向量張量 應(yīng)力部不變量

1、 內(nèi)容提要n張量運(yùn)算的基本法則張量運(yùn)算的基本法則n應(yīng)力分析應(yīng)力分析n應(yīng)變分析應(yīng)變分析 向量的表示方法n字母表示法字母表示法n坐標(biāo)表示法坐標(biāo)表示法n矩陣表示法矩陣表示法 向量的數(shù)乘向量的和與差 向量的點(diǎn)積向量的叉積向量的夾角 3個(gè)向量的混合積字母標(biāo)記法 需要注意的是: 自由標(biāo)號Kronneker Delta 相關(guān)運(yùn)算置換符號相關(guān)運(yùn)算空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換向量，一階張量二階張量張量相等張量加減與數(shù)乘n張量的加減為各個(gè)分量逐個(gè)加減運(yùn)算張量的加減為各個(gè)分量逐個(gè)加減運(yùn)算n張量的數(shù)乘為張量的各個(gè)分量分別乘以張量的數(shù)乘為張量的各個(gè)分量分別乘以張量的并乘與張量的外積張量的縮并與張量的點(diǎn)積一點(diǎn)應(yīng)力的表示方法 x y z

2、xy yx yz zy zx xz主應(yīng)力112312323應(yīng)力張量的不變量圖圖3.1 應(yīng)力張量的分解應(yīng)力張量的分解zzyxzyxzyxzyxzxymmmxzyijmij ijszmxmym應(yīng)力偏張量應(yīng)力球張量應(yīng)力偏量不變量22221223311 22 33 131 2 316Js ss ss sJs s s 八面體正應(yīng)力與剪應(yīng)力321212233octmoctIJ ab312NNPJ2的相關(guān)代表力應(yīng)力不變量之間的關(guān)系應(yīng)力狀態(tài)和不變量的幾何解釋121333235octmoctmIJ應(yīng)力狀態(tài)和不變量的幾何解釋12312223cos22 3sJJ應(yīng)力不變量之間的關(guān)系120.5 10 2010 201

3、0 202212cKuufc Kc1221t1t2t1 3.65(01)11 0.8(0),cctcttfffff 雙向受壓 一拉一張 雙向受拉 212221210.20.21.11.201.2ccccccccLiuNilsonSlftefa雙向受壓 時(shí)， 時(shí) ， 211cbc1011210312103 2ccctctcbcJIabffaffbffaffbff 三軸應(yīng)力下的混凝土強(qiáng)度準(zhǔn)則三軸應(yīng)力下的混凝土強(qiáng)度準(zhǔn)則tf2fcc3f2fttf2f3ftfffffc1111( )(=0，=)(=0，= 在混凝土的破壞包絡(luò)曲面上有一些。混凝土的單軸抗壓強(qiáng)度( ，有減摩措施的試驗(yàn)所得)和抗拉強(qiáng)度各有三個(gè)

4、點(diǎn)，分別位于三個(gè)坐標(biāo)軸的負(fù)、正方向?；炷恋亩S等壓和等拉強(qiáng)度位于坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)坐標(biāo)軸的等分線上，三個(gè)坐標(biāo)面內(nèi)各有一個(gè)點(diǎn)；而混凝土的三軸等拉強(qiáng)度只有一)(=點(diǎn)落在靜特征強(qiáng)度)點(diǎn)水壓力軸的f2f3ff2f3f(7 1( )b11正方向。對于任意應(yīng)力比的三軸受壓、受拉或拉/壓應(yīng)力狀態(tài)，考慮混凝土的各向同性，可由坐標(biāo)或者主應(yīng)力值的輪換，在應(yīng)力空間中各畫出六個(gè)點(diǎn)，位于同一偏平面上，且夾角 值相等 圖()(，)。312123tcc(0 0)(0fff破壞包絡(luò)曲面的三維立體圖既不便繪制，又不適用于理解和應(yīng)用，常改用拉壓子午面(圖7.1c)和偏平面上的平面圖形來表示。拉壓子午面為靜水壓立軸與一主應(yīng)力軸(如

5、圖中的軸)組成的平面，同時(shí)通過另兩個(gè)主應(yīng)力軸()的等分線。此平面與破壞包絡(luò)面的交線，分別稱為。 拉子午線的應(yīng)力條件為，線上拉、壓子的特征強(qiáng)度點(diǎn)有單軸受拉和午線和， ， -二等壓，-軸cc123cttttttttttttt)0(0 0)(0)0()ffffffrrtc，偏平面上的夾角為；壓子午線的應(yīng)力條件則為，線上有單軸受壓和二軸等拉，偏平面上的=， ，-，夾角。拉壓子午線與靜水壓立軸同交于一點(diǎn)，即三軸等拉。拉、壓子午線至靜水壓立軸的垂直距，離=即為偏應(yīng)力 和， ，?；炷疗茐陌j(luò)面的特征(1)(2)(3)(4)(5)r rr rtctc曲面連續(xù)、光滑、外凸；對靜水壓立軸三折對稱；在靜水壓立軸的

