層次分析法的詳細(xì)步驟

1、層次分析方法問題1某工廠在擴(kuò)大企業(yè)自主權(quán)后，廠領(lǐng)導(dǎo)正在考慮如何合理地使用企業(yè)留成的利潤(rùn)。在決策時(shí)需要考慮的因素主要有(1)調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性；(2)提高職工文化水平；(3)改善職工物質(zhì)文化生活狀況。請(qǐng)你對(duì)這些因素的重要性進(jìn)行排序，以供廠領(lǐng)導(dǎo)作參考。分析和試探求解這個(gè)問題涉及到多個(gè)因素的綜合比較。由于不存在定量的指標(biāo)，單憑個(gè)人的主觀判斷雖然可以比較兩個(gè)因素的相對(duì)優(yōu)劣，但往往很難給出一個(gè)比較客觀的多因素優(yōu)劣次序。為了解決這個(gè)問題，我們能不能把復(fù)雜的多因素綜合比較問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的兩因素相對(duì)比較問題呢？運(yùn)籌學(xué)家想出了一個(gè)好辦法： 首先找出所有兩兩比較的結(jié)果， 并且把它們定量化； 然后 再運(yùn)用適當(dāng)?shù)?/p>

2、數(shù)學(xué)方法從所有兩兩相對(duì)比較的結(jié)果之中求出多因素綜合比較的結(jié)果。具體操作過程如下： 1)進(jìn)行兩兩相對(duì)比較，并把比較的結(jié)果定量化。首先我們把各個(gè)因素標(biāo)記為Bi：調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性；B2：提高職工文化水平；B3：改善職工物質(zhì)文化生活狀況。根據(jù)心理學(xué)的研究，在進(jìn)行定性的成對(duì)比較時(shí)，人們頭腦 中通常有5種明顯的等級(jí)：相同、稍強(qiáng)、強(qiáng)、明顯強(qiáng)、絕對(duì)強(qiáng)。因此我們可以按照下表用 19尺度來定量化。定性結(jié)果定量結(jié)果Bi與Bj的影響相同Bi : Bj = 1:1Bi比Bj的影響稍強(qiáng)Bi : Bj = 3:1Bi比Bj的影響強(qiáng)Bi : Bj = 5:1Bi比Bj的影響明顯強(qiáng)Bi : Bj = 7:1Bi比Bj的影

3、響絕對(duì)強(qiáng)Bi : Bj = 9:1Bi與Bj的影響在上述兩個(gè)等級(jí)之間Bi : Bj = 2,4,6,8:1Bi與Bj的影響和上述情況相反Bi : Bj = 1:1,2,，9假定各因素重要性之間的相對(duì)關(guān)系為：B2比B1的影響強(qiáng)，B3比B1的影響稍強(qiáng)，B2比B3 的影響稍強(qiáng)，則兩兩相對(duì)比較的定量結(jié)果如下:81: B11:1;B1:B21:5;B1: B31:382: B15:1;B2:B21:1;B2:B33:183: B13:1;B3:B21:3;B3:B31:1為了便于數(shù)學(xué)處理，我們通常把上面的結(jié)果寫成如下矩陣形式，稱為成對(duì)比較矩陣。B1B2B3B111/51/ 3(1)B2513B331/

4、312) 綜合排序?yàn)榱诉M(jìn)行合理的綜合排序，我們把各因素的重要性與物體的重量進(jìn)行類比。設(shè)有 n 件物體：A1,A2,，An,它們的重量分別為：W1,W2,，Wn。若將它們兩兩相互比較重量，其比值(相對(duì)重量)可構(gòu)成一個(gè)n X n成對(duì)比較矩陣a1,1a1,2La1,nW1 /W1W1 /W2LW1 /Wna2,1a2,2La2,nW2 /W1W2 /W2LW2 /WnA(2)LLLLLLLLan,1an,2Lan,nWn /W1Wn /W2LWn /Wn經(jīng)過仔細(xì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)成對(duì)比較矩陣的各行之和恰好與重量向量W = (Wl, W2,，Wn)T成(3)正比，即W1a1,jW2na2, jMj1MWn

