網(wǎng)絡(luò)圖論與網(wǎng)絡(luò)方程

1、第一章 網(wǎng)絡(luò)圖論與網(wǎng)絡(luò)方程第1章網(wǎng)絡(luò)圖論與網(wǎng)絡(luò)方程第1章網(wǎng)絡(luò)圖論與網(wǎng)絡(luò)方程§1.1電路的線圖電網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)基本定律是基爾霍夫電流定律(簡稱KCL)和基爾霍夫電壓定律(簡稱KVL)。對某一具體電網(wǎng)絡(luò)，通?？梢粤谐鲈S多KCL和KVL方程。但是所有這些方程并不都是獨(dú)立的。本節(jié)及下一節(jié)利用圖論(graphtheory)的有關(guān)概念和方法來解決如何列寫?yīng)毩⒌幕鶢柣舴蚨煞匠虇栴}。圖論是一門數(shù)學(xué)，研究由“點(diǎn)”和“線”構(gòu)成的線圖(lineargraph)簡稱圖(graph)?；鶢柣舴蚨墒蔷W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對電流、電壓的約束，與元件性質(zhì)無關(guān)。因此在列寫基爾霍夫定律方程時(shí)，可以不用考慮元件，從而將電路抽象成由“點(diǎn)

2、”和“線”組成的線圖。在本書中將“點(diǎn)”統(tǒng)稱為節(jié)點(diǎn)，將“線”統(tǒng)稱為支路(branch)。1元件的線圖二端元件有一個(gè)獨(dú)立的端子電流和一個(gè)端對電壓，可用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)和一條支路來表示，如圖1.1所示。支路中的電流和兩點(diǎn)間的電壓分別稱為支路電流和支路電壓，并且電壓電流取相同參考方向，稱為關(guān)聯(lián)參考方向，在支路上用一個(gè)箭頭表小。三端元件有3個(gè)端子電流和3個(gè)端對電壓，如圖1.2(a)。電流電壓分別受KCL和KVL約束，即i1 i2 i30U12 U23 U130圖 11圖1.2三端元樣白線圖端元件的線圖因此可以用兩條支路和三個(gè)節(jié)點(diǎn)的線圖來表示。對圖1.2(a),取任意兩個(gè)端子電流為獨(dú)立電流變量，例如端子和的電流i

3、1、i2,同時(shí)取這兩個(gè)端子與端子的電壓u1、u2為獨(dú)立的電壓變量。對應(yīng)的線圖如圖1.2(b)所示。依此類才t,對n端元件，如果存在m個(gè)獨(dú)立的端子電流或m個(gè)獨(dú)立的端對電壓，則可抽象成m條支路n個(gè)節(jié)點(diǎn)的線圖。2電路的線圖有了元件的線圖便可用以建立電路的線圖。圖1.3是一示例。將圖(a)中的元件一一抽象成線圖，再按照原來的關(guān)系聯(lián)結(jié)起來，便得到圖(b)所示的電路線圖。其實(shí)電路圖和電路線圖都是實(shí)際電路的抽象，不過后者更突出了電路的結(jié)構(gòu)特征。(a)(b)圖1.3電路圖和相應(yīng)的電路線圖從圖論的觀點(diǎn)，圖是由節(jié)點(diǎn)和支路的組成的集合，其中每條支路的兩端都聯(lián)到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上。圖的一部分(即上述集合的子集)稱為子圖(s

4、ubgraph)。圖可分為聯(lián)通圖(jointgraph)與非聯(lián)通圖(disjointgraph)。前者的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間至少存在一條路徑；后者則某些節(jié)點(diǎn)之間并無路徑相通，整個(gè)線圖分成幾個(gè)孤立的部分。如果圖中所有支路都指定了方向，則稱為有向圖(directedgraph)。圖論中，樹(tree)是一個(gè)重要的基本概念。連通圖的樹是一個(gè)包含全部節(jié)點(diǎn)而不形成回路的連通子圖。屬于樹的支路稱為樹支(treebranch),其余支路稱為連支(linkbranch)。圖1.4畫出一個(gè)4節(jié)點(diǎn)的連通圖及其中的8個(gè)樹(該圖共有16個(gè)樹)。每個(gè)樹的樹支數(shù)都是3?？梢赃@樣來理解：首先畫出4個(gè)節(jié)點(diǎn)，然后用一條支路將兩個(gè)節(jié)

5、點(diǎn)相連。之后，依次連入每個(gè)節(jié)點(diǎn)，只需增加一條支路。這樣，用3條支路就可將全部節(jié)點(diǎn)連成樹。推廣之：一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的連通圖，其每個(gè)樹的樹支數(shù)都是n-1。如果分別用b、bl表示支路數(shù)、樹支數(shù)和連支數(shù)，則有btn1blb(n1)圖1.4連通圖及其部分樹§1.2獨(dú)立的基爾霍夫定律方程1獨(dú)立的基爾霍夫電流定律方程基爾霍夫電流定律可以用于閉合面，即流出閉合面的支路電流代數(shù)和包等于零。從圖論觀點(diǎn)看，穿過閉合面的支路集合稱為割集(cut-set)。其定義為：連通圖的割集是一組支路集合，并且滿足：(1)如果移去包含在此集合中的全部支路，則此圖變成兩個(gè)分離的部分；(2)如果留下該集合中的任一支路，則剩下