6、拉端封頂，定點(diǎn)為三軸等拉應(yīng)力狀態(tài)；壓端 開口，不與靜水壓立軸相交；子午線上各點(diǎn)的偏應(yīng)力或八面體剪應(yīng)力值，隨靜水壓力的代 數(shù)值的減小而單調(diào)增大，但斜率漸減，有極限值；偏平面上的封閉曲線三折對稱，其形狀隨凈水壓力或正應(yīng)力 值的減小，由近似三角形逐漸外凸飽滿，過渡為一 ( / =0.5)( /圓=1)。(a) 平面 (b)柱面屈服面圖2.9 屈服面和屈服軌跡1octm2octm123122133323523cos2 32 3IJsJJ混凝土強(qiáng)度準(zhǔn)則模型1t1221t,2 3cos30ff I JJIf112122m33cos22cos3332cos3SJISS132212,sin30,sin320K

7、f JJKfK 2220f JJKtanc212121,sinsincossincos03333Jf I JIJc1212,0f I JaIJK2octoctoctcccabcfff0.724octoctcc0.875octoctcc0.9940.55600.6630.550ffff 圖圖7.3 各破壞準(zhǔn)則的拉壓子午線各破壞準(zhǔn)則的拉壓子午線圖圖7.4 各破壞準(zhǔn)則的偏平面包絡(luò)線各破壞準(zhǔn)則的偏平面包絡(luò)線圖圖7.5 各破壞準(zhǔn)則的二軸包絡(luò)線各破壞準(zhǔn)則的二軸包絡(luò)線結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、計(jì)算等級結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、計(jì)算等級選擇模型形式選擇模型形式材料特點(diǎn)、構(gòu)件特點(diǎn)選材料特點(diǎn)、構(gòu)件特點(diǎn)選擇試驗(yàn)點(diǎn)并加權(quán)擇試驗(yàn)點(diǎn)并加權(quán)自動(dòng)確定模型參

8、數(shù)自動(dòng)確定模型參數(shù)1、2、3、45參數(shù)模型混凝土三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫本構(gòu)關(guān)系 混凝土在多軸應(yīng)力狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系，當(dāng)然更要復(fù)雜得多。三個(gè)方向主應(yīng)力的共同作用，使各方向的正應(yīng)變和橫向變形效應(yīng)相互約束和牽制，影響內(nèi)部微裂縫的出現(xiàn)和發(fā)展程度。而且，混凝土多軸抗壓強(qiáng)度的成倍增長和多軸拉壓強(qiáng)度的降低，擴(kuò)大了混凝土的應(yīng)力范圍，改變了各部分變形成分的比例，出現(xiàn)了不同的破壞過程和形態(tài)。這些都使得混凝土多 軸變形的變化范圍大，形式復(fù)雜。另一方面，混凝土多軸試驗(yàn)方法的不統(tǒng)一和應(yīng)變量測技術(shù)的困難，又加大了變量測數(shù)據(jù)的離散度，給研究本構(gòu)關(guān)系造成更大困難?；炷炼噍S本構(gòu)關(guān)系大體有混凝土多軸本構(gòu)關(guān)系大體有4類：類：1.線彈性模型

9、線彈性模型，2.非線彈性模型非線彈性模型，3.塑性理論模型塑性理論模型，4.其它力學(xué)理論類模型其它力學(xué)理論類模型。 其中，1、3 類模型是將成熟的力學(xué)體系(即彈性力學(xué)和塑件理論等)的觀點(diǎn)和方法作為基礎(chǔ)，移植至混凝土；4類模型則是借鑒些新興的力學(xué)分支，如粘性彈(塑)性理論、內(nèi)時(shí)理論、斷裂力學(xué)、損傷力學(xué)等的概念相方法，結(jié)合混凝土的材料特點(diǎn)推導(dǎo)而得；2類模型主要依據(jù)混凝土多軸試驗(yàn)的數(shù)據(jù)和規(guī)律，進(jìn)行總結(jié)回歸分析后得到。 各類本構(gòu)模型的理論基礎(chǔ)、觀點(diǎn)和方法迥異，表達(dá)形式多樣，簡繁相差懸殊，適用范圍和計(jì)算結(jié)果的差別大。很難確認(rèn)一個(gè)通用的混凝土本構(gòu)模型，只能根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)、應(yīng)用范圍和精度要求等加以適當(dāng)選擇。