5、an,j根據(jù)類比性，我們猜想因素的重要性向量與成對(duì)比較矩陣(1)之間也有同樣的關(guān)系存在。為了使用方便，我們可以適當(dāng)?shù)剡x擇比例因子，使得各因素重要性的數(shù)值之和為 程稱為歸一化，歸一化后因素重要性的數(shù)值稱為權(quán)重，重要性向量稱為權(quán)重向量 得到一個(gè)權(quán)重向量由此，我們可以得到因素的重要性向量為W111/51/323/15W25139W331/3113/ 3W1 (這個(gè)過) ，這樣就(4)Wi0.103W w20.606(5)w30.291上式中元素的權(quán)重大小給出了各因素重要性的綜合排序。又(2)式的進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)A,i a2,1a1,2a2, 2LLa1,na2,n四W2四W2AW,nnW(6)L

6、LLLLLan,1an,2Lan,nWnWn這說明 W還是成對(duì)比較矩陣 A的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為n,理論上已嚴(yán)格地證明了n是A的唯一最大特征值。按類比法，我們也可以用求解特征方程的辦法來得到重要性向量。與(1)式對(duì)應(yīng)的特征方程為1 1/51/3 w1W1513w2n w2(7)3 1/31w3w3由此可以解出其最大特征值為n'=3.038,對(duì)應(yīng)的特征向量為:(8)W ' = (0.105, 0.537, 0.258)致性檢驗(yàn)既然存在誤差，我們就需要知道誤差的程度到底有多大？會(huì)不會(huì)影響綜合排序的結(jié)果？理論上已經(jīng)證明：對(duì)于具有一致性的成對(duì)比較矩陣，最大特征值為n;反之如果一個(gè)成

7、對(duì)比較矩陣的最大特征值為 n,則一定具有一致性。估計(jì)誤差的存在破壞了一致性，必然導(dǎo)致特 征向量及特征值也有偏差。我們用n'表示帶有偏差的最大特征值，則 n'與n之差的大小反映了不一致的程度?？紤]到因素個(gè)數(shù)的影響，Saaty將CIn' n n 1(9)定義為一致性指標(biāo)。當(dāng) CI = 0時(shí)，成對(duì)比較矩陣 A矩陣完全一致，否則就存在不一致；CI越大，不一致程度越大。為了確定不一致程度的允許范圍，Saaty又定義了一個(gè)一致性比率CR,當(dāng)CR CI / RI 0.1(10)時(shí)，認(rèn)為其不一致性可以被接受，不會(huì)影響排序的定性結(jié)果。 (10)式中R I值如下表所示n1234567891

8、0RI000.580.961.121.241.321.411.451.49應(yīng)用上面的結(jié)果，我們可以算出成對(duì)比較矩陣(1)有CI = 0.019, CR = 0.033(11)因此其不一致性可以被接受。問題2某工廠在擴(kuò)大企業(yè)自主權(quán)后，廠領(lǐng)導(dǎo)正在考慮如何合理地使用企業(yè)留成的利潤(rùn)。可供選擇的方案有：I、發(fā)獎(jiǎng)金；II、擴(kuò)建食堂、托兒所；III、開辦職工技校；IV、建圖書館；V、 引進(jìn)新技術(shù)。在決策時(shí)需要考慮到調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性，提高職工文化水平和改善職工物質(zhì)文化生活狀況等三個(gè)方面。請(qǐng)你對(duì)這些方案的優(yōu)劣性進(jìn)排序，以便廠領(lǐng)導(dǎo)作決策。解答劃分層次顯然這是一個(gè)多目標(biāo)的決策，問題涉及到許多因素， 各種因素的