6、的圖仍是連通的。在圖1.5(a)中，支路集合1,2,4、1,3,4,6是割集，其中前者是與節(jié)點(diǎn)相聯(lián)的支路集合。而2,3,5、3,4,5,6則不是割集。有了割集的概念，基爾霍夫電流定律便可表述成：集中參數(shù)電路中，流入任1-3第一章 網(wǎng)絡(luò)圖論與網(wǎng)絡(luò)方程意割集各支路電流的代數(shù)和包等于零。一個(gè)圖存在許多不同的割集，每個(gè)割集都對應(yīng)一個(gè)KCL方程，但并不是所有這些KCL方程都是獨(dú)立的。如果對一組割集所列KCL方程是獨(dú)立的，則這些割集稱為獨(dú)立割集。下面借助樹討論獨(dú)立割集即KCL方程的獨(dú)立性問題-A圖1.5基本割集一個(gè)電路作出其線圖并任選一樹，取一樹支和若干連支只能做出一個(gè)單樹支割集，否則將出現(xiàn)僅由連支組成的

7、割集。這是不可能的，因?yàn)闃涫沁B通的，每一個(gè)割集至少要包括一條樹支。每取一個(gè)樹支做一個(gè)單樹支割集，稱為基本割集(fundamentalcut-set)。基本割集的方向規(guī)定為所含樹支的方向。以圖1.5為例研究基本割集的性質(zhì)。圖中可見有3個(gè)基本割集，分別對應(yīng)樹支1、2、3,見圖1.5(b)1.5(d)中與閉合虛線相交的支路。寫出這3個(gè)基本割集的KCL方程割集G：i1i5i60(1.1a)割集C2：i2i4i5i60(1.1b)割集C3：i3i4i50(1.1c)這三個(gè)方程是相互獨(dú)立的，因?yàn)槊恳粋€(gè)方程中分別含有一個(gè)不同的樹支電流，其中任一方程不可能通過其它方程線性組合而得。其它割集，例如支路1、2、4

8、,其KCL方程：i1i2i40就可通過(1.1b)式減(1.1a)式得出，因而是不獨(dú)立的。推廣為一般情況：基本割集的基爾霍夫電流定律方程是一組獨(dú)立方程，方程的數(shù)目等于樹支數(shù)(n1),基本割集是一組獨(dú)立割集。(1.1a)(1.1c)三式還可得到i1i5i6(1.2a)i2i4i5i6(1.2b)i3i4i5(1.2c)可見，樹支電流可以表達(dá)成連支電流的線性組合。另一方面，因?yàn)闃涫沁B通的，僅由連支不能形成割集。所以任一連支電流不能僅通過KCL而表達(dá)成其它連支電流的線性組合。于是得出結(jié)論：在全部支路電流中，連支電流是一組獨(dú)立變量，個(gè)數(shù)等于連支數(shù)bl(bn1)0必須指出按基本割集列出(n-1)個(gè)KCL

9、方程只是保證獨(dú)立的充分條件，而非必要條件。其實(shí)，隨意選取(n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)列寫KCL方程便是獨(dú)立的，所選取的(n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)(independentnodes)。例如圖1.5(a)中共有4個(gè)節(jié)點(diǎn),列出每一節(jié)點(diǎn)上的KCL方程節(jié)點(diǎn)：i1i2i40(1.3a)節(jié)點(diǎn)：i2i3i60(1.3b)節(jié)點(diǎn)：i1i5i60(1.3c)節(jié)點(diǎn)：i3i4i50(1.3d)一次帶“十”號，一次帶所以其中至少有一式相對綜觀這4個(gè)方程，可見每一支路電流都出現(xiàn)兩次，號。如果將此4個(gè)方程相加，等號左側(cè)電流全部相消,不獨(dú)立。任意除去一個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程，在剩下的3個(gè)方程中，與該節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的電流均只出現(xiàn)一次。這3個(gè)方程左邊的

10、任意線性組合均不可能使電流全部相消，因而是獨(dú)立的。所去掉節(jié)點(diǎn)的KCL方程可以由其它節(jié)點(diǎn)的KCL方程的線性組合而得。例如將方程(1.3a)(1.3c)相加后再取負(fù)號即得方程(1.3d)。顯然，對(n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)列寫KCL方程要比對(n-1)個(gè)基本割集列寫KCL方程方便。在一般情況下常用節(jié)點(diǎn)上的KCL方程，只是在某些特殊場合，不得不借助樹的概念列寫割集電流方程。2獨(dú)立的基爾霍夫電壓定律方程對一個(gè)電路作出其線圖并取一樹。取一條連支和若干樹支只能形成一個(gè)回路，否則將出現(xiàn)僅由樹支組成的回路。這是不可能的，因?yàn)闃洳缓芈?，每一個(gè)回路中至少要包括一條連支。每一個(gè)連支對應(yīng)一個(gè)單連支回路，稱為基本回路(fund

