等差數(shù)列的性質(zhì)以及常見題型

1、等差數(shù)列的性質(zhì)以及常見題型上課時間:上課教師:上課重點：掌握等差數(shù)列的常見題型，準(zhǔn)確的運用等差數(shù)列的性質(zhì)上課規(guī)劃：掌握等差數(shù)列的解題技巧和方法一等差數(shù)列的定義及應(yīng)用1 .已知數(shù)列an的通項公式為an 3n 2,試問該數(shù)列是否為等差數(shù)列2 .已知：1,1成等差數(shù)列，求證：工工,3 也成等差數(shù)列x y zx y z思考題型；已知數(shù)列an的通項公式為an pn2 qn (p，q R，且p,q為常數(shù))(1)當(dāng)p和q滿足什么條件時，數(shù)列an是等差數(shù)列？(2)求證：對于任意實數(shù)p和q,數(shù)列ani an是等差數(shù)列。二等差數(shù)列的性質(zhì)考察(一)熟用 an ai (n 1)dam (n m)d , d an一包問

2、題n m（注意：知道等差數(shù)列中的任意項和公差就可以求通項公式）1、等差數(shù)列 an 中，a3 50 , a5 30 ,則 a§ .2、等差數(shù)列 an 中，a3 a5 24 , a2 3 ,則 .3、已知等差數(shù)列an中，a2與a6的等差中項為5, a3與a7的等差中項為7,則烝.4、一個等差數(shù)列中 ai5= 33 , a25= 66 ,貝入35=5、已知等差數(shù)列an中，ap q, aq p,則apq .（二）公差d的巧用（注意：等差數(shù)列的項數(shù)）1、已知等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項之和為15,偶數(shù)項之和為30,則其公差等于2、等差數(shù)列a a,a3,L的公差為d ,則數(shù)列5a,5a2,5a

3、3,L .是（）A .公差為d的等差數(shù)列B.公差為5d的等差數(shù)列C.非等差數(shù)列D.以上都不對3、等差數(shù)列an中，已知公差且 aa3 La9960 ,貝U a1a2 La100A. 170B. 1504 .已知x y,且兩個數(shù)列x,a1，a2,C. 145am, y 與 x,b1,b2,D. 120 bn,y各自都成等差數(shù)歹U,則aab2 6Am等于n5 .一個首項為23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列中，前6項均為正數(shù)，從第7項起為負數(shù)，則公差為（）A -2B -3C -4D -5（三） m n s tam anas at 性質(zhì)的應(yīng)用（注意：角標(biāo)的數(shù)字）1 . 等差數(shù)列an中，若 a3 a4a5a6a7

4、450 ，則a2a8 。2 .等差數(shù)列an中，若a4a5 a6a7450 ，則S10 。3 .等差數(shù)列an中，若S1320 。則a7 。4 .等差數(shù)列an中，若a1110 ，則S21 。5 . 在等差數(shù)列an中a3a1140 ，則a4a5a6a7a8a9a10 。6 .等差數(shù)列an中, a1a2a324,a18a19a2078,則S20 。7 .在等差數(shù)列an中，a4 a5 12,那么它的前8項和S8等于。8 .如果等差數(shù)列 an 中，a3 a4 a5 12 ，那么a1 a2 L a7 。9 .在等差數(shù)列a中，已知a1 a2 a3 a4a§ 20,那么a3等于。10 .等差數(shù)列 an

5、 中,它的前 5項和為 34,最后 5項和 146, 所有項和為 234, 則 a7 .11 .已知數(shù)列 an 的前n項和Sn= n2+3 n+1 ,貝U ai + a3+a5+ + a21 = 。12 . an為等差數(shù)列，a1+ a2+ a3=15 , an+ an-1+ a n-2 =78 , Sn=155 ,貝 Un=。（四）方程思想的運用（注意：聯(lián)立方程解方程的思想）1.已知等差數(shù)列an中，S3=21 , S6=24 ,求數(shù)列an的前n項和Sn2.已知等差數(shù)列an中，a3a716冏a6 0,求數(shù)列an的前n項和Sn（五）Sn,S2n Sn,S3n S2n也成等差數(shù)列的應(yīng)用1、等差數(shù)列前

6、m項和是30,前2m項和是100,則它的前3m項和。2、等差數(shù)列an的前n項的和為40,前2 n項的和為120 ,求它的前3n項 的和為。3 .已知等差數(shù)列an中，S3 4§ 12,求Si5的值.4 .已知等差數(shù)列an中，a a2a32冏a5a64,則a16a”a18的值5 .a1, a2 , a3,a2n+1為等差數(shù)列，奇數(shù)項和為60 ,偶數(shù)項的和為45,求該數(shù)列的項數(shù).6 .若一個等差數(shù)列前3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的 和為390 ,則這個數(shù)列有7 .在等差數(shù)列an中，S4=1 , S8=3,則217+218 + 219+220的值是。（六）an"的

