圓錐曲線題型歸納(經(jīng)典含答案)

1、橢圓題型總結(jié)一、橢圓的定義和方程問題（一）定義：1 .命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)A,B的距離之和 PA PB 2a（a 0,常數(shù)）；命題乙：P的軌跡是以A、B為 焦點(diǎn)的橢圓，則命題甲是命題乙的（B ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件2 .已知F1、F2是兩個(gè)定點(diǎn)，且 怛/2 4,若動(dòng)點(diǎn)P滿足PFiPF2 4則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（D ）A.橢圓B.圓C.直線D線段3 .已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q,使得PQPF2 ,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是（B ）A.橢圓B.圓C.直線D.點(diǎn)224 .橢圓x- y- 1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為

2、2, N為MF1的中點(diǎn)，O是橢圓的中心，則 ON的值259是 4。225.選做：Fi是橢圓人 1的左焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn) A（1,1）,求|PA| |PFi|的最小95值。解：|PA| |PF111PA 12a | PF2 | 2a | AF2 | 6. 2（二）標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)范圍21.試討論k的取值范圍，使方程(略)一1表示圓，橢圓，雙曲線。k 32“m n 0” 是.A.充分而不必要條件“方程mx2ny2B.必要不充分條件1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的c充要條彳D.既不充分又不必要條件3 .若方程x2 siny2cos1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所在的象限是（A ）A.第一象限B.第二象

3、限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4 .方程x v1 3y2所表示的曲線是橢圓的右半部分5.已知方程x2 ky2 2表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的范圍是 _k1 （三）待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)2 y169(2)2y52(3)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0, 5）和（0, 5）,橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為 26；2x一 1144長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且過點(diǎn)（2, 6）；222xx y1,或113148 37已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P（J6,1）,F2（ V3, J2）,求橢圓方程.2.1.2 y_ 3簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1

4、)222匕1,或工144 801442y80過2y27(3, 0)點(diǎn),離心率為2229936e 3。(3)橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓的最近距離 是33 。2y9(4)2y162x1221,或土92L 112橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5,焦點(diǎn)到橢圓中心的距離為3,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(5)2x25已知221,或二上11625P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上,點(diǎn) p到兩焦點(diǎn)的距離分別為4 52 5絲3和幺2 ,過P作長(zhǎng)軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。3x2102 c 21,或 J y-12x3.過橢圓-2a52 y b2101(a b 0)的左

5、焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,F2為右焦點(diǎn)，若F1PF2則橢圓的離心率為,33(四)橢圓系22x y1.橢圓259共焦點(diǎn)，相同離心率25 k 9 k1(0 k 9)的關(guān)系為(AA.相同的焦點(diǎn)2 x 2、求與橢圓9Bo有相同的準(zhǔn)線Co有相等的長(zhǎng)、短軸2D。有相等的焦距y 1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn) 3, 2的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。42x15(五)焦點(diǎn)三角形 4a221 .已知F1、F2為橢圓二 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)。若F2A F2B 12, 25 9則 AB 8。2 22.已知F1、F2為橢圓二 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且斜率不為0的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則25 9ABF1的周長(zhǎng)是

6、20。2_ x3.已知 ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓一3在BC邊上，則 ABC的周長(zhǎng)為 (六)焦點(diǎn)三角形的面積：y2 1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)1.2已知點(diǎn)P是橢圓上 y2 1上的一點(diǎn)，E、F2為焦點(diǎn), 4PF1?PF2 0，求點(diǎn)P到x軸的距離。2.3.4.解：設(shè)P(x, y)則2 x 設(shè)M是橢圓25cos解:4b2已知點(diǎn)3_32x2x4y2 3y2 1解得|y| W1,所以求點(diǎn)P到x軸的距離為|y|出 332y16IPF1121上的一點(diǎn)，E、F2為焦點(diǎn)，F(xiàn)1MF2 ,求F1MF2的面積。6IPF2 I2 IF1F2I2 (IPF1I IPF2I)2 2IPF1I IPF2

