全等三角形中輔助線的添加

1、全等三角形中輔助線的添加一. 教學(xué)內(nèi)容：全等三角形的常見(jiàn)輔助線的添加方法、基本圖形的性質(zhì)的掌握及熟練應(yīng)用。二. 知識(shí)要點(diǎn)：1、 添加輔助線的方法和語(yǔ)言表述(1) 作線段：連接;(2 )作平行線：過(guò)點(diǎn) 作 / ;(3) 作垂線(作高)：過(guò)點(diǎn)作丄，垂足為;(4) 作中線：取中點(diǎn)，連接；(5 )延長(zhǎng)并截取線段：延長(zhǎng)使等于;(6) 截取等長(zhǎng)線段：在上截取，使等于；(7) 作角平分線：作平分；作角等于已知角；(8) 作一個(gè)角等于已知角：作角等于。2、 全等三角形中的基本圖形的構(gòu)造與運(yùn)用常用的輔助線的添加方法：(1 )倍長(zhǎng)中線(或類中線)法：若遇到三角形的中線或類中線(與中點(diǎn)有關(guān)的線段)，通常考慮倍長(zhǎng)中線

2、或類中線，構(gòu)造全等三角形。(2) 截長(zhǎng)補(bǔ)短法：若遇到證明線段的和差倍分關(guān)系時(shí)，通?？紤]截長(zhǎng)補(bǔ)短法，構(gòu)造全等三角形。截長(zhǎng)：在較 長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條較短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條較短線段， 然后證明新線段等于較長(zhǎng)線段；或延長(zhǎng)一條較短線段等于較長(zhǎng)線段，然后證明延長(zhǎng)部分等于另一條較短線段。(3) 一線三等角問(wèn)題(“ K字圖、弦圖、三垂圖)：兩個(gè)全等的直角三角形的斜邊恰好是一個(gè)等腰直角三角形的 直角邊。(4 )角平分線、中垂線法：以角平分線、中垂線為對(duì)稱軸利用”軸對(duì)稱性“構(gòu)造全等三角形。(5) 角含半角、等腰三角形的(繞頂點(diǎn)、繞斜邊中點(diǎn))旋轉(zhuǎn)重

3、合法：用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形全等。(6) 構(gòu)造特殊三角形：主要是 30、60、90、等腰直角三角形(用平移、對(duì)稱和弦圖也可以構(gòu)造)和等邊三 角形的特殊三角形來(lái)構(gòu)造全等三角形。三. 基本模型：(1) ABC 中 AD 是 BC 邊中線D方式 1: 延長(zhǎng) AD 到 E,使 DE=AD 連接 BEA(4)旋轉(zhuǎn):方式 2:間接倍長(zhǎng)，作CF 丄 AD 于 F,作BELAD 的延長(zhǎng)線于 E,連接 BE方式 3：延長(zhǎng) MD 到 N,使 DN=MD 連接 CD(2)由厶 ABEABCD 導(dǎo)出由厶 ABEABCD 導(dǎo)出BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD(3)角分線，分兩邊，對(duì)稱全等要記全 角

4、分線+垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)(三線合一)E由厶 ABEABCD 導(dǎo)出方法：延長(zhǎng)其中一個(gè)補(bǔ)角的線段(延長(zhǎng)CD到E使ED=BM連AE或延長(zhǎng)CB到F,使FB=DN,連AF) 結(jié)論：MN=BM+DC CMN 2ABAM AN分別平分ZBMF和/DNM翻折：思路：分別將ABMAADh以AM和AN為對(duì)稱軸翻折，但一定要證明M P、N三點(diǎn)共線.(ZB+ZD=180且AB=AD(5)手拉手模型厶ABEAACF均為等邊三角形結(jié)論：(1)AABFAAEC (2)ZB0E=ZBAE=60 (“八字型”模型證明)；(3) 0A 平分ZEOF 拓展：BQ條件：ABCACDE勻?yàn)榈冗吶切?4/丁mif方法三:結(jié)論：(1

5、)、AD=BE( 2)、ZACBMAOB( 3)、PC創(chuàng)等邊三角形(4)、PQ/ AE( 5)、AP=BQ(6)、CC平分ZAOE( 7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD(7) , (8)需構(gòu)造等邊三角形證明)、ABDHACE均為等腰直角三角形結(jié)論：(1)、BD丄CF(2)、BD=CF變形一：ABEF和ACH均為正方形，ASL BC交FD于T,求證：T 為FD的中點(diǎn)SABCSADF-方法方法結(jié)論：(1)、BE=CD( 2)BE! CDABEF和ACH的為正方形變形二：ABEF和ACH均為正方形， M 為FD的中點(diǎn)，求證：ANILBC四、典型例題: 考點(diǎn)一：倍長(zhǎng)中線（或類中線）法:核心

