河南省天一大聯(lián)考“頂尖計劃”2020屆高三畢業(yè)班第一聯(lián)考理科數(shù)學試題

1、天一大聯(lián)考“頂尖計劃” 2020屆高中畢業(yè)班第一次考試理科數(shù)學、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的21.已知集合 Mx|x 3x 0 , N x|1 x 7,則 MINA. x |1 x 3B. x|1 x 32.設復數(shù) z -2，則 | z | ()1 3iA.1B.空33C. x|0 x 71C.一2D. x|0 x 73 .中國古代用算籌來進行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個位、百位，萬位-用縱式表示，十位、千

2、位、十萬位用橫式表示，則56846可用算籌表示為（）234567s9Il in iiiiiiiiiTTTnir=三三差_L i =橫式中國古代的算籌數(shù)諳A1 B.I丁二一C三一十d.iII.： JIU4 .為了貫徹落實黨中央精準扶貧的決策，某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計繪制成下圖，其中各項統(tǒng)計不重復.若該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤 的是（）AU"一至與神'-cll-姿勃洲|座:C1E步在學生4餐員IBA.該市共有15000戶低收入家庭B.在該市從業(yè)人員中，低收入家庭有1800戶C在該市失無業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶D.在該市大于18歲在讀學生中，

3、低收入家庭有800戶5.運行如圖所示的程序框圖，若輸出的i的值為99,則判斷框中可以填（下IJ' I.SUlg乎I i率 IA.S 1B.S 2C.S lg99D.S lg986.已知哥函數(shù)f（x）x的圖象過點（3,5）,且a1.3 1一，b J , c log a ，貝U a , b ,e4c的大小關系A.c a bB.ar r r7.已知非零向量a, b滿足a值為（）C.a b cD.c b ar r r19r rb ,若a , b夾角的余弦值為，且（a 2b）30r r(3a b)則實數(shù) 的4 A.92 B.3293 D.28.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列| an的前n項和為Sn,若a2

4、a410 , a2a3a4A.Sn1 Sn 2n1B.an2nC.Sn2n 1D.Sn2n 1 129 .函數(shù)f(x)6|sinx|. x的圖象大致為(, 1 x210 .設拋物線C ： y2 2Px ( p 0)的焦點為F ,拋物線C與圓C ： x2 (y J3)2 3交于M , N兩點.若|MN| J6,則 MNF的面積為()A2B.3C.3JD.3J888435 r11.關于函數(shù)f(x) |cosx| cos| 2x |有下列三個結(jié)論： 是f(x)的一個周期； f (x)在 , 上44單調(diào)遞增；f(x)的值域為 2,2則上述結(jié)論中，正確的個數(shù)為()12.已知四棱錐S ABCD的底面為矩形

5、， SA 底面ABCD,點E在線段BC上，以AD為直徑的圓過點C.-D.722共20分.x 2y的最大值為.E若SA J3AB 3,則 SED的面積的最小值為()二、填空題：本題共4小題，每小題5分，y 2x 1, 13.若變量x, y滿足約束條件 2x y 4,則zy 2 0,14.函數(shù)f (x) x e 2x的極大值為 .22x y15 .已知雙曲線C： -7 % 1 (a 0, b 0),直線l： x 4a與雙曲線C的兩條漸近線分別交于 A,a bB兩點.若 OAB (點O為坐標原點)的面積為 32,且雙曲線C的焦距為2瓜 則雙曲線C的離心率為16 .記數(shù)列an的前n項和為Sn,已知2S

6、nan1 nan1 ,且a25 .若m %，則實數(shù)m的取值范2n圍為.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22, 23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17 . ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別是a, b, c ,已知(a b)2 c2 ab.(n )若 4ccos absinC 0 , a 1 ,求 ABC 的面積.(I )求證：EF平面 B1C1D1 ；218 .如圖所示，三棱柱 ABC A1BQ1中，AA 平面ABC,點D, E分別在線段AA1 , CC1上，且1AD AA, DE/AC ,

7、 F是線段AB的中點.3(n)若AB AC, AB AC , AA 3AB ,求直線BC與平面0DE所成角的正弦值.2X 219 .已知橢圓C : y 1 ,不與坐標軸垂直的直線 l與橢圓C父于M , N兩點. 41(I )若線段MN的中點坐標為 1,1 ,求直線l的方程；(n)若直線l過點(4,0)，點P xo,0滿足kpM kpN 0 (kpM , kpN分別為直線PM , PN的斜率)，求x0的值.2 ,120 .已知函數(shù) f (x) mx ln x .2(i)若m 1,求曲線y f(x)在(1,f(1)處的切線方程；(n )當m 1時，要使f(x) xlnx恒成立，求實數(shù) m的取值范圍