7、I 4c22IPF1 I IPF2I 2IPF1I IPF2I2|PFJ |PF2|2IPF1EIF1MF22xP是橢圓25x已知AB為經(jīng)過橢圓a最大值為 cb 。(七)焦點(diǎn)三角形2 x1 .設(shè)橢圓一 9點(diǎn)的坐標(biāo)。2 x2 .橢圓9120O,2x3 .橢圓一9S=1 | PF111PF2 | sin- 16(2 2621上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、9F2為焦點(diǎn),2J 1(a b 0)的中心的弦, b2. 3)12,則PF1F2的面積為_若F(c,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，則4 AFB的面積的2y- 1的兩焦點(diǎn)分別為F1和F2, P為橢圓上一點(diǎn)，求PF1？PF2的最大值，并求此時(shí)P 42L 1的焦點(diǎn)為E、F2,點(diǎn)

8、P在橢圓上，若 PF1 22y- 1的焦點(diǎn)為F)、F242_;F1PF2p為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)p的橫坐標(biāo)的取值范圍為, 35 35、(,-)55(八)與橢圓相關(guān)的軌跡方程定義法:1.點(diǎn)M(x,y)滿足Jx2 (y 3)2 xx2 (y 3)210，求點(diǎn)M的軌跡方程。2.3.4.5.22工土25 161)2已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A( 3,0),并且在定圓B:(x 3)2軌跡方程.2y 64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心22土 L 116722_22已知圓C：(x 3) y4,圓C2：(x 3) y 100 ,動(dòng)圓P與C1外切，與C2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.解：由題 |PC1 |

9、| PC21r 2 10 r 1222所以點(diǎn)P的軌跡是：以C1, C2為焦點(diǎn)的距離之和為12的橢圓。c 3,a 6 ,方程為 y- 13627一，11.22.已知A( 2,0) , B是圓F ：(x萬(wàn))y 4( F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交 BF于P ,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為已知A(0,-1),B(0,1)QABC的周長(zhǎng)為6,則 ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程是直接法4A6.若 ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 B(0,6)和C(0, 6),另兩邊AB、AC的斜率的乘積是一，頂點(diǎn)A922的軌跡方程為y- 1。8136相關(guān)點(diǎn)法22.7.已知圓x y 9,PM 2MP ，求點(diǎn)從這個(gè)圓上任意一點(diǎn) M

10、的軌跡。P向x軸引垂線段PP,垂足為P,點(diǎn)M在PP上，并且8.2x9一 2 已知圓x11,從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向X軸引垂線段PP,則線段PP的中點(diǎn)M的軌跡方程是一2/2x 4y 1二、直線和橢圓的位置關(guān)系(一)判斷位置關(guān)系1 .當(dāng)m為何值時(shí)，直線l:y x m和橢圓9x2 16y2 144 (1)相交；(2)相切；(3)相離。y x m2解：由 22 消去 y 得25x2 32mx 16m2 144 0,判別式：576(25 m )9x2 16y2 144所以，當(dāng) 5 m 5時(shí)直線與橢圓相交；當(dāng) m5時(shí)直線與橢圓相切；當(dāng) m5或m 5時(shí)直線與橢圓相離。2 .若直線y kx 2與橢圓2x2 3y

11、2 6有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k的取值范圍為 。(二)弦長(zhǎng)問題221 .設(shè)橢圓C:x2 4 1(a b 0)的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 Fl、F2,過右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直 a b線l與橢圓C相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為 M (J2,1)。2 2(1) 求橢圓的方程；y- 142(2) 設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B (0, -b),直線BF2交橢圓C于另一點(diǎn)N,求 F1BN的面積。解：由(1)點(diǎn) B (0,J2), F2(2,0),直線 BE 的方程為：x y 424,23x y . 2x2 y2 消去y得：3x2 4j2x 0，解得x 0或x1 42所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(土了，2)33所以 S F1BN S F1

12、F2B S F1F2N 2 2 2(32) 3(三)點(diǎn)差法22定理 在橢圓 : 1 (ab0)中，若直線l與橢圓相交于 M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(x0,y0)是弦 a2 b2MN的中點(diǎn)，弦 MN所在的直線l的斜率為kMN ,貝U kMNV。x0b2-2 .a(1)(2)1.已知一直線與橢圓 4x2 9y236相交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),求直線AB的方程.x x2.12_2214x1 9 yl36解：設(shè)交點(diǎn) A(x1, y1)B(x2, 丫2),則有，22y1 y2 14x29 y2362(2) -(1)得 4(x2 xj(x2 x1)9(y2 y1)( y2 y1)0(y2 y1)