6、母題 已知，如圖 ABC 中，AB=5, AC=3 貝忡線 AD 的取值范圍是 _練習(xí):1、如圖， ABC 中，E、F 分別在 AB AC 上，DEI DF, D 是中點(diǎn)，試比較 BE+CF 與 EF 的大小.當(dāng)以 AB AC 為邊構(gòu)造正多邊形時(shí),總有:Z1=Z2=I2、如圖， ABC 中，BD=DC=ACE 是 DC 的中點(diǎn)，求證： AD 平分/ BAE.3、如圖，CE CB 分別是 ABCMADC 的中線，且/ ACB2ABC 求證：CD=2CE4、已知：如圖，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在 CD 上，/ FAE= / BAE.求證：AF=BC+FC.BDC5、如

7、圖，D 是 AB 的中點(diǎn)，/ ACB=90 ,求證：2CD=AB.6、已知在厶 ABC 中，AB=AC D 在 AB 上，E 在 AC 的延長(zhǎng)線上，DE 交 BC 于 F, 且 DF=EF,求證：BD=CE7、已知在厶 ABC 中，AD 是 BC 邊上的中線，E 是 AD 上一點(diǎn)，且 BE=AC 延長(zhǎng) BE 交 AC 于 F,求證：AF=EF。8、已知：如圖，在ABC中，AB AC, D E 在 BC 上，且 DE=EC 過(guò) D 作DF / BA交 AE 于點(diǎn) F, DF=AC.求證：AE 平分BAC。論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由.10、已知：ABCAADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中BA

8、=BC DA=DE聯(lián)結(jié)EC取EC的中點(diǎn)聯(lián)結(jié)BM和DM(1)_如圖 1,如果點(diǎn)D E分別在邊AC AB上，那么BM DM的數(shù)量關(guān)系與位置 關(guān)系是 _ ;(2) 將圖 1 中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖 2 的位置時(shí)，判斷(1 )中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由.9、以ABC的兩邊ABAC為腰分別向外作等腰 RtABD和等腰 RtACEBADCAE 90,連接DE MN分別是BC DE的中點(diǎn).探究：AM與D啲位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1)如圖 當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系(2)將圖中的等腰 RtABD繞點(diǎn) A 沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0 AC,求證:BE-AC=AE練習(xí)1

9、、如圖所示，在ABC 中，AD 是 BAC 的外角平分線，P 是 AD 上異于點(diǎn) A 的任意一點(diǎn)，試比較 PB PC 與AB AC 的大小，并說(shuō)明理由.2、 如圖所示：/ ABC 的平分線 BF 與 ABC 中/ ACB 的相鄰?fù)饨? ACG 的平分線 CF 相交于點(diǎn) F,過(guò) F 作 DF/ BC,交 AB于 D,交 AC 于 E.問(wèn)：3、 ( 1 )寫出圖中的等腰三角形并說(shuō)明理由.4、 ( 2)若 BD=8cm, DE=3cm,求 CE 的長(zhǎng).4、如 圖，ABC 中，/ ABC=2 / C, BE 平分/ ABC 交 AC 于 E、AD 丄 BE 于 D,求證： (1 ) AC-BE=AE

10、;(2) AC=2BD.5、 如圖，在ABC 中，AB AC, E 為 BC 邊的中點(diǎn)，AD 為/ BAC 的平分線，過(guò) E 作 AD 的平行線，交 AB 于 F,交 CA 的延長(zhǎng)線于 G.6、 求證：BF=CG.變式一：如圖，在ABC 中，AD 交 BC 于點(diǎn) D，點(diǎn) E 是 BC 中點(diǎn)，EF II AD交 CA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，交 AB 于點(diǎn) G，若 BG CF，求證：AD 為 BAC 的角平分線.變式二：已知： ABC 中, AD 是厶 ABC 的角平分線，M 為 BC 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M 作 MN/ AD,交 AC 于點(diǎn) N ,求證：AN+AB=NC.變式三：在ABC中,人。是厶ABC

11、的角平分線.(1) 如圖 1,過(guò)C作CE/ AD交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若F為CE的中點(diǎn)，連結(jié)AF,求證：AF丄AD(2) 如圖 2,M為BC的中點(diǎn)，過(guò)M作MN/ AD交AC于點(diǎn)N,若AB=4,AC=7,6、如圖，已知 ABC 中，AB= AC, / A= 100,/ B 的平分線交 AC 于 D,求證：AD+ BD= BC7、如圖，在 ABC 中，ADL BC 于 D, CD= AB+ BD, / B 的平分線交 AC 于點(diǎn) E,求證：點(diǎn) E 恰好在 BC 的垂直平分 線上。8、如圖 1，在 ABC 中，/ ACB=2/ B,ZBAC 的平分線 AO 交 BC 于點(diǎn) D,點(diǎn) H 為 AO 上一動(dòng)