8、.21 .某機構組織的家庭教育活動上有一個游戲，每次由一個小孩與其一位家長參與，測試家長對小孩飲食習慣的了解程度.在每一輪游戲中，主持人給出A, B, C, D四種食物，要求小孩根據(jù)喜愛程度對其排序，然后由家長猜測小孩的排序結(jié)果.設小孩對四種食物排出的序號依次為xAxBxCxD,家長猜測的序號依次為yAyByCyD,其中xaXbXcXd, yAyByCyD都是1, 2, 3, 4四個數(shù)字的一種排列.定義 2222XxAyAxByBxCyCxDyD ,用X來衡量家長對小孩飲食習慣的了解程度.(I )若參與游戲的家長對小孩的飲食習慣完全不了解(i)求他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的

9、概率；(ii)求X的分布列(簡要說明方法，不用寫出詳細計算過程)(n)若有一組小孩和家長進行了三輪游戲，三輪的結(jié)果都滿足X 4,請判斷這位家長對小孩的飲食習慣是否了解，說明理由.(二)選考題：共10分.請考生在第22, 23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一 題計分.22 .選彳4-4:坐標系與參數(shù)方程x在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為2m2m16m1(m為參數(shù))，以坐標原點為極點,x軸的正6m半軸為極軸建立極坐標系，直線 l的極坐標方程為cos(I )求曲線C的普通方程以及直線l的直角坐標方程；11(n )已知點M (2,0),若直線l與曲線C交于P , Q兩點，求的值.|M

10、P| |MQ|23 .選彳4-5:不等式選講已知x , y , z是正數(shù).(I )若 xy 1 ,證明：| x z | | z y | 4xyz ;(n )若 xyz 1,求2xy 2yz 2xz的最小值.x y z 3大一大聯(lián)考“頂尖計劃” 2020屆高中畢業(yè)班第一次考試理科數(shù)學.答案、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.1 .【答案】A【命題意圖】本題考查集合的運算、一元二次不等式的解法，考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想【解析】M x|x2 3x 0 x|x(x 3) 0x|0 x 3 ,故MI N x|1 x 32 .【答案】D【命題意圖】本題考查復數(shù)的概念、復數(shù)的運算，考查

11、運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.2 i (2 i)(1 3i)2 i 6i 317149、2解析 z 2L 一 一 i ,故 | z| J .1 3i (1 3i)(1 3i)1010 10 100 10023 .【答案】B 【命題意圖】本題考查數(shù)學文化、推理與證明，考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想【解析】根據(jù)算籌橫式與縱式的區(qū)別，56846可以表示為IIIUII = I .4 .【答案】D 【命題意圖】本題考查統(tǒng)計圖表，考查創(chuàng)新意識以及必然與或然思想【解析】依題意，得該市低收入家庭的總數(shù)為把0 15000 ,則在該市從業(yè)人員中，低收入家庭有0.0615000 0.12 1800戶，在該市失無

12、業(yè)人員中，低收入家庭有15000 0.29 4350戶，在該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭的總數(shù)為15000 0.04 600.5 .【答案】C 【命題意圖】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想3【解析】運行該程序，第一次，i 1, S lg2；第二次，i 2, S lg 2 lg lg3 ；第三次，i 3,24 99S lg3 lg- lg4,；第九十八次，i 98, S lg98 lg lg99 ；第九十九次，i 99,398S lg99 lg100 lg100 2,此時要輸出i的值為99. 996 .【答案】A【命題意圖】本題考查指對數(shù)的大小關系，考查推理論證能力

13、10g 3 510g35 (1,2),故 0b 310g3 5 1,【解析】依題意，得 35 ,故,1c log log35 4 0,故 c a b.7 .【答案】D【命題意圖】本題考查向量數(shù)量積的應用，考查運算求解能力rr r r【解析】依題意，得(a 2b) (3a b)r2 r rr2r0 ,即 3a 5ab 2b0 .將 | a |r|b|代入可得,2.34人，181912 0 ,解得一(一舍去)298 .【答案】C【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算求解能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想.【解析】a2a3a4 64 a3 43 a3 4設等比數(shù)列 an的