9、作用相互交叉，情況比較復(fù)雜。要處理這類復(fù)雜的決策問題，首先需要對(duì)問題所涉及的因素進(jìn)行分析：哪些是要相互比較的；哪些是相互影響的。 把那些要相互比較的因素歸成同一類，構(gòu)造出一個(gè)各因素類之間相互聯(lián)結(jié)的層次結(jié)構(gòu)模型。 各因素類的層次級(jí)別由其與目標(biāo)的關(guān)系而定。在上述問題中，因素可以分為三類：第一是目標(biāo)類，即合理地使用今年企業(yè)留利XX萬元；第二是準(zhǔn)則類，這是衡量目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)，如調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性、提高企業(yè)的生 產(chǎn)技術(shù)水平等等；第三是措施類，指實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的方案、方法、手段等等。按目標(biāo)到措施自上而下地將各類因素之間的直接影響關(guān)系分不同層次排列出來，可以構(gòu)成一個(gè)直觀的層次結(jié)構(gòu)圖。如下圖所示：目標(biāo)層準(zhǔn)則層合

10、理使.用企業(yè)留底措施層5發(fā)G建篥體獎(jiǎng)金福利設(shè)施烏亦技校g建a引進(jìn)圖書館新技術(shù)每一層中的各因素對(duì)上一層因素的相對(duì)重要性可以用問題i中的方法確定，由層次關(guān)系可以計(jì)算出措施層各方案最高層的相對(duì)權(quán)重，從而給出各方案的優(yōu)劣次序。層次單排序不同準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的影響已經(jīng)在問題i中得到了解決，現(xiàn)假定不同措施對(duì)各準(zhǔn)則的影響如下：1 .不同措施對(duì)調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性影響的成對(duì)比較矩陣BiCiC2C3 C4 C5Ci 13C2 1/31C3 1/5 1/3C4 1/4 1/2C5 1/7 1/554732511/222131/2 1/3 1(12)其權(quán)重向量為： W1(0.491, 0.232, 0.092,0.13

11、8, 0,046)T2 .不同措施對(duì)提高職工文化水平影響的成對(duì)比較矩陣B2C2C3C4C5C211/71/31/5(13)C37153C431/511/3C551/331其中措施I (發(fā)獎(jiǎng)金)對(duì)提高職工文化水平?jīng)]有什么影響，在成對(duì)比較矩陣中不出現(xiàn)，重要性按零計(jì)算。其權(quán)重向量為：W ( 0 ,0,055, 0,564,0,118, 0,263)T3 .不同措施對(duì)改善職工物質(zhì)文化生活狀況影響的成對(duì)比較矩陣B3GC2C3C4Ci1133(14)C21133C31/31/311C41/31/311其權(quán)重向量為： W3 (0.406,0.406, 0.094,0.094,0 )T總排序上述過程中求出的是

12、同一層次中相應(yīng)元素對(duì)于上一層次中的某個(gè)因素相對(duì)重要性的排 序權(quán)值，這稱為層次單排序。若模型由多層次構(gòu)成， 計(jì)算同一層次所有因素對(duì)于總目標(biāo)相對(duì)重要性的排序稱為總排序。這一過程是由最高層到最低層逐層進(jìn)行的。設(shè)上一層次A包含m個(gè)因素A1, A2,，Am,其總排序的權(quán)重值分別為a1, a2,，am；下一層次B包含k個(gè)因素B1, B2,，Bk,它們對(duì)于A的層次單排序的權(quán)重值分別為b1,j , b2,j,，bk,j (當(dāng)Bi與Aj無聯(lián)系時(shí)，bi,j = 0 ”此時(shí)B層i元素在總排序中的權(quán)重值可以由上一層次總排序的權(quán)重值與本層 次的層次單排序的權(quán)重值復(fù)合而成，結(jié)果為：mWib,j aj i 1,2, k(15)j 1由此，各個(gè)方案相對(duì)于目標(biāo)層的總排序可以用下表計(jì)算C層又B層的相對(duì)權(quán)值B10.105B20.637B30.258C層總排序C10.49100.4060.157C20.2320.0550.4060.164C30.0920.5640.0940.393C40.1380.1180.0940.113C50.0460.26300.172寫成矩陣形式為0.4910.0000.4060.1570.2320.0550.4060.1050.1460.0920.5640.0940.6370.393(16)0.1380.1180.