11、amentalloop)?；净芈返姆较蛞?guī)定為所含連支的方向。以圖1.6為例研究基本回路的性質(zhì)。圖中有3個(gè)基本回路，分別對應(yīng)連支4、5、6。這三個(gè)基本回路上的KVL方程為回路432:u4u3u20(1.4a)5123:u5u1u2u30(1.4b)621:u6U2Ui0(1.4c)這三個(gè)方程是獨(dú)立的，因?yàn)槊總€(gè)方程都包含一個(gè)不同的連支電壓。對基本回路以外的回路列出的KVL方程都可由基本回路上的KVL方程通過線性組合而得，因而是不獨(dú)立的。例如對連支4、5與樹支1組成的回路列出的KVL方程是圖1.6基本回路U4U5Ui0此式其實(shí)就是含u4的式(1.4a)與含u5的式(1.4b)相加的結(jié)果。這相當(dāng)于把

12、兩個(gè)基本回路重合在一起，而把公共支路電壓消去。其它回路的KVL方程都可以類似獲得，讀者可以通過繪制一些不同的線圖來驗(yàn)證。推廣到一般情況：在基本回路上列寫的基爾霍夫電壓定律方程是一組獨(dú)立方程，方程的數(shù)目等于連支數(shù)blb(n1),基本回路是一組獨(dú)立回路。由(1.4a)(1.4c)還可得到U4U2U3(1.5a)U5UiU2U3(1.5b)u6u1u2(1.5c)說明連支電壓UqU5、U6可以用樹支電壓UU2、U3的線性組合來表示。但是任一樹支電壓不能僅由KVL表達(dá)成其它樹支電壓的線性組合，這是因?yàn)閮H由樹支不能形成回路?？梢娫谌恐冯妷褐校瑯渲щ妷菏且唤M獨(dú)立變量。還需說明，取基本回路只是列寫?yīng)毩⒌?/p>

13、基爾霍夫電壓定律方程的一個(gè)充分條件而非必要條件。實(shí)際上，如果每取一個(gè)回路都至少包含一條新支路，所有b-(n-1)個(gè)回路的KVL方程便是獨(dú)立的。1-5第一章 網(wǎng)絡(luò)圖論與網(wǎng)絡(luò)方程65圖1.7取網(wǎng)孔為獨(dú)立回路對于一個(gè)平面電路，也可以取網(wǎng)孔來列寫?yīng)毩⒌腒VL方程。以圖1.7為例,對應(yīng)各內(nèi)網(wǎng)孔的KVL方程分別為11 u2u3u7012 u4u5u8013 u1u9u6014 u7u8u90網(wǎng)孔1的方程不能由網(wǎng)孔2、3、4組合而成，因?yàn)榫W(wǎng)孔1的外側(cè)支路不出現(xiàn)在網(wǎng)孔2、3、4中。同理可以分析網(wǎng)孔2、3。至于網(wǎng)孔4的支路雖在網(wǎng)孔1、2、3中都出現(xiàn)了，但是網(wǎng)孔1、2、3的方程中分別有一個(gè)支路電壓不能被消去而得網(wǎng)

14、孔4的電壓定律方程。由此證明了網(wǎng)孔電壓方程是獨(dú)立的，獨(dú)立的KVL方程數(shù)等于網(wǎng)孔數(shù)，且與連支數(shù)b-(n-1)一致。而網(wǎng)孔以外的回路電壓方程都將是網(wǎng)孔電壓方程的線性組合。例如對外網(wǎng)孔有：U1U2U3U4U5U60它是前4個(gè)方程之和練習(xí)題1.2.1給出圖中所示的網(wǎng)絡(luò)線圖，問下列支路集合哪些是割集？哪些不是割集？為什么？(1)1、3、5;(2)2、3、4、7、8;(3)4、5、6;(4)6;(5)4、7、9;(6)1、3、4、7。4圖練習(xí)題1.2.2練習(xí)題1.2.3網(wǎng)絡(luò)線圖如圖所示(1)任選一組獨(dú)立的支路電壓，并用以表達(dá)其它支路電壓；(2)任選一組獨(dú)立的支路電流，并用以表達(dá)其它支路電流。練習(xí)題1.2.

