高等數(shù)學(xué)A-第1章-8-5（極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限）

1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A1.5 1.5 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極兩個(gè)重要極限限 1.5.1 夾逼原理夾逼原理 1.5.2 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 1.5.3 Cauchy收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則 1.5.4 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 1.5 1.5 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 1.5.3 Cauchy收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則 1.5.1夾逼原理夾逼原理 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限Cauchy收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則應(yīng)用習(xí)例應(yīng)用習(xí)例夾逼原理夾逼原理 應(yīng)用習(xí)例應(yīng)用習(xí)例1-4 單調(diào)有界

2、準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 應(yīng)用習(xí)例應(yīng)用習(xí)例51.5.4 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限1.5.2 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 應(yīng)用習(xí)例應(yīng)用習(xí)例6-11 0sinlim1xxx重要極限重要極限 重要極限重要極限1lim 1xxex應(yīng)用習(xí)例應(yīng)用習(xí)例12-16在在給定的變化過程中，如果給定的變化過程中，如果f(x),g(x),h(x)滿足滿足),()()(,0 0,000 xhxfxgxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè) Axhxg )(lim)(lim)2(.)(lim Axf 則則證明證明: .,0 xx 考考慮慮極極限限過過程程不不失失一一般般性性 ,)(lim)(lim00Axhxgxxxx , 0 ,0 0,101時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

3、 xx,)( Axg有有.)( AxgA即即,)( Axh有有一、夾逼原理一、夾逼原理 定理定理1 （夾逼原理（夾逼原理-準(zhǔn)則準(zhǔn)則I ）)()()()1(xhxfxg ,0 0,202時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx.)( AxhA即即.,min 021 取取, 0 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,)()()( AxhxfxgA有有.)( Axf即即.)(lim 0Axfxx 極限過程為極限過程為 同理可證。同理可證。,0 xx,0 xx, x, xx定理定理2 滿足滿足如果數(shù)列如果數(shù)列nnnzyx, ), 2 , 1( )1( nzxynnnazynnnn limlim)2(.limaxnn 則則夾逼準(zhǔn)則應(yīng)用習(xí)例夾逼準(zhǔn)則應(yīng)

4、用習(xí)例).1.211(lim 1.222nnnnnn求例).1.2111(lim 2.222nnnnn求例. 1lim 3.nnn證明例, 0,. 421為正整數(shù)設(shè)例kaaak,maxlim 2121knnknnnaaaaaa證明).1.211(lim 1.222 nnnnnn 求求例例解解:)1211(222 nnnnn nnn22 22nn, 1lim 22 nnnn又又. 1lim22 nnn由夾逼準(zhǔn)則得由夾逼準(zhǔn)則得 . 1)1.211(lim222 nnnnnn).1.2111(lim 2.222nnnnn 求求例例解：解：)12111(222nnnn nnn212 nn, 0lim

5、2 nnnn又又. 01lim2 nnn由夾逼準(zhǔn)則得由夾逼準(zhǔn)則得 . 0)1.2111(lim222 nnnnn. 1lim 3. nnn證證明明例例證明：證明：. 1,1 nnn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),0(1 nnnnhhna記記nnhn)1( 則則有有nnnnhhnnnh 2! 2)1(122)1(nhnn ,1202 nhn,120 nhn,12111 nhann于于是是有有, 1121lim nn而而. 1lim nnn類似可證類似可證,).0( 1lim aann證明證明為正整數(shù)為正整數(shù)設(shè)設(shè)例例, 0,. 421kaaak ,maxlim2121knnknnnaaaaaa 證明：證明：,max2

6、1kaaaa 令令nnnnknnnnakaaaa 21 anka , 1lim nnk又又,maxlim2121knnknnnaaaaaaa 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 注意：注意：單增單增數(shù)列只需上有界；單減數(shù)列只需下有界數(shù)列只需上有界；單減數(shù)列只需下有界. x1x2x3x1 nxnx幾何解釋幾何解釋:AM二、單調(diào)有界準(zhǔn)則二、單調(diào)有界準(zhǔn)則定理定理3 (單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則II) 1x2x3xnxA1 nxm, , 0. 521aaxaxa 證證明明數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè)例例,3aaaxaaaxn 的的極限存在，并求其極限極限存在，并求其極限.解：解： ), 2 , 1( 1