13、4即 二 k ,又直線ab過點(diǎn)(1,1)(x2 x1)9-，、-4，、所以直線AB的方程為：y 1 一(x 1)9222.直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1, 2),交橢圓 y- 1于兩點(diǎn)P1、P2,36 16(1)若A是線段P1P2的中點(diǎn)，求l的方程；(2)求P1P2的中點(diǎn)的軌跡.解：(1)設(shè) P1(x1, y1)、P2(x2, V2),2Xi則362X2362yi162V216.(X1 X2)(X1 X2)(V1V2)(V1 y2)3616. A(1, 2)是線段 P1P2 的中點(diǎn),. .X1+X2=2, y1+y2=4,. 2(X1 X2)4(y1y2)0,即 y1V22。3616， X1x29.l 的

14、方程為 y 2(x 1) 2,即 2x+9y-20=0.9(2)設(shè) P1P2 的中點(diǎn) M(x, y),則 X1 +x2=2x, y+y2=2y,代入*式，得k y1 y2又直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1, 2), k y 2 ,X1 X29yX 1整理，得4x(x-1)+9y(y-2)=O,，P1P2的中點(diǎn)的軌跡： (/12(X 2) (y 1)2 151029（四）定值、定點(diǎn)問題22M ( 1,0),求證:3X V ，、_ ,1、已知?jiǎng)又本€ y k（x 1）與橢圓C: 1相交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)553 uur uuir MA MB為定值.證明：設(shè)交點(diǎn) A(x1, y1), B(x2, y2)y k(x

15、1)由1 9 消去 y 得(1 3k2)x2 6k2x 3k2 x2 3y2 5則有X1 X26k2-2 , X1X 21 3k3k2 51 3k2MA (X1 7,y1), MB (x233,y2)7 MA MB (X1)(X23uur uuirMA MB為定值72、3) y y2(1 k )X1X2k2)(x1X2)499k219.已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 X軸上，焦距為2,短軸長(zhǎng)為2日（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l： y kx m k 0與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M、N （ M、N不是橢圓的左、右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)A .求證：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐

16、標(biāo).解：（I ）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a ,短半軸長(zhǎng)為b,半焦距為c ,則2c2b2a2,23,22b c ,a 2, 解得一.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為b 3,2匕1.3(n)由方程組22x y43y kx m2消去y ,得 3 4k2 x28kmx24m12由題意 8km 4 3 4k24m120,整理得:3 4k2設(shè) M x1, y1、N X2,y2，則XiX28km23 4k224m12由已知,AMAN,且橢圓的右頂點(diǎn)為A (2,0),X1X2 km 2 X1X2X1X21 k224m312 4k28kmkm 2 23 4k2_2m 4整理得7 m216mk一2 一 .一4k 0 .解得m2k2k時(shí)

17、，直線l的方程為kX-23 4k2X12 X22y1 y202k，均滿足72k ,過定點(diǎn)(2,0),不符合題意舍去;2k時(shí)，直線l的方程為722x -,過定點(diǎn)(亍,0),故直線l過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為(710) -分1320.在直角坐標(biāo)系XOy中，點(diǎn)M到F1(J3,0)、F2(J3,0)的距離之和是4,點(diǎn)M的軌跡C與X軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A ,不過點(diǎn)A的直線l ： y kX b與軌跡C交于不同的兩點(diǎn) P和Q .(1)求軌跡C的方程;uuu uuur(2)當(dāng)AP AQ 0時(shí)，求k與b的關(guān)系，并證明直線解：(1)二.點(diǎn)M至U (73,0), (J3,0)的距離之和是4,y2 1 .M的軌跡C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

18、4,焦點(diǎn)在x軸上焦距為2百的橢圓，其方程為(2)將y kX b ,代入曲線C的方程，整理得(1 4k2)x2 8kbX 4b2因?yàn)橹本€l與曲線C交于不同的兩點(diǎn) P和Q所以64k2b2 4(1 4k2)(4b2 4)_2216(4k b1) 0.設(shè) P(Xi, y1), Q(X2, y2),則 xX28kb1 4k2X1X24b2 41 4k2且 y1 y2 (kx1 b)(kx2 b) k2x1x2kb(X1 x2)b2.顯然，曲線C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A(2,0)，uuruur所以 AP （Xi 2,必），AQ （X2uur uuur2,y2),由 AP AQ 0,得(Xi 2)(X2 2)