14、公比為q,由a2 a4 10 ,，一 4得一4q 10,即2q2 5q 2 0,因為數(shù)列 an單調(diào)遞增，所以q 2.所以2a 8a1 10,解得a1 1.q所以 an 2n1, Sn11 2n2n 1.1 229 .【答案】A【命題意圖】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想【解析】依題意，x R ,且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故函數(shù)的圖象關于y軸對稱，排除C;f( ) 60J 0,排除 B； f 622262 3D,故選A.【命題意圖】本題考查拋物線的方程、圓的方程，考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想【解析】作出圖形如下圖所示， 由題意知|AM | 2J3.因為點N為圓C圓周上

15、一點,所以ANM則在 Rt ANM 中，由 |AM | 2>/3, | MN | J6 ,得 | AN | J|AM |22|MN |2AMN,34所以N(73,T3).代入y2 2 Px中，解得p43 .故 MNF的面積為- 2211.【答案】B【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想【解析】因為 f (x ) | cos(x ) | cos| 2(x ) | | cosx | cos | 2x 2f (x),所以函數(shù)f (x)的 一 , 一 3一個周期為，故正確；因為 f 43 cos432cos225cos45 cos2-3所以函數(shù)f (x)在一4

16、55一上并非單調(diào)遞增，故錯誤；當 x 0,-時,42f (x) cosx cos2x-22cos x cosx 1 ,此時 f (x)1,2 ,當 x 時,f(x) cosx cos2x 2cos2 x cosx 1,此時 f (x)1,2 ,所以函數(shù) f (x)的值域為 1,2 ,故錯誤.12.【答案】C【命題意圖】本題考查空間幾何體的線面位置關系及基本不等式的應用，考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合 思想.【解析】設BE x, EC y ,則BC AD x y .因為SA 平面ABCD , ED 平面ABCD ,所以SA ED.又 AE ED, SAI AE A,所以 ED 平面 SAE,則 E

17、D SE.易知 AE Jx2 3,ED Jy2 3 .在 Rt AED 中，AE2 ED2 AD2 ,即 x2 3 y2 3 (x y)2 ,化簡得 xy 3 .在- fj9112108Rt SED 中，SE Jx12, ED Jy 3 J 3 .所以S SED - SEED -J3x45.,x22 ,x因為3x2噌213x2理36 ,當且僅當x V6 , y 時等號成立，所以Ssed2J36 45 -.x . x222二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【答案】7【命題意圖】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃，主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想.【解析】作出不等式組

18、所表示的平面區(qū)域，如下圖陰影部分所示.觀察可知，當直線z x 2y過點C(3, 2)時，z有最大值， zmax 7 .114.【答案】一 2e【命題意圖】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想【解析】依題意，得f (x) e 2x 2xe 2x e 2x(1 2x).所以當x1, ,1,時，f (x) 0；當 x -,2211時，f (x) 0 .所以當x 一時，函數(shù)f(x)有極大值 一. 22e15.【答案】痣或警【命題意圖】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查運算求解能力以及函數(shù)與方程思想x 4a,1【解析】聯(lián)立b解得y 4b.所以 OAB的面積S 4a 8b 16a

19、b 32 ,所以ab 2 .而由雙曲y x2aa 1a 2.線C的焦距為2點知，c J5,所以a2 b2 5.聯(lián)立解得或故雙曲線C的離心率為 甚或b 2 b 1,. 216 .【答案】（2,）【命題意圖】本題考查數(shù)列的前 n項和與通項的關系、數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列的前n項和公式，數(shù)列的性質(zhì)，考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想【解析】當n 2時，2s2 a 1 2 a2 1 ,解得S2 8.所以a1 3.因為2Sn an 1 n41 ,則2Sn 1an 1 1 （n1） an 1 1,兩式相減，可得 2an1 （n 2再1（n 1同1 ,即nan 1（n 1聞 10,則（n1同2 （n 2間1

20、10.兩式相減，可得an 22an 1 an0 .所以數(shù)列an是首項為3,公差為2的等差數(shù)列，所以 an22n 1,貝U才 門2。門.令2n 4,貝Ubn 1 bn 'nn .當 n 2 時，4 1 bn 0 ,數(shù)列bn單調(diào)遞減，而n315一,b2 2 , b3 一，故 m 2 ,28即實數(shù)m的取值范圍為（2,）.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17 .【命題意圖】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思 想.【解析】（I ）由（a b）2 c2 ab ,得 a2 b2 c2 ab .2. 22.所以由余弦定理，得 c