7、 nxaxnn, 01 ax,112xaxax , 1 nnxx假設(shè)假設(shè)nnnnxxaxax 11 則則. 單增單增即即nx, 1 1 nnxx從而從而單調(diào)有界準(zhǔn)則應(yīng)用習(xí)例單調(diào)有界準(zhǔn)則應(yīng)用習(xí)例, 1 nnxax又又. 12 nnxax則則nnnxxx2 nnxxa1 nnnxxxa1 1 aa1 a. 上有界上有界即即nx所以數(shù)列極限存在所以數(shù)列極限存在.,limAxnn 設(shè)設(shè).lim)(limlim 112 nnnnnnxaxax則則, 2AaA 即即2411 aA 解得解得.2411lim axnn )(負(fù)號舍去負(fù)號舍去三、三、Cauchy收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則定理定理4 (Cauchy收斂準(zhǔn)則

8、收斂準(zhǔn)則)數(shù)列數(shù)列 收斂的充分必要條件是收斂的充分必要條件是: nx , , 使得當(dāng)使得當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有 . 0 NN,mN nNnmxx滿足上述條件的數(shù)列也稱Cauchy數(shù)列或基本數(shù)列數(shù)列或基本數(shù)列. 這樣, Cauchy收斂準(zhǔn)則又可敘述成: 數(shù)列數(shù)列 收斂的充分必要條件是收斂的充分必要條件是: nx 為為Cauchy數(shù)列數(shù)列. nx證明：證明：必要性必要性 設(shè)設(shè) , , 由數(shù)列極限的定義，由數(shù)列極限的定義， ，axnnlim0 NN當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 Nn 2 axn同樣，當(dāng)同樣，當(dāng) 時(shí)，也有時(shí)，也有 Nm 2 axm因此，當(dāng)因此，當(dāng) 時(shí)時(shí),有有 ,mN nN 22nmnmnmxxxaxa

9、xaxa即得即得 為為Cauchy數(shù)列數(shù)列. nx充分性的證明要用到實(shí)數(shù)理論充分性的證明要用到實(shí)數(shù)理論, , 這里從略這里從略. . 注意注意:（1）Cauchy收斂準(zhǔn)則的幾何意義收斂準(zhǔn)則的幾何意義: 數(shù)列數(shù)列 收斂的充分必要條件收斂的充分必要條件是是: 對于任意給定的正數(shù)對于任意給定的正數(shù) , 在數(shù)軸上一切具有足夠大號碼的點(diǎn)在數(shù)軸上一切具有足夠大號碼的點(diǎn) 中中, 任意兩點(diǎn)間的距離小于任意兩點(diǎn)間的距離小于 . nxnx（2）由于）由于Cauchy收斂準(zhǔn)則是判斷數(shù)列收斂的充分必要條件收斂準(zhǔn)則是判斷數(shù)列收斂的充分必要條件, 因此因此, 它不但可以用來判斷數(shù)列的收斂性它不但可以用來判斷數(shù)列的收斂性,

10、 而且也可以用來判斷數(shù)列的發(fā)散而且也可以用來判斷數(shù)列的發(fā)散 （3）應(yīng)用上常使用）應(yīng)用上常使用Cauchy收斂準(zhǔn)則的一個(gè)等價(jià)形式收斂準(zhǔn)則的一個(gè)等價(jià)形式: 數(shù)列數(shù)列 收收斂的充分必要條件是斂的充分必要條件是: , ,使得當(dāng)使得當(dāng) 時(shí)時(shí), 對一切對一切正整數(shù)正整數(shù) , 有有 . nx0 NNnNpnpnxxCauchy收斂準(zhǔn)則應(yīng)用舉例收斂準(zhǔn)則應(yīng)用舉例Cauchy收斂準(zhǔn)則應(yīng)用舉例收斂準(zhǔn)則應(yīng)用舉例1sinlim0 xxxAC)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的

11、圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式對對于于 x,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1coslim0 xx又又. 1sinlim0 xxx四、兩個(gè)重要極限四、兩個(gè)重要極限1.第一重要極限第一重要極限注意：注意： , 1)()(sinlim )1(0)( xxx 常用的形式是常用的形式是并以此為并以此為工具可求出相應(yīng)的其它一些函數(shù)的極限工具可求出相應(yīng)的其它一些函數(shù)的極限.,1)()(sinlim )2(0不一定成立不一定成立 xxx . 0)(不一定趨于不一定趨于因?yàn)橐驗(yàn)閤 第一重要極限第一重要極限1sinlim0 xxx第一