19、y1y20 .將、代入上式，整理得12k216kb 5b2 0 ,分 10所以(2k b)(6k 5b) 0,即 b62k或b ?k.經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件 .52k時(shí)，直線l的方程為y kx顯然,此時(shí)直線l經(jīng)過定點(diǎn)（2,0）八、即直線l經(jīng)過點(diǎn)A ,與題意不符.6k時(shí)，直線l的方程為5kxk（x 5） .顯然，此時(shí)直線l經(jīng)過定點(diǎn)66.(一,0)點(diǎn)5且不過點(diǎn)綜上,k與b的關(guān)系且直線l經(jīng)過定點(diǎn)（9,0）點(diǎn).5三、最值問題2，一 X5.已知P為橢圓一41上任意一點(diǎn),M (m, 0) (m C R),求PM的最小值。目標(biāo)：復(fù)習(xí)鞏固定點(diǎn)與圓錐曲線上的點(diǎn)的連線段的最值問題。提示：設(shè)P（x,y）,用距離公式表示

20、出PM,利用二次函數(shù)思想求最小值。解：設(shè) P(x,y), PM=J(x m)2y2 = j(x m)2 1 亍=J3x- 2mx 13,4m 9 . m2二-(x )1 ,x433-2,2,結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)圖像可得(1) 4m -2,即 m 3 時(shí),32(PM)min = |m+2| ;(2) -24m 2,即 m當(dāng)時(shí)，（PM）min=|m-2|. 32b,最遠(yuǎn)的說明：（1）類似的，亦可求出最大值；（2）橢圓上到橢圓中心最近的點(diǎn)是短軸端點(diǎn)，最小值為點(diǎn)是長(zhǎng)軸端點(diǎn)，最大值為 a; （3）橢圓上到左焦點(diǎn)最近的點(diǎn)是長(zhǎng)軸左端點(diǎn)，最小值為a-c,最遠(yuǎn)的點(diǎn)是長(zhǎng)軸右端點(diǎn)，最大值為 a+c;2般則與直A =0

21、軍得m=2 2.當(dāng)m=2j2時(shí)，直線與橢圓的切點(diǎn) P勺直線l的距離最近，最近為 110 2=2 5 ,此時(shí)點(diǎn) 、55坐標(biāo)是（2 ,1）;當(dāng)m=-2j2時(shí)，直線與橢圓的切點(diǎn) P與直線l的距離最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)為 |10型=2 5” ,此時(shí)點(diǎn) 、55坐標(biāo)是(.2 ,2)o解法二：設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(2cos 0 ,sin 09校2)則P到直線l的距離為2： - 2 sin( ) 10|2cos 2sin 10|4當(dāng)。一時(shí)，P到直線l 4當(dāng)。金一時(shí)，P到直線說明：在上述解法一中體現(xiàn)了的距離最大，最大為2/5 21此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（J2,2）；52l的距離最小，最小為 2娓 21。,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（J2 ,

22、52)數(shù)形結(jié)合”的思想，利用數(shù)形結(jié)合順利把點(diǎn)與直線的距離問題迅速轉(zhuǎn)化成兩平行線間的距離。在解法二中,利用橢圓的參數(shù)方程可迅速達(dá)到消元的目的，而且三角形式轉(zhuǎn)換靈活多變,利用正余弦的有界性求最值或取值范圍問題是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。227.設(shè)AB是過橢圓x- - 1中心的弦，F(xiàn)i是橢圓的上焦點(diǎn)， 925(1)若AABFi面積為4而，求直線 AB的方程；(2)求 ABFi面積的最大值。解：(1)設(shè) AB： y=kx,代入橢圓，得 x2=, .-.xi=-x2=又，Saabfi= | OFi| |xi-x2|=2| xi-x2|=4,| xi-x2|=2,=5, k= ,直線 AB 的方程為 y= x。(2

23、) SAABFi= | OFi| | xi-x2|=4 ,，當(dāng) k=0 時(shí)，(SzABFi)Max=i2。|9.設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0), B(0,i)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y kx(k 0)與AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).uur uuur(i)若ED 6DF ,求k的值；(2)求四邊形AEBF面積的最大值.2(1)解：依題設(shè)得橢圓的方程為 y2 1 ,4直線 AB, EF 的方程分別為 x 2y 2 , y kx(k 0). 如圖，設(shè)D(x0,kxO),E(xi,kxi),F(x2,kx2),其中 x2,且 X,x2滿足方程(14k2)x24 ,故x2xi_2_,1 4k2