7、運用 2n 11 .設(shè)Sn和Tn分別為兩個等差數(shù)列an , bn的前n項和，若對任意n N*,都有S_ 7n 1 則 a1=oTn 4n 27 'b112 .設(shè)Sn和Tn分別為兩個等差數(shù)列an , bn的前n項和，若對任意n N*,都有Sn_= 3n 1Tn4n 3則包=bz3.有兩個等差數(shù)列an , a ,其前n項和分別為Sn , Tn ,若對n N有1nT n7n 22n 3成立，求a5 =（）。b5（七）an與Sn的關(guān)系問題；1 .數(shù)列an的前n項和Sn=3n n2 ,則an =2 .數(shù)列an的前n項和Sn= n2 n 1 ,則an =3 .數(shù)列an的前n項和Sn= n 2n2,

8、則an =4 .數(shù)列an的前n項和3n2 4n ,則an =5 .數(shù)列an的前n項和Sn= 2n 1,則an=6 .數(shù)列4n 2的前n項和Sn=.7 .數(shù)列 4n 8的前n項和Sn=.8 .數(shù)列an的前n項和Sn= 8n2-10.則a （八）巧設(shè)問題；般情況，三個數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)：a d,a,a d ；四個數(shù)成等差數(shù)列可 設(shè)：a 3d, a d, a d,a 3d .1 .三個數(shù)成等差數(shù)列，和為18,積為66,求這三個數(shù).2 .三個數(shù)成等差數(shù)列，和為18,平方和為126，求這三個數(shù).3 .四個數(shù)成等差數(shù)列，和為26,第二個數(shù)和第三個數(shù)的積為40,求這四個數(shù).4 .四個數(shù)成等差數(shù)列 ,中間兩個數(shù)

9、的和為 13,首末兩個數(shù)的積為 22,求這四個數(shù) .5 .一個等差數(shù)列的前12 項之和為 354 ， 前 12 項中偶數(shù)項與奇數(shù)項之比為32 ： 27 ，求公差（九） 最值問題 : ；1 .在等差數(shù)列an中，ai 80,d6,求Sn的最大值.2.在等差數(shù)列為中,ai80,d5,求Sn的最大值.3.在等差數(shù)列為中,ai80,d 6,求Sn的最小值.4.在等差數(shù)列an中，ai80, d 5,求Sn的最小值.5 .等差數(shù)列an中，ai 0,S4 S9,則n的取值為多少時？Sn最大6 .在等差數(shù)列an中，34 = - 14,公差d=3,求數(shù)列an的前n項和Sn的最小值7 .已知等差數(shù)列an中ai=13

10、且S3= S11，那么n取何彳1時,Sn取最大值.8 .在等差數(shù)列an中，若a3 a9 ,公差d<0,那么使其前n項和Sn為最大 值的自然數(shù)n的值是.（十）累加法的應(yīng)用 裂項相消1 .已知數(shù)列an滿足:an an 1 2n 1, a1 1,求 an.2 .已知數(shù)列an滿足:an i an 4n 1, a1 1,求 an.3 .已知數(shù)列an滿足:an 1 an 2n 1自4,求an.1 44 .在數(shù)列an中，a12,an 1 an ln（1 一）,求 an.n（十一）由an求an的前n項和1.數(shù)列an的前n項和Sn n2 4n ,貝U|包| L廊| 2 .數(shù)列a的前n項和Snn2bn an

11、 ,則數(shù)列bn的前n項和Tn3 .數(shù)列an中，(1 )求通項aai 8,a4 2)；(2)設(shè) Sn滿足 an 2 2an 1 an 0,n N* .aian，求 Sn；(3)設(shè)bnn 12 an* 一,n N ,Tnbi b2 Lbn,n N*,是否存在最大的整數(shù)m,使得對于任意n N* ,均有Tn工成立,32若有求之，若無說明理由.(十二)由Sn得an的題型、直接法1.已知正項數(shù)列an的前n項和為Snai-,且滿足 2Sn 1 2Sn 3an i2 312 an*(n N )。(1 )求數(shù)列an通項公式an ；.一 .111(2)求證：當(dāng)n 2時，二二二La2 a3 a4倒數(shù)法1 .已知數(shù)列

12、 an 中，an?O, ai=1, an 1 = an(n 6 N ),求 a,2 1 2an1 一 一2.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足a1 2冏2SnSn 1 0(n 2)，-1(I)判斷-是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；(II)求Sn和an； SI.、_2_2_ 211(HI)求證：S1S2Sn 彳7。2 4n3.已知函數(shù)f(x) x (a,b為常數(shù)，a 0)滿足f(2) 1且f(x) x有唯 ax b解。(1 )求f(x)的解析式(2)如記 xn f(xni),且 1, n N ,且 xn。數(shù)列與函數(shù)1 .已知二次函數(shù)y f(x) f (x) 3x2 2x ,數(shù)列的前n項和為& ,點 (n,&)(n N )均在函數(shù)y f(x)的圖像上。(I )求數(shù)列an的通項公式；(H)設(shè)bn一,Tn是數(shù)列bn的前n項和，求使得Tn對所有n N都成anan 120立的最小正整數(shù)m ;倒序相加,1