圓錐曲線的極坐標(biāo)方程、焦半徑公式、焦點(diǎn)弦公式

1、圓錐曲線的極坐標(biāo)方程知識(shí)點(diǎn)精析 橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個(gè)定點(diǎn) （焦點(diǎn)）的距離 和一條定直線（準(zhǔn)線）的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.以橢圓的左焦點(diǎn)（雙曲線的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)）為極點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線，垂足為K,以FK的反向延長(zhǎng)線為極軸建立極坐標(biāo)系.橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為:ep1 ecos-可編輯修改-當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開(kāi)口向右的拋物線.ep1+ecos其中p是定點(diǎn)F到定直線的距離，p>0 當(dāng)0<e<1時(shí)，方程表示橢圓;當(dāng)e>1時(shí)，方程表示雙曲線，若p > 0,方程只表示雙曲線右支，若允許P <0 ,方程就表示整個(gè)雙

2、曲線;引論（1）若則0<e<1當(dāng)時(shí)，方程表示極點(diǎn)在右焦點(diǎn)上的橢圓 當(dāng)e=1時(shí)時(shí)，方程表示開(kāi)口向左的拋物線當(dāng)e>1方程表示極點(diǎn)在左焦點(diǎn)上的雙曲線(2 )若ep1-esin0<e<1時(shí)，方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的橢圓e=1時(shí)，方程表示開(kāi)口向上的拋物線e>1時(shí)!方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的雙曲線 一1+esin0<e<1時(shí)，方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的橢圓e=1時(shí)，方程表示開(kāi)口向下的拋物線e>1時(shí)!方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的雙曲線例題選編(1)二次曲線基本量之間的互求例1.確定方程105 3cos表示曲線的離心率、焦距、長(zhǎng)短軸長(zhǎng)。解法3 cos5103 105 33

3、 cos525a b2105-a 31015方程表示橢圓的離心率e 3,焦距紋，長(zhǎng)軸長(zhǎng)25,短軸長(zhǎng)5544解法二：根據(jù)極坐標(biāo)的定義，對(duì)右頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的極角為 0,因此只需令 0,右頂點(diǎn)的極徑，同理可得左頂點(diǎn)的的極徑。根據(jù)左右頂 點(diǎn)極徑之和等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)，便可以求出長(zhǎng)軸。點(diǎn)睛，解法一采用待定系數(shù)法比較常規(guī)，解法二利用極坐標(biāo)的定義,簡(jiǎn)潔而有力，充分體現(xiàn)了極坐標(biāo)處理問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)。 下面的弦長(zhǎng)問(wèn)題的解決使極坐標(biāo)處理的優(yōu)勢(shì)顯的淋漓盡致。(2)圓錐曲線弦長(zhǎng)問(wèn)題 若圓錐曲線的弦MN經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F,1、橢圓中,2,2a bp c c cMNep1 ecosep1 ecos( )2ab2 * * 5-2 2 2a c co

4、s3、拋物線中，MNP 1 cosepep2ab1 ecos1 ecos()222a c cos?epep2ab21 ecos1 ecos2 c22 .cos ap2P21 cos( ) sin2、雙曲線中，(注釋?zhuān)弘p曲線問(wèn)題比較特殊，很多參考書(shū)上均有誤解。)若M、N在雙曲線同一支上，MN若M、N在雙曲線不同支上，MN即得2 3cos所以 A( i,-),B( 2,3)又由AB | 12|I 551 80得11 7r 2 3cos § 2 3cos(-)7注釋?zhuān)呵髾E圓和拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí)，無(wú)需對(duì) v加絕對(duì)值，但求雙曲線的弦長(zhǎng)時(shí)，一定要加絕對(duì)值，這是避免討論做好的方法。點(diǎn)睛由于橢圓，

5、拋物線的弦的兩個(gè)端點(diǎn)極徑均為正值，所以弦長(zhǎng)都是12 ；對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)都在雙曲線右支上的弦，其端點(diǎn)極徑均為正值所以弦長(zhǎng)也是1對(duì)下兩個(gè)端點(diǎn)分別在雙曲線左、右支上的弦，其端點(diǎn)極徑一個(gè)為正值一個(gè)為負(fù)值，所以弦長(zhǎng)是 1或2為統(tǒng)一起見(jiàn)，求雙曲線時(shí)一律加絕對(duì)值，使用| 12變式練習(xí)：等軸雙曲線長(zhǎng)軸為2,過(guò)其右有焦點(diǎn)，引傾斜角為 石的直 線，交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，求|AB求 | AB |解：d O1 - 2 cosAB |IA( 1,-),B( 2, -)I 1221 &co s(一)1 72cos( )2 762v666附錄直角坐標(biāo)系中的焦半徑公式設(shè)P (x,y)是圓錐曲線上的點(diǎn)，1、若Fi、F2分別

6、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則PF1a ex, PF2a ex;o2、若Fl、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí)，PFi ex a, PF2 ex a； 當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，PFia ex, PF2 a ex；3、若F是拋物線的焦點(diǎn)，|PF| x衛(wèi).2利用弦長(zhǎng)求面積224高考題（08年海南卷）過(guò)橢圓 二 匕1的焦點(diǎn)F作一條斜率為2 54的直線與橢圓交于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB的面積.簡(jiǎn)解首先極坐標(biāo)方程中的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式|AB| -2eJ 求弦長(zhǎng)，然后1 e cos利用公式Saob 11 AB |OF | sin AFO直接得出答案。 2變式（2005年全國(guó)高考理科）已知