24、_10_7、1 4k2uuruur15由 ED6DF 知x0x16(x2x0),得 x0(6x2x1) x22 .210由 D 在 AB 上知 x0 2kx0 2,得 x0.所以2J0,1 2k 1 2k 7，4k2223化簡(jiǎn)得24k25k 6 0,解得k 或k3 8(2 )解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式知，點(diǎn)E, F到AB的距離分別為hi|x1 2kxi 22(1 2k ,1 4k2)5(1 4k2)，h2x2 2kx2 252(1 2k ,1 4k2)5(1 4k2)AB J22 1 J5 ,所以四邊形AEBF的面積為71AB (hih2)%后 旬 2kJ2(1=2k2) 22.5(1

25、 4k2). 1 4k當(dāng)2k 1,即當(dāng)k 1時(shí)，上式取等號(hào).所以 S的最大值為2衣2解法二：由題設(shè),BO 1設(shè) ykx1，y2y10,故四邊形 AEBF的面積為SSa BEFSa aefx2 2y2、(x2 2y2)2x2 4y2 4x2y2 W 2(x2 4y2) 2/2 ,當(dāng)x22 y2時(shí)，上式取等號(hào).所以 S的最大值為四、垂直關(guān)系10.（上海春季）已知橢圓 C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 與（1,0）、F2（1, 0）,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B1、B2。若F1BB2為等邊三角形，求橢圓 C的方程;(2)unr若橢圓C的短軸長(zhǎng)為2,過點(diǎn)F2的直線l與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，且FFFQr ,求直線l的方程

26、。解：（1）設(shè)橢圓22C的方程為人工 a2b2(a b 0)。根據(jù)題意知a2 a2bb2,解得a212b2 1,故橢圓c的方程為x2（2）容易求得橢圓C的方程為 土2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為1 ,不符合題意;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x 1)。y2 x2k(x 1)y2 1，得(2k2 1)x24k2 x 2(k21) 0。P（x1，y1），Q(x2, y2),4k22k2 1取22(k21)2k2 1uuir，F(xiàn)1P (x1 1,必)，unrFQ(x2 1, V2)，uuiruuir因?yàn)?F1PF1Q ,uur uuir 所以F1P F1Q0,即(Xi 1)(X2

27、1) V1V2 X1X2 (Xi X2)1 k2(X11)(X2 1)22(k2 1)X1X2 (k21)(X1 X2)k2 17k2 12k2 1故直線l的方程為?；騒7y 10。211.如圖，設(shè)橢圓y2 1的上頂點(diǎn)為B,右焦點(diǎn)為F,直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，問是否存在直線2l使彳導(dǎo)F為ABMN的垂心。若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由。解：由已知可得，B(0, 1), F(1, 0), .kBF=-1oBF，l, 可設(shè)直線l的方程為y=x+m,代入橢圓方程整理，得223x 4mx 2m 2設(shè) M 國(guó)，y1), N(X2,則為X24m53X1X22m2 23. BNXMF,yX_

28、 y2 11X2X1X2y1x20。V2(X1 m)(X2m) X1X2(X1 m)即 2X1X2(m1)(X1X2) m2.J3(m1)( 4m)23m由(4m)212(2m2 2) 24 8m2得m23又m 1時(shí)，直線l過B點(diǎn)，不合要求,故存在直線l : y4滿足題設(shè)條件。3雙曲線題型總結(jié).定義的應(yīng)用Fx20。1.動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)片(0,5)與點(diǎn)F2(0, 5)滿足|PFj |PF26,則點(diǎn)P的軌跡方程為2.已知點(diǎn) Fi( 4,0)和 F2(4,0),曲線上的動(dòng)點(diǎn) P到F1、F2的距離之差為6,則曲線方程為()A.2B.92 x 1(y 0) C72XD.91(x0)3.已知平面上兩定點(diǎn)Fi ,

29、F2及動(dòng)點(diǎn)M ,命題甲:MF1MF22a(a為常數(shù))，命題乙：“點(diǎn)M軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線”,則命題甲是命題乙的(A:充分不必要條件B :必要不充分條件C:充要條件D :既不充分也不必要條件22 一4雙曲線4x y 640上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16.5 ,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等225.設(shè)P是雙曲線 a91上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x 2y0, F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若PE| 3,則PF2的值為6.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)F1, F2分別為(/5,0)和(J5,0),點(diǎn)P在雙曲線上且 PF1 PF2,且PF1F2的面積為1,則雙曲線的方程為7.已知