12、重要極限應(yīng)用習(xí)例第一重要極限應(yīng)用習(xí)例.1sinlim)3( ;cos1lim)2( ;sinlim) 1 ( :. 6200 xxxxxxxx求極限例.1arcsinlim . 7xxx求極限例.cos1lim. 80 xxx計(jì)算例.sin)4(lim. 922xxxx計(jì)算例.sincossin1lim.100 xxxxxx計(jì)算例.2tan)1 (lim.111xxx計(jì)算例.1sinlim)3( ;cos1lim)2( ;sinlim)1( :. 6200 xxxxxxxx 求求極極限限例例解解: xxxxxxsinlimsinlim)1(00 0sinlimlim00 xxxxx220202

13、sin2limcos1lim)2(xxxxxx 220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 21 xxxxxx11sinlim1sinlim)3( 1 .1arcsinlim . 7xxx 求極限求極限例例解：解：,1arcsin tx 令令. 0, tx時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)ttxxtxsinlim1arcsinlim 0 . 1sinlim1sin1lim00 tttttt.cos1lim. 80 xxx 計(jì)算計(jì)算例例解：解： xxxx2sin2cos1 xxxxxx2sin2limcos1lim00 xxx2sin2lim0 22 xxxxxx2sin2limcos1

14、lim00 xxx2sin2lim0 22 .cos1lim0不存在不存在xxx .sin)4(lim. 922xxxx 計(jì)算計(jì)算例例解：解： xxxxxxxxx sin)2)(2(limsin)4(lim222 )2(sin)4()2(lim02ttttttx 令令ttttt sin)4()2(lim0 ttttt sin)4)(2(lim0.8 .sincossin1lim.100 xxxxxx 計(jì)算計(jì)算例例解：解： )cossin1(sincossin1limsincossin1lim200 xxxxxxxxxxxxxxx)cossin11sinsinsin(lim20 xxxxxxxx

15、x . 1)sin1(lim210 xxx.2tan)1(lim.111xxx 計(jì)算計(jì)算例例解：解：)1(2tanlim2tan)1(lim011ttxxtxtx ttt2cotlim0 tttt2sin2coslim0 22cos2sin2lim0 tttt .2 exxx )11(lim下面分三步進(jìn)行討論下面分三步進(jìn)行討論. (1)設(shè)設(shè)x依次按自然數(shù)依次按自然數(shù)n變化，則函數(shù)為變化，則函數(shù)為nnnnfx)11()( 21! 2) 1(1! 11nnnnnxn).11 ()21)(11 (!1)11 (! 2111nnnnnn nnnnnnn1!) 1() 1( 2.第二重要極限第二重要極限

16、).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯顯然然 ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim記記為為)71828. 2( e類似地類似地, )2(時(shí)時(shí)x1 nxn設(shè)設(shè),1111 nxn 于是于是,1111111nxn ,)11()11()111(1 nxnnxn11)111()111(lim)111(lim nnnnnnn而而e )11()11(lim)11(lim1nnnnn

17、nn e .)11(limexxx , )3(時(shí)時(shí)x yyx , 則則設(shè)設(shè)yyxxyx )11(lim)11(limyyyy)1(lim yyy)111(lim )111()111(lim1 yyyye 注意：注意：,)(11(lim )1()()(exxx 常用的形式是常用的形式是并以此為并以此為工具可求出相應(yīng)的其它一些函數(shù)的極限工具可求出相應(yīng)的其它一些函數(shù)的極限.)1(lim,1 )2(10ezxzzz 有有令令.)11(lim.12xxx 計(jì)算計(jì)算例例.)12(lim.1312 xxxx計(jì)算計(jì)算例例第二重要極限應(yīng)用習(xí)例第二重要極限應(yīng)用習(xí)例.1lim.1422xxxx 計(jì)算計(jì)算例例.coslim.150 xxx 計(jì)計(jì)算算例例., 9)(lim.16aaxaxxx求求設(shè)設(shè)例例 .)11(lim.12xxx 計(jì)算計(jì)算例例解解: xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e .)12(lim.1312 xxxx計(jì)算計(jì)算例例解解: 1212)111(lim)12(lim xxxxxxx1)1(2)111(lim xxx12)1()111()111(lim xxxx12)1()111(lim)111(lim xxxxx.e2 例例14. 計(jì)算計(jì)算.1lim22xxxx 解：解：xxxxxxx