21、osC a一b 1.2ab 2又因為C （0,），所以C(n )由 4c cos absinC 0,得 4csin A bsinC 0.2由正弦定理，得4ca bc.因為c 0 ,所以b 4a .又因a 1,所以b 4.所以 ABC的面積 S -absinC -14 J3.22218.【命題意圖】本題考查空間線面的位置關系、向量法求空間角，考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想 【解析】(I )取B1D的中點G ,連接C1G , FG .因為F , G分別是線段AB和BD的中點，所以FG是梯形ADBB的中位線，所以 FG/AD.又 AD/CC1 ,所以 FG /CC1.因為AD/CC1, DEAC,

22、所以四邊形 ADEC為平行四邊形，所以 AD CE .2 AD BB12所以 CE CC1, FG -CC1 CE.3 23所以四邊形FGCE為平行四邊形，所以 EF/C1G.又EF 平面B1cl D , C1G 平面B1clD ,所以EF 平面B1clD .(n)因為ABAC ,且 AA平面ABC,故可以A為原點,uuuAB的方向為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設ABAC則AA13,所以 C(0,0,1) , B(1,0,0),B1(1,3,0), D(0,1,0) , E(0,1,1).uur所以BC (1,0,1),ujuuBD (uuur1, 2,0), DE (0,0,

23、1).設平面B1DEr的法向量為n (x, y,z),則r uuuun BD 0,r uuur 所以n DE 0.2y 0, 0.r可取 n (2, 1,0).設直線BC與平面BDE所成的角為 ，則sin|2 ( 1),1019.【命題意圖】本題考查橢圓的方程、直線與橢圓的綜合性問題，考查運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想2X1【解析】設M x1,y1 , N x2,y2，則42X21,兩式相減，可得X1X2X1X2y1y2因為線段mn的中點坐標為X1代入（*）式，得X1X2所以直線l的斜率k所以直線l的方程為(n)設直線l : x整理得所以64m2y1y2y1y2X1X2所以y1y2所以kpMPN

24、y1X2X2Y12y2y22,1.0. (*)yy21 .2(X1),即 X2y0.my8my128m2m 412，yey1X1X)Vi V2X1X0X2X00）,聯(lián)立X2X4my4,1.0.y2X2X0X1X0X2 X00,解得m2 12.12-2- m必X2X0y2 X1X0X0my20,所以 2myiy2 4 x0 y1y2 0.X1X0X2X04 y1my 4 y2y1y2 X0X1 X0X2X0所以 2my1y24 x0 y1 y2Xo8m x 1 m 0.因為m 0 ,所以x01.20.【命題意圖】本題考查導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思

25、想.【解析】(I )當m 1時，f (x)In x2x ln所以f (1) 2.1 ,一 ，、一又f(1)一,故所求切線方程為22(x1),即 y 2x(n )依題意，得mx2 ln2xln x,即 mxlnx 1 2xln x0恒成立.令 g(x)2 mxIn x則 g (x) (2 mx1)(ln x1).當m0時,因為g(1)當0m 1 時，令 g (x) 0 ,得x11一，*22m12m令 g (x)g (x)0,得1 ex 2m所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是10,一 e2m,單調(diào)遞減區(qū)間是1 _1_e，2m .所以只需0 e時,2 mx0,g(x)2 mxIn xxln x2 mx

26、ln-mx2 0, 21g 一 2m44m12m10 ,所以8m所以實數(shù)m的取值范圍為21.21.【命題意圖】本題考查概率的計算、隨機變量的分布列以及極大似然法的應用【解析】(I) (i)若家長對小孩的飲食習慣完全不了解，則家長對小孩的排序是隨意猜測的.先考慮小孩的排序XaXbXcXd為1234的情況，家長的排序有A4 24種等可能的結(jié)果.其中滿足“家長的排序與1234對應位置的數(shù)字完全不同”的有2143, 2341 , 2413, 3142, 3412, 3421 ,4123, 4312, 4321 ,共有 9 種結(jié)果.93故相應的概率為324 8若小孩對四種食物的排序是其他情況，只需將角標A, B, C, D按照小孩的排序1234的順序調(diào)整即可例如：假設小孩的排序xAxBxCxD為1423,四種食物按1234排列為ACDB,再研究yAyCyDyB的情況即可,可知這樣處理后與第一種情況的計算結(jié)果是一致的3所以他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率為-.8(ii)根據(jù)(i)的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況，列出所有情況，分別計算每種情況下 X的值.X的分布列如下表：X02468101214161820P11111111111248246121212624824(n)這