30、雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi(J5,0), f2(J5,0) , p是雙曲線上的一點(diǎn),且 PF1 PF2,PFi IPF22則該雙曲線的方程是22A：L 1232B:-38.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線4 b21 (b0)的焦點(diǎn)，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P,且PF1F230;2X9.雙曲線一92y161的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線上，若 PF1PF2,則點(diǎn)P到X軸的距離為一10.雙曲線16x2-9y2=144上一點(diǎn)P(X0,y0)(X0 0)到左焦點(diǎn)距離為 4,則X0三22211.若橢圓1(m n 0)和雙曲線 m na21(a b 0)有相同的焦點(diǎn)F1, F2,點(diǎn)P是兩條曲線的 b一

31、個(gè)交點(diǎn)，則IPF1HPF2I的值為12.動(dòng)圓與兩圓X2 y2 1和X2 y2 8x12 0都相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為(A.拋物線B.圓C.雙曲線白一支D.橢圓2213.P是雙曲線x2y2r1（a0,b 0）左支上的一點(diǎn)，F(xiàn)l,F2為其左、右焦點(diǎn)，且焦距為2c,則PF1F2a b的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為 二.雙曲線的幾何性質(zhì)1 . ab0是方程ax2 by2 c表示雙曲線”的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件2 .雙曲線2x2 y2 m的一個(gè)焦點(diǎn)是（0,J3）則m的值是。3 .如果雙曲線的漸近線方程為y 3x,則離心率為44.雙曲線mx2 y2 1的虛軸長(zhǎng)

32、是實(shí)軸長(zhǎng)的 2倍，則m（）A: 4B: 1C: 4D : 144225.雙曲線、 1的兩條漸進(jìn)線互相垂直，那么該雙曲線的離心率為（）a bA:2B： 、3C: 2D :32226 .雙曲線x yy 1的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距成等比數(shù)列，則其離心率為 （）a bA: .2b7c：4d、3227 . P是雙曲線x2 y2 1上一點(diǎn)，則P到兩條漸近線的距離的積為 228.雙曲線x2 yr 1的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為 . a b2 x9.已知雙曲線 a2 1的兩條漸近線的夾角為一，則雙曲線的離心率為 2310.已知雙曲線 L 1的離心率為e 2,則k的范圍為4 k222 ,其離心率為11

33、.若雙曲線x2 與1的一條漸近線的傾斜角為0a b22x y12.方程2 m 2 m1表示雙曲線，則 m的取值范圍A: 2 m 2 B: m 0C : m 0 D : m 22 x 13橢圓342幺2n2- 一- x1和雙曲線T n216 1有相同的焦點(diǎn),則實(shí)數(shù) n的值是A: 5B: 3C :25D :9x214.曲線10 m2-y 1(m 6)與曲線6 m1(5m 9)的()A:焦距相等15.已知橢圓2-23m 5nB :離心率相等2- 1和雙曲線2mC:焦點(diǎn)相同D:準(zhǔn)線相同2匕1有公共焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程為3n16.已知方程ax2 by2 b(ab 0),則此曲線是A:焦點(diǎn)在x軸上

34、的雙曲線B:焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線C:焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D:焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.求雙曲線方程221 .已知圓 C1:(x 5) y._2249與圓C2：(x 5) y 1 ,圓C與圓Ci,圓C2均外切；則圓C的圓心C的軌跡方程是2 .若雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0, 2),(0 2),且經(jīng)過點(diǎn)(2,炳，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x3 .與曲線242y491共焦點(diǎn)，而與2x362y- 1共漸近線的雙曲線方程為()6422a y xA: 16922x yB : 1692222yxxy/C :1D: 19169164 .已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)白坐標(biāo)為(3,0)，且焦距與虛軸長(zhǎng)之比為 5: 4,則雙曲