15、4試探討在怎樣的線圖里，樹的結(jié)構(gòu)使節(jié)點(diǎn)電流方程與基本割集電流方程剛好致？練習(xí)題1.2.5試列寫圖1.2.2所示電路的網(wǎng)孔電壓方程。能否選擇一樹，使得基本回路的電壓方程與網(wǎng)孔電壓方程一致？§1.3特勒根定理本節(jié)介紹由基爾霍夫定律導(dǎo)出的一個(gè)集中參數(shù)電路普遍定理一特勒根定理(Tellegen'stheorem):定理1:在任一集中參數(shù)電路中，設(shè)其支路電壓列矢量Uu1,u2,.,ubT,17第一章 網(wǎng)絡(luò)圖論與網(wǎng)絡(luò)方程支路電流列矢量Iii,i2,ibT,各電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向，則有u"kk 1UTI1-11圖1.8說明特勒根定理U4Un1Un2U5Un2Un3U6Un3(

16、1.7)(1.(6)從(1.16)式可見，定理1的物理意義是電路中各支路吸收功率的代數(shù)和恒等于零，表明電路中功率是守包的。所以有時(shí)把定理1稱為功率定理(powertheorem)。將特勒根定理用于圖1.16,證明如下。設(shè)節(jié)點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn)，其它節(jié)點(diǎn)相對該節(jié)點(diǎn)存在確定的節(jié)點(diǎn)電壓，用節(jié)點(diǎn)電壓表達(dá)的支路電壓(或者說KVL方程)是UiUn1Un3U2Un1U3Un2各支路電壓、電流乘積之和為6UkikUn1(i1i2i4)Un2(isi4is)Un3(i1isi6)k1(1.(7) 號分別是與3個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)相連的支路電流代數(shù)和，根據(jù)KCL它們應(yīng)等于零。因此得到6u"k0k1在以上表述過程中，只利用

17、了基爾霍夫定律，并沒有對電路元件及電壓、電流的變化規(guī)律作任何限定。因此上述定理可以推廣到兩個(gè)具有相同有向圖的任意集中參數(shù)電路。?定理2:設(shè)兩個(gè)集中參數(shù)電路N與N的有向圖相同，其支路電壓列矢量分別為T?1TUU1,U2,Ub及UU1,U2,Ub支路電流列矢量分別為?TI9,ib及IiJ,ibT則有b?Tb?T?ukikUI0及ukikUI0(1.8)k1k1特別地，U、I及U、I也可以是同一電路兩個(gè)不同時(shí)刻的電壓、電流。在形式上，式(1.8)中各項(xiàng)均為電壓、電流之積，具有功率的量綱，故將定理2稱為似功率定理(quasi-powertheorem)。它給出N與N兩電路中支路電壓與支路電流的數(shù)量關(guān)系

18、，故而具有特殊的普遍意義。練習(xí)題1.3.1網(wǎng)絡(luò)線圖如圖題1.3.1所示選1,2,3支路為樹支，用樹支電壓表達(dá)支路電壓，驗(yàn)證特勒根定理；用連支電流表達(dá)支路電流，再驗(yàn)證特勒根定理。6圖題1.3.1練習(xí)題1.3.2設(shè)某網(wǎng)絡(luò)線圖及其樹如圖題1.3.1所示。(1)設(shè)連支電流為i4=4A,i5=5A,i6=6A,求出樹支電流。(2)設(shè)樹支電壓為ui=1V,U2=2V,U3=3V,求出連支電壓。(3)利用(1)、(2)的結(jié)果驗(yàn)證特勒根定理，對本題艮1Ukik0Ok1§1.4互易定理互易定理是體現(xiàn)某一類線性電路性質(zhì)(互易性)的定理。先做一般分析。假設(shè)圖1.9的二端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)僅含線性二端電阻，圖(a)和

19、圖(b)在形式上的差異僅在于二端口網(wǎng)絡(luò)以外的支路。因此兩個(gè)電路具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，二者之間可以使用特勒根定理：I 2U2(b)I1(a)U2I1I 2圖1.9用特勒根定理證明互易定理O ?|kKU3 bk ?_?2 u ?IM1u?b?U1I1U2I2UkIk0(1.10)k3式中b表示每個(gè)電路的全部支路數(shù)。上兩式中第三項(xiàng)涉及二端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)各電阻支?路的電壓與電流，根據(jù)刖面對網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的假設(shè)有UkRkIk及UkR/k。將此關(guān)系分別代入(1.9)和(1.10)兩式得?b?U1I1U2I2Rklklk0(1.11)k3?b?U1I1U2I2RJklk0(1.12)k3(1.13)(1.11)和(1.1

20、2)兩式中求和號對應(yīng)的值相等，因此得到兩個(gè)二端口網(wǎng)絡(luò)端口電壓與電流的一般關(guān)系U1I1U2I2U1I1U2I2當(dāng)端口外接不同元件時(shí)，由上式可以得出不同的結(jié)論。分別討論如下。令U1U2Us、U2=U=0,由(1.13)式得I2I1。參見圖1.10。十Us-+)Us由此得出：對壬含有二個(gè)獨(dú)立電壓源和若壬線性二端電阻的電路“一當(dāng)電壓源與短路端口互換位置時(shí)換前后的仝短一路端.口電流捫空一電壓、電流的參考方向見圖1.10。這是互易定理的第一種表述形式。也可簡記作：電壓源與電流表互換位置，電流表的讀數(shù)不變。令I(lǐng)i I20,由（1.13）式得U2 Ui。參見圖1.11。Is、I 2圖1.11互易定理的第二種形

