曲面是由哪條曲線繞哪個(gè)軸旋轉(zhuǎn)得到，有二種情況：旋轉(zhuǎn)得到，有二種情況：例如：222221xyzac 曲曲面面可看作可看作222201yxzac 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)得到；軸旋轉(zhuǎn)得到；222201zxyac 或或繞繞x軸旋轉(zhuǎn)得到；軸旋轉(zhuǎn)得到；四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程, 下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有：橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面二次曲面。 2220AxByCzD

19、xyEyxFzxGxHyIzJ(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 即用平行于坐標(biāo)面的三組平面去截曲面，觀察截口形狀即用平行于坐標(biāo)面的三組平面去截曲面，觀察截口形狀zyx1 1. 橢球面橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓(4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣，與)(11byyy的截痕也為橢圓.）（axxx11及當(dāng)abc 時(shí)為球面.(3) 截痕截痕:cba,(為正數(shù))機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 z2. 拋物面拋物面zqypx2222(1) 橢圓拋物面( p , q 同號(hào))(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特別,當(dāng) p = q 時(shí),( p , q 同號(hào))zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 221()2xyzp為繞為繞 z z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面軸的旋轉(zhuǎn)拋物面3. 雙曲面雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 11zz 在在平平面面上上的的截截痕痕為為橢圓橢圓.時(shí), 截痕為zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 在平面在平面