35、線的標(biāo)準(zhǔn)方程是5 .已知雙曲線通過 M(1,1), N( 2,5)兩點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2x 26 . (1)設(shè)P是雙曲線 -y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),4M為線段OP中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程.四.直線與雙曲線._ .2_21 .直線y kx 2與x 3y6的右支交于兩點(diǎn)；求實(shí)數(shù)k的取值范圍。2 .過原點(diǎn)的直線l與雙曲線y2x2 1有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為.定義的應(yīng)用221.1x6 t 1(廠 3) 2 D3. B 4. 32.526.417. C 8. 2v 29. _ 5C13. a10.2111.m a 12.5二雙曲線的幾何性質(zhì)1. A 2, -23. 5或 5344

36、.B 5. C6.C 7.8.29.1010.12 k 03111.cos12.A 13. B14.15. x16. B.求雙曲線方程1.3)2.3.4.2二1165.設(shè)雙曲線C方程為2mxny1(mn0)6.m由題意得4m解:25n雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為8x27設(shè) P(X0,y0)及 M (x, y)為線段OP中點(diǎn)4y2 1四.直線與雙曲線1.kx3y2又22.3.1)U(1,00)利用數(shù)形結(jié)合,4.解:(1)由已知得Xo2x0則42x, No(3k2 1)xx1x20xx22y。2y1(1)代入(1)得4y21 ,點(diǎn)M的軌跡方程為12kx 18 0兩不同根為結(jié)合漸近線可求得2,所以所以雙曲線的

37、漸近線方程分別(2)由(1)知 F1(0,2) ,F2(0,x1，x2_272(1 k ) 012k 023k2 1 0、3xy V，y1，所以雙曲線方程為2),因?yàn)?1ABi 5產(chǎn)區(qū)|,所以AB“5 AZ 3、3、10,設(shè) A(x1, x1)，B(x2, x2) ,AB33中點(diǎn)M (x, y)則 xix22x,-x1噂 X2 2y,AB 3310J(x2 xi)2 之乂2 里 x,)2 10,.33x2消去xi,x2并整理得：點(diǎn)M的軌跡方程為 752y- 1,所以點(diǎn)M軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.253一.拋物線的定義1 .若工是定直線F外的一定點(diǎn)，則過工A.圓 B.橢圓 C.雙曲線一支2 .若

38、點(diǎn)口到點(diǎn)干（4月）的距離比它到直線A. 1 -B, 一 C.拋物線與？相切圓的.圓心軌跡是（）D.拋物線五+5=0的距離小1,則F點(diǎn)的軌跡方程是（）3若點(diǎn)P到直線y=-1的距離比它到點(diǎn)（0,3）的距離小2,則點(diǎn)P的軌跡方程為（）=12y=12x=4y D. x2=6y4.已知點(diǎn)且（犯，產(chǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)加在拋物線上移動(dòng)時(shí)，阿卜”陰取得最小值時(shí).點(diǎn)的坐標(biāo)為（）.A. （0, 0） B.【了 J c D D. （2, 2）5,已知點(diǎn)（一2, 3）與拋物線,2Px （蘆口）的焦點(diǎn)的距離是5,則* =:6 .在拋物線上有一點(diǎn)尸，它到焦點(diǎn)的距離是20,則F點(diǎn)的坐標(biāo)是.7 .已知拋物線6 （?？冢┥弦稽c(diǎn)

39、加到焦點(diǎn)干的距離等于4/，貝嚴(yán)=,*=8 .拋物線/三2工的焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)為出3。3與必），且見+工”3 ,則網(wǎng)二9 .過拋物線y 2=4x的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于 A（x1, y 1） , B（x2, y 2）兩點(diǎn)，如果x1+ x2=6,那么 |AB|二（）A. 8B. 10C. 6D. 410 .在拋物線上有一點(diǎn)F ,它到焦點(diǎn)的距離是20,則尸 點(diǎn)的坐標(biāo)是.11.(1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,4 J2 )與到準(zhǔn)線的距離和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (2)拋物線C: y2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為分析：(1) A在拋物線外，如圖，連 PF,則PH| |PF ,因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。(2) B在拋物線內(nèi)，如圖，作 QRl交于R,則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。解：(1) (2, J2)連PF,當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，|AP|PH|AP | PF最小，此時(shí)AF的方程為yy-0(x1)即y=2 J2(x-1)，代入y2=4x得P(2,2*Q),(注：另一交點(diǎn)為(1, J2),它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)， 2舍去)1 ,(2) ( ,1)4過Q作QR, l交于R,當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，BQ QF BQ QR最小，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1 ,代入 y2=