21、式由此得出：對于含有一個(gè)獨(dú)立電流源和若干線性二端電阻的電路，當(dāng)電流源與開路端口互換位置時(shí)，互換前后兩個(gè)開路端口的電壓相等。電壓、電流的參與方向見日1.11。這是將易定和宿第二證S體形瓦山前簡立住電流源與電壓表互換位置，電壓表的讀數(shù)不變。_?.?IcU令I(lǐng)1IS、U2=011=0、U2=US。由（1.13）式得上L0如果在量值上ISIsUs與Us相等，則12與U1在量值上也相等。其中Is與12、Us與U1分別取同樣的單位。這就是互易定理的第三種表述形式。參見圖1.12。1'(a)I 22”ISU1?U11Us(b)J2'圖1.12互易定理的第三種形式綜觀互易定理的三種形式，對每一

22、種形式，當(dāng)激勵(lì)不作用時(shí)，互易前后的兩個(gè)電路是完全一樣的。在應(yīng)用互易定理時(shí)，必須注意這一點(diǎn)。當(dāng)電路中含有受控源或回轉(zhuǎn)器時(shí)，（1.9）式與（1.10）式中對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部支路的兩個(gè)求和號所代表的值一般不相等，因此得不出（1.13）所表述的關(guān)系。這種情況下能應(yīng)用互易定理，即不滿足互易性。一般說來，對一個(gè)電路列寫回路法方程或節(jié)點(diǎn)法方程，如果互阻滿足Rj0或互導(dǎo)滿足GjG/，即方程的系數(shù)矩陣為對稱矩陣，這樣的電路便滿足互易性，可以應(yīng)用互易定理。其實(shí)互易性只不過是系數(shù)矩陣為對稱矩陣的電路方程所具有的一種性質(zhì)，利用系數(shù)矩陣的對稱性同樣可以得出互易定理，但不如用特勒根定理來得簡單。對此不再贅述?！纠}1.4.1】

23、圖1.13（a）所示電路，根據(jù)齊性定理和疊加定理可以寫出響應(yīng)電流I與各激勵(lì)的關(guān)系：IK1US1K2US2K3IS0試用互易定理求各系數(shù)Ki（i1,2,3）?！窘狻坑深}給表達(dá)式可知，Ki(i1,2,3)的量值等于相應(yīng)電源以單位量值(例如1V或1A)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電流I的量值。對每個(gè)電源單獨(dú)作用的電路應(yīng)用互易定理進(jìn)行求解。電壓源單獨(dú)作用時(shí)應(yīng)用互易定理的第一種表述形式，電流源單獨(dú)作用時(shí)用第二種表述形式。所得互易后的三個(gè)電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)完全相同，只是待求響應(yīng)不同。因此可以將三個(gè)互易后的電路合并成一個(gè)電路，即圖(b)。圖中Ii、12和U3的量值分別等于Ki、K2和K3的量值。圖(b)為平衡電橋，2電阻上

24、無電壓、電流，故將2電阻支路斷開不會(huì)影響其它電壓、電流。斷開后求得1V(4 10)-27.143 10 2A , I21V(6 15)一一 一 24.762 10 2A, U30所以題中所求K127.143 10 2S, K2一 一 2 一4.762 10 S, K30。例題 1.4.1(b)§1.5基爾霍夫定律方程的矩陣形式1關(guān)聯(lián)矩陣及基爾霍夫定律方程的關(guān)聯(lián)矩陣形式由第一章得知，網(wǎng)絡(luò)線圖可以用來表示電路的結(jié)構(gòu)，即表示電路的節(jié)點(diǎn)、支路及其聯(lián)結(jié)關(guān)系，亦即關(guān)聯(lián)關(guān)系。這種關(guān)聯(lián)關(guān)系也可以用一個(gè)數(shù)表或一個(gè)矩陣來表示。對于n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的線圖，定義一個(gè)矩陣A,其中行號對應(yīng)節(jié)點(diǎn)號，列號對應(yīng)支路號

25、，矩陣中第i行第j列元素定義為1,當(dāng)支路j從節(jié)點(diǎn)i聯(lián)出；aij1,當(dāng)支路j向節(jié)點(diǎn)i聯(lián)入；(1.14)0,當(dāng)支路j與節(jié)點(diǎn)i不直接相聯(lián)。由此寫出的矩陣稱為線圖的節(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣(incidencematrix)。例如，對圖1.14所示的電橋電路線圖，其關(guān)聯(lián)矩陣為第一章 網(wǎng)絡(luò)圖論與網(wǎng)絡(luò)方程110011100001100001011110(1.15)由關(guān)聯(lián)矩陣的定義可知，A'的每一列有且僅有兩個(gè)非零元素，分別是1和1，每一列元素之和均為零。所以，A'的任意一行都可由其它n-1行來確定，I-一*、，.-,.、，.A只有n-1個(gè)獨(dú)立行。因此，可將A的任意一行省略(通常省略參考節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的行)