12、點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) H 作直線 I 丄AO 于 H,分別交直線 AB AC BC 于點(diǎn) N、E、M(3)請(qǐng)直接寫出 BN CE CD 之間的等量關(guān)系.9、如圖所示，在 ABC 中，/ ABC=3/ C, AD 是/ BAC 的 平分線，BELAD 于 F,求證：2BE=AC-AB求NC的長(zhǎng).(2)當(dāng) M 是 BC 中點(diǎn)時(shí)，寫出CE 和 CD 之間的等量關(guān)系，并加以證明;DDBA(1)當(dāng)直線 I 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C 時(shí)(如圖 2),證明：BN=CD變式：如圖，已知在 ABC 中， ABC 3 C ,12,BE AE求證： AC AB 2BE變式二：如圖，在ODC中，D 90, EC 是 DCO 的角平分線，且 O

13、E CE，過(guò)點(diǎn)EF OC 交 OC 于點(diǎn) F猜想：線段 EF 與 OD 之間的關(guān)系，并證明10、如圖所示，在 ABC 中，AD 平分 BAC ,AD AB, CMAD 于 M，求證 AB AC 2AM C變式三：如圖所示，在 ABC 中，AOAB, M 為 BC 的中點(diǎn)，AD 是/ BAC 的平分線，若 CF 丄 AD 且交 AD 的延長(zhǎng)線于1F，求證：MF=_（AC AB）。2A考點(diǎn)五：角含半角、等腰三角形的（繞頂點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)重合法核心母題如圖，在正方形 ABCD 中, E、F 分別是 BC CD 邊上的點(diǎn)，/ EAF=45，求證：EF=BE+DF.變式一：如圖，E、F 分別是邊長(zhǎng)為 1 的正方

14、形 ABCD 勺邊 BC CD 上的點(diǎn)，若厶 ECF 的周長(zhǎng)是 2,求/ EAF 的度數(shù)?C變式二：如圖，在正方形ABCD 中, E、F 分別是 BC CD 邊上的點(diǎn)，/ EAQ=45 , AH 丄 EF,求證：AH=AB.綜合：在正方形ABCDK若M N分別在邊BC CD上移動(dòng)，且滿足MN=BMDN求證：.ZMAN45.C CMN 2AB.AM AN分別平分ZBMNfnZDNM.練習(xí)1、如圖，在四邊形 ABCD 中, AB=BCZA=ZC=90,ZB=135 K N 分別是 AB BC 上的點(diǎn)，若 BKN 的周長(zhǎng)是AB 的 2 倍，求ZKDN 的度數(shù)？2、已知：正方形 ABCD 中，/ MA

15、N=45,ZMAN 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB、DC （或它 們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn) MN.當(dāng)ZMAN 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)至 U BM=DN 時(shí)（如圖 1）,易證 BM+DN=MN3、( 1 )當(dāng)/ MAN 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到 BMMDN 時(shí)(如圖 2),線段 BM DN 和 MN 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 寫出猜想，并加以證明；4、( 2)當(dāng)/ MAN 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到如圖 3 的位置時(shí)，線段 BM DN 和 MN 之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng) 直接寫出你的猜想.3、如圖，在四邊形ABCD 中,AB=AD, /B+ZD=180,E、F 分別是邊BCCD上的點(diǎn)，且2/ EAF=/BAD(1)

16、求證：EF=BE+FD(2)如果 E、F 分別是邊 BC CD 延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由。5、如圖所示，在五邊形 ABCDE 中, AB=AE BC+DE=C,DZABC+ZAED=180 求證：AD 平分ZCDE.6、如圖，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2, / ABC=/ AED=90 , 求五邊形 ABCDE 的面積.7、如圖 1.在 四邊形 ABCD 中.AB=AD,ZB+ZD=180 , E、F 分別是邊 BC、CD 上的點(diǎn)，且/ BAD=2ZEAF.8、 (1)求證：EF=BE+DF;9、 (2)在(1）問(wèn)中，若將 AEF 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

17、當(dāng)點(diǎn) E、F 分別運(yùn)動(dòng)到 BC、CD 延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 2 所示，10、試探究 EF、BE、DF 之間的數(shù)量關(guān)系.8、如圖，在厶 ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC, P 是厶 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 PA=3, PC=2, PB=1 .求/ BPC 的度數(shù)考點(diǎn)六：構(gòu)造特殊三角形核心母題 女口圖，在厶 ABC 中，AD 交邊 BC 于點(diǎn) D, / BAD=15 ,/ ADC=4/ BAD, DC=2BD.(1 )求/ B 的度數(shù)；(2)求證：/ CAD=ZB.B CI) E練習(xí)1、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2 , 0)、B(0, 4)，以 AB 為斜邊作等腰直角 ABC 貝卩點(diǎn) C 的坐標(biāo)為?2、如圖，在正方形網(wǎng)格圖中, 求/ 1+Z2+Z3 的度數(shù)和。A3、已知：平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn)，A (1,0 )、B (2,1)、C (0,3 ),求/ OCA 乂 OCB勺度數(shù).011111LL 1 | *OA v-*7?6、已知AD 2，BD 4，以AB為一邊作等邊三角形ABC使C D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).7、已知：PA ,2 ,PB 4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)(1)如圖，當(dāng)/APB=45時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng)；(2)當(dāng)/APB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD的 最大值，及相應(yīng)/APB的大小.8、在四邊形ABDEK C是