10、 至今，實(shí)際工程中應(yīng)用最廣泛的還是源自試驗(yàn)、計(jì)算精度有保證、形式簡明和使用方便的非線彈性類本構(gòu)模型。1. 線彈性模型 這是最簡單、最基本的材料本構(gòu)模型。材料變形(應(yīng)變)在加載和卸載時(shí)都沿一直線變化，完全卸載后無殘余變形。應(yīng)力和應(yīng)變有確定的唯一關(guān)系其比值即為材料的彈性常數(shù)，稱彈性模量。當(dāng)混凝土的應(yīng)力水平較低，內(nèi)部微裂縫和裂縫和塑性變形未有較大發(fā)展時(shí)；預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)或受約束結(jié)構(gòu)的外裂之前；體形復(fù)雜結(jié)構(gòu)的初步或近似計(jì)算時(shí)；有結(jié)構(gòu)選用不同的本構(gòu)模型,對其計(jì)算結(jié)果不敏感時(shí)等等。 所以，線彈性本構(gòu)模型在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用仍有相當(dāng)大的余地 特別是因?yàn)榘凑站€彈性分析的應(yīng)力分布進(jìn)行適當(dāng)配筋后，一般結(jié)構(gòu)能保證

11、必要的，甚至稍高的承載力安全度，有些設(shè)計(jì)規(guī)范中允許采用這類本構(gòu)模型?？臻g應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性本構(gòu)矩陣Ev形式彈性本構(gòu)矩陣KG形式（1）各向異性本構(gòu)模型：）各向異性本構(gòu)模型：這一本構(gòu)模型中剛度矩陣不對稱，共需36個(gè)材料彈性常數(shù)。（2）正交異性本構(gòu)模型：）正交異性本構(gòu)模型：（3）各向同性本構(gòu)模型：）各向同性本構(gòu)模型：11112222333312122323313111112 1vvEEEvvEEEvvEEGEGv 11112222333312122323313111011 2000211 21 20021 2002E2. 非線彈性模型彈性模量彈性模量混凝土三維本構(gòu)模型的核心各種本構(gòu)模型的本質(zhì)差別非線性

12、彈性模型的基本思路非線性彈性模型的分類全量模型Codolin模型Ottosen模型非線性指標(biāo)(Nonlinear Index)二維非線性指標(biāo)三維非線性指標(biāo)：Ottosen法三維非線性指標(biāo)： 法2J三維非線性指標(biāo)：比例增大法等效一維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系割線模量計(jì)算式22000002200c00cc1211111112222cscscssfEADADEfEEEEEEEEEEED三維混凝土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1228.2 1213.9 126.9 123.81 MP（）峰值和應(yīng)變都要增大峰值和應(yīng)變都要增大 取值fE1.750.180.00150.038octfccEEf20011413cfccfEEJEEf割線泊松

13、比計(jì)算02aff0aaa11ssvvvvvv 果 如果 -如本構(gòu)矩陣計(jì)算步驟01)cos(1222cccfIdfJcbfJa例題求主應(yīng)力 12222112222331133122331222231122331223311123223133122331232466 122483224221215.2922245.29234cos331.03mTIsJS SS SS SSSSJJS S SS S SS SS SS SJrJr 21coscos 31.033.46622cos5.288 cos 31.0312087.90533312.630cos 31.031202cos3JI求非線性指標(biāo)22122

14、22220.11.28561.426810.22513.21281.28561.4268 10.2251cos3.2128100.0032140.50944.855409.0185.2920.5879.018tcffcccfffffabcdfJJIfffJJJJJ 得到Es和vs增量模型020002002200012112tctcdEdEEESaenEEEEz sModel Darwin模型02012iuiuiucicicEEE122122ic32ic1 3.65121.62.250.35cccciccicpciciciccicpcccfffffff 如果 如果 本構(gòu)矩陣11211212222

15、121212124421cc010110024Biaxial compression0.2Others0.20.60.4Ev E Edddv E EEdVddEEvE Evvff 圖圖8.14 Ottosen本構(gòu)模型本構(gòu)模型(a)單軸受壓單軸受壓 關(guān)系關(guān)系 (b)多軸多軸 關(guān)系關(guān)系 (c)泊松比泊松比222200c01122111221122cccccccccccsccssADfADADADEEEEEEEEEE 又代入上式，整理后可得即時(shí)割線模量計(jì)算式為220fcEED（1- ）-1多軸應(yīng)力峰值彈性模量1228.2 1213.9 126.9 123.81 MP（）1.750.180.00150.038()OttosenocftcocfctccfEEffEEE1式中：混凝土破壞時(shí)的割線模量； 混凝土初始彈性的模量； 應(yīng)力矢量與軸在 平面上投影之角 相似角； 八面體正應(yīng)力； 混凝土單軸抗壓強(qiáng) （2.81）