26、，得到一個(gè)降階關(guān)聯(lián)矩陣(reducedincidencematrix)，記為A。例如，對式(1.15)所示的關(guān)聯(lián)矩陣，除去節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的第4行，則降階關(guān)聯(lián)矩陣為110100A=0-1100-1(1.16)100011以后常用降階關(guān)聯(lián)矩陣，所以將"降階"兩字省略，簡稱關(guān)聯(lián)矩陣。關(guān)聯(lián)矩陣與網(wǎng)絡(luò)線圖一一對應(yīng)。從它的行可以得知與該行對應(yīng)節(jié)點(diǎn)相聯(lián)的支路情況；從它的列可以得知與該列對應(yīng)支路所聯(lián)結(jié)的節(jié)點(diǎn)情況。關(guān)聯(lián)矩陣是網(wǎng)絡(luò)線圖的一種數(shù)學(xué)表示，這種表示便于對線圖進(jìn)行各種數(shù)學(xué)計(jì)算。關(guān)聯(lián)矩陣可以從已知的線圖根據(jù)定義得到；反過來，從已知的關(guān)聯(lián)矩陣，不難畫出對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)線圖?；鶢柣舴蚨膳c元件性質(zhì)無關(guān)，

27、僅取決于電路結(jié)構(gòu)。因此，可以利用線圖來列寫電路的基爾霍夫定律方程。例如，對圖1.14所示線圖的獨(dú)立節(jié)點(diǎn)、列KCL方程并表達(dá)成矩陣形式為11010(1.17)0110010001上式方程組的系數(shù)矩陣就是圖1.14的關(guān)聯(lián)矩陣Ao這一結(jié)果不難從關(guān)聯(lián)矩陣的定義來理解。推廣到一般情況。將b個(gè)支路電流寫成支路電流列矢量Ii1i2ibT,則基爾霍夫電流定律的關(guān)聯(lián)矩陣形式為AI=0(1.18)下面分析基爾霍夫電壓定律。選圖1.14的號節(jié)點(diǎn)為參考點(diǎn)，用節(jié)點(diǎn)電壓之差表示支路電壓，并寫成矩陣形式，則得圖1.14的基爾霍夫電壓定律方程101110010100001011U2Un1U3Un2U4Un3U55U6(1.1

28、9)上述方程的系數(shù)矩陣等于圖1.14的關(guān)聯(lián)矩陣A的轉(zhuǎn)置。這一結(jié)論也不難從關(guān)聯(lián)矩陣的定義來理解。推廣到一般情況，設(shè)網(wǎng)絡(luò)有b條支路，n個(gè)節(jié)點(diǎn)，第n號節(jié)點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn),支路電壓和節(jié)點(diǎn)電壓列矢量分別記作UUU2UbTUnUn1Un2Un,nJT則基爾霍夫電壓定律的關(guān)聯(lián)矩陣形式是(1.20)ATUnU圖1.15基本回路圖1.16基本割集2基本回路矩陣及基爾霍夫定律的基本回路矩陣形式在第一章已對基本回路彳了明確定義。對于n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的連通圖G,選定一樹后，便唯一確定了一組基本回路，回路數(shù)等于連支數(shù)bb-(n-1)0基本回路與支路(包括樹支和連支)的關(guān)聯(lián)關(guān)系可以用基本回路矩陣(fundamentalloo

29、pmatrix)B來表示。定義B的行對應(yīng)基本回路、列對應(yīng)支路，B是bb矩陣，其元素為1,基本回路i包含支路j,且二者方向相同；bj1,基本回路i包含支路j,但二者方向相反；(1.21)0,基本回路i不包含支路j。1-#第一章 網(wǎng)絡(luò)圖論與網(wǎng)絡(luò)方程1 17例如，對圖1.15所示的基本回路，按基本回路的定義，可寫出如下矩陣：011100B111010(1.22)110001基本回路矩陣是基本回路與支路關(guān)聯(lián)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表示。由線圖及基本回路可以求得基本回路矩陣，反之亦然。如支路的編號順序按照先樹支后連支，并且基本回路的編號順序與連支的編號順序一致。這樣，在B矩陣的右端必定出現(xiàn)blbl的單位矩陣。下面

30、將基爾霍夫定律表達(dá)成基本回路矩陣形式。基本回路對應(yīng)的基爾霍夫電壓定律方程是一組獨(dú)立方程。對圖1.15所示的基本回路列寫KVL方程，并表達(dá)成矩陣形式u1u20111002u3111010u41100014u5(1.23)u6上述方程的系數(shù)矩陣剛好是圖1.15的基本回路矩陣。此結(jié)論可以從基本回路矩陣的定義去理解。推廣到一般情況，設(shè)U表示支路電壓列矢量，基爾霍夫電壓定律的基本回路矩陣形式為BU=0(1.24)再來分析基爾霍夫電流定律。連支電流是一組獨(dú)立變量，可以用來表達(dá)全部支路電流。利用基本割集上的KCL方程，能夠?qū)渲щ娏鞅磉_(dá)成連支電流的代數(shù)和。對圖1.16所示的基本割集依次列寫KCL方程并寫成矩