7、點(diǎn)F為橢圓與y2 1的左焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn) F的直線li與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)F且與li垂直的直線12交橢圓于 M、N兩點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的最小值和最大值.解析以點(diǎn)F為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為：、221 cos2設(shè)直線11的傾斜角，則直線12的傾斜角為 900 ,由極坐標(biāo)系中焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式知：22.2|PQ| , |mn| -1cos21cos2（900） 1 sin2222用他們來(lái)表示四邊形的面積c 1-S -| PQ |g|MN |111 2 - 2-sin gcos sin2 2 16即求彳2112sin 216的最大值與最小值0時(shí),由三角知識(shí)易知：當(dāng)sin2 1時(shí)，面積取

8、得最小值 竺；當(dāng)sin29面積取得最大值2利用弦長(zhǎng)公式解決常量問(wèn)題22x y2 4 1 (a b 0) 例一.過(guò)橢圓a b的左焦點(diǎn)F,作傾余角為60的直線1交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若FA 2FB ,求橢圓的離心率.簡(jiǎn)解，建立極坐標(biāo)系，然后利用等量關(guān)系，可很快求出離心率。設(shè)橢圓的極坐標(biāo)方程為ep1 ecos2 ",解得 eee31 -1 -2 2變式求過(guò)橢圓 2一的左焦點(diǎn),3 cos點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離。解：先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：則離心率e 工，ep 2 ,33P 21 ecos601 ecos 240且傾斜角為z的弦長(zhǎng)AB和左焦23 1 1cos 所以左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距為2。設(shè)“ 1,-),

9、B( 2,、)，代入極坐標(biāo)方程，則弦長(zhǎng)AB3 cos 3 cos442417(3)定值問(wèn)題例1.拋物線y_1_1 二 2-e2AB| |CD| - 2ep 注釋。此公式對(duì)拋物線也成立，但對(duì)雙曲線不成立。注意使用的范圍 推廣1若經(jīng)過(guò)橢圓的中心做兩條相互垂直的弦， 倒數(shù)和也為定值。需要以原點(diǎn)為 2Px(p 0)的一條焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分為a,b的兩段，證明：1 1定值。 a b解：以焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，以FX軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為.P ,設(shè)A(a, ),B(b,)1 cos將A,B兩點(diǎn)代入極坐標(biāo)方程，得a -,bP1 cos 1 cos( )則1 1=3 3s)=2 (定值) a b p

10、pp點(diǎn)睛，引申到橢圓和雙曲線也是成立的。112推論：若圓錐曲線的弦MN經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F,則有,工例二：經(jīng)過(guò)橢圓的的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦 AB和弦CD,求證1AB1二為定CDMF NF ep值。證明：以橢圓的左焦點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，此時(shí)橢圓的極坐標(biāo)方程為一虹1 ecos又設(shè) A 1, 1 ,B 2, + ,C 3, + ,D 4, -+ 則代入可得2 2|AB| . 2ep 2, |AB| 彳 2ep 2 則1 e cos1 e sin極點(diǎn)建立極坐標(biāo)方程。推廣2若不取倒數(shù)，可以求它們和的最值。2 2例三（2007重慶理改編）中心在原點(diǎn)o的橢圓上 言 1 ,點(diǎn)F是其左焦占八、在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)P,P2

11、,P3使Z P1FP2 Z P2FP3 /P3FP1 1200 .證明:1FP1FP2FP3為定值，并求此定值.解析:以點(diǎn)92 cos1200、為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為:設(shè)點(diǎn)Pi對(duì)應(yīng)的極角為，則點(diǎn)B與E對(duì)應(yīng)的極角分別1200 , P1、P2與P3的極徑就分別是|FPl|9、2 cosIFP2I902 cos( 120 )與 I FP319-02 cos( 120 )FPiFP2FP3角函數(shù)的學(xué)習(xí)中,FPiFP2FP32 cos9我們知道3為定值2 cos(1200) 2 cos(1200)99cos cos(1200) cos(1200)0,因此點(diǎn)睛：極坐標(biāo)分別表示|FP1 |、|FP2|與|FP3| ,這樣一個(gè)角度對(duì)應(yīng)一個(gè) 極徑.就不會(huì)象解析幾何那樣，一個(gè)傾斜角，對(duì)應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)，同時(shí) 對(duì)應(yīng)兩條焦半徑（極徑），這就是極坐標(biāo)表示圓錐曲線的優(yōu)點(diǎn).推廣1若放在拋物線和雙曲線中是否成立呢？推廣2設(shè)P1P2P3L Pn是橢圓上的n個(gè)點(diǎn)，且FP1FP2FP3L FPn圓周角等分n 1則工也為定值i=1 OPi作業(yè)22(2003年希望杯競(jìng)賽題)經(jīng)過(guò)橢圓X2 22 1(a b 0)的焦點(diǎn)F1作傾斜 a b角為60°的直