31、陣形式得011i4111i5110i6(1.25)再將上述方程擴(kuò)展到全部支路電流，則是01111111001001123456(1.26)上述方程的系數(shù)矩陣剛好是基本回路矩陣B的轉(zhuǎn)置。將此結(jié)論推廣到一般情況。設(shè)連支電流列矢量為Iiinii2ii,blT,則基爾霍夫電流定律的基本回路矩陣形式為BTIlI(1.27)3 基爾霍夫定律的基本割集矩陣形式對于n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的連通圖G,選定一樹后，便唯一確定了一組基本割集，基本割集數(shù)等于樹支數(shù)bt(n-1)。基本割集與支路(包括樹支和連支)的關(guān)聯(lián)關(guān)系也可以用一個(gè)矩陣來表示。定義矩陣的行對應(yīng)基本割集，列對應(yīng)支路，其元素為1,基本割集i包含支路j,且二者方

32、向相同；Cj1,基本割集i包含支路j,但二者方向相反；(1.28)0,基本割集i不包含支路j。按此寫出的btb矩陣稱為基本割集矩陣(fundamentalcut-setmatrix),用C表示。例如，對圖1.16所示的基本割集，按基本割集定義，可寫出如下的基本割集矩陣111110(1.29)1000C01010011基本割集矩陣是基本割集與支路關(guān)聯(lián)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表示。由線圖及基本割集可以求得基本割集矩陣，反之亦然。如支路的編號順序按照先樹支后連支，并且基本割集編號順序與樹支編號順序一致。這樣，在C矩陣的左端必定出現(xiàn)btbt的單位矩陣。下面將基爾霍夫定律表達(dá)成基本割集矩陣形式?；靖罴瘜?yīng)的基爾

33、霍夫電流定律方程是一組獨(dú)立方程。對圖1.16所示的基本割集列寫基爾霍夫電流定律方程，并表達(dá)成矩陣形式為1i210001120i3(1.30)01011130i400111040i5i6與(1.29)式對比可見，上述方程的系數(shù)矩陣剛好是圖1.16的基本割集矩陣。推廣到一般情況。設(shè)I表示支路電流列矢量，則基爾霍夫電流定律的基本割集矩陣形式是CI=0(1.31)再分析基爾霍夫電壓定律。樹支電壓是一組獨(dú)立變量，可以用來表達(dá)全部支路電壓。利用基本回路上的基爾霍夫電壓定律方程，能夠?qū)⑦B支電壓表達(dá)成樹支電壓的代數(shù)和。對圖1.15所示的基本回路列基爾霍夫電壓定律方程并寫成矩陣形式得(1.32)011u1u41

34、11u2u5110u3u6再將上述方程擴(kuò)展到全部支路電壓便得100u1010u1001u2011u3111110u2u3u4u5u6(1.33)與式(1.29)比較可見，上述方程的系數(shù)矩陣剛好是圖1.16的基本割集矩陣C的轉(zhuǎn)置。推廣到一般情況。設(shè)樹支電壓列矢量為UtUtiUt2Ut,btT,則基爾霍夫電壓定律的基本割集矩陣形式是CTUt=U(1.34)用上述基爾霍夫定律的某種矩陣形式可以證明特勒根定理。僅以基爾霍夫定律的關(guān)聯(lián)矩陣形式為例，其它情況讀者可以仿此進(jìn)行。將(1.20)式兩邊轉(zhuǎn)置可得UTUnTA再由(1.18)式便可證得特勒根定律，即UTIUnTAI04 網(wǎng)絡(luò)矩陣之間關(guān)系前面分別定義了

35、三種網(wǎng)絡(luò)矩陣，它們都可以用來表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)信息。其中基本回路矩陣B和基本割集矩陣C還反映了所選擇的樹。因此，這些矩陣之間必定存在一定的關(guān)系。借助基爾霍夫定律的三種矩陣形式，可以討論這些關(guān)系。1.4.1關(guān)聯(lián)矩陣與基本回路矩陣的關(guān)系將(1.27)式代入(1.18)式得AIABTIl0上式對任意連支電流Il均成立。由此得關(guān)聯(lián)矩陣與基本回路矩陣的關(guān)系A(chǔ)BT0或BAT0(1.35)如果對支路和基本回路的編號能夠使得矩陣B中出現(xiàn)單位子矩陣，則上式可進(jìn)一步寫成分塊矩陣的形式BtTAtAlt01l其中下標(biāo)t和l分別表示對應(yīng)樹支和連支的分塊。將上式展開得T1BtTAt1Al(1.36)第一章 網(wǎng)絡(luò)圖論與網(wǎng)絡(luò)方程

36、可以證明，關(guān)聯(lián)矩陣中對應(yīng)樹支的分塊子矩陣At的行列式為1,其逆矩陣總是存在的。1.4.2基本回路矩陣與基本割集矩陣的關(guān)系將(1.34)式代入(1.24)式得BUBCTUt0上式對任意樹支電壓Ut均成立。由此得基本回路矩陣與基本割集矩陣的關(guān)系BCT=0或CBT=0(1.37)如果對支路、基本回路和基本割集的編號使得矩陣B和矩陣C中均出現(xiàn)單位子矩陣，則上式可進(jìn)一步寫成分塊矩陣的形式1tBt11T0CTiBt C1T將上式展開后得常用關(guān)系(1.38)上式表明，對同一線圖的同一樹，基本回路矩陣B和基本割集矩陣C可以簡單地相互求得。本節(jié)使用了電壓、電流的瞬時(shí)值形式，其對應(yīng)結(jié)論完全可以推廣到電壓、電流的相

37、量或象函數(shù)形式。§ 1.6 支路方程的矩陣形式前一節(jié)將基爾霍夫定律表達(dá)成了矩陣形式。為建立矩陣形式的電路方程，還須建立矩陣形式的支路方程。為規(guī)范起見，引入圖1.17(a)所示的廣義(generalizedbranch)支路。其中包括一個(gè)阻抗、一個(gè)電壓源和一個(gè)電流源。暫不考慮受控電源情況。為一般性起見，這里使用了復(fù)頻域形式的廣義支路模型。對于只含其中一種元件或兩種元件的支路，可以看作是上述廣義支路當(dāng)其它元件參數(shù)為零時(shí)的特殊情況。有時(shí)廣義支路也稱為標(biāo)準(zhǔn)支路或一般支路。一個(gè)廣義支路在線圖中對應(yīng)一條支路，如圖1.17(b)oIsk(s)Ik(s)，Uk(s),Ik(s)Usk(s)Zk(s)

38、O0_-czhJUk(s)(a)(b)圖1.17廣義支路及其線圖第k條廣義支路的支路方程可以表示成(k=1,-b)(1.39)Uk(s)Zk(s)Ik(s)ISk(s)USk(s)Zk(s)Ik(s)Zk(s)ISk(s)USk(s)或者(k=1,-b)(1.40)Ik(s)Yk(s)Uk(s)Usk(s)Isk(s)Yk(s)Uk(s)Yk(s)Usk(s)Isk(s)其中Yk(s)1/Zk(s)表示支路運(yùn)算導(dǎo)納。寫出每一廣義支路的支路方程，并表達(dá)成矩陣形式便是(為簡便起見，以下省略復(fù)變函數(shù)中的復(fù)變量s)UZIZIsUs(1.41)IYUYUSIS(1.42)其中U、I分別稱為廣義支路電壓列

39、矢量與廣義支路電流列矢量；USUS1US2USbT、ISIS1IS2ISb分別稱為支路源電壓與支路源電流列矢量；對角矩陣ZdiagZ1Z2Zb、YdiagXY2Yb分別稱為支路阻抗矩陣與支路導(dǎo)納矩陣。若逆矩陣存在，則ZY1或YZ1。(a)圖1.18含受控源電路下面討論含有受控源的電路。當(dāng)電路中含有受控電源時(shí)，其支路阻抗矩陣或支路導(dǎo)納矩陣不再具有對角性質(zhì)。以圖1.18(a)為例，圖中含VCCS支路的支路方程為I2Y2U2gU1與其它支路方程合在一起并寫成矩陣形式得I1Yi00UiIS1I2g丫20U2I300Y3U3故支路導(dǎo)納矩陣為YgY2000Y3它是在不含VCCS電路的支路導(dǎo)納矩陣的第2行第

40、1列位置上增加VCCS的控制系數(shù)go其中“2”表示被控支路編號，“1”表示控制支路編號。該結(jié)論可以推廣到一般情況：設(shè)支路i是VCCS的被控支路，它受支路j導(dǎo)納上的電壓控制，控制系數(shù)為gj,則支路導(dǎo)納矩陣的i行j列元素將產(chǎn)生gj的增量。當(dāng)控制電壓、被控電流分別與支路j和支路i方向一致時(shí)，gj前面取“+”號；否則，每改變一個(gè)方向，gj的前面變號一次。按照這一規(guī)則便可直接寫出含有VCCS的支路1-19第一章 網(wǎng)絡(luò)圖論與網(wǎng)絡(luò)方程導(dǎo)納矩陣。當(dāng)含有其它受控電源時(shí)，可利用電源等效變換，將其全部等效成VCCS,然后再按上述規(guī)則列寫支路導(dǎo)納矩陣。根據(jù)上述分析可知，當(dāng)直接列寫含有受控源電路的支路阻抗矩陣時(shí)，宜將全

41、部受控電源等效成電流控制電壓源CCVS,然后仿照支路導(dǎo)納矩陣的列寫規(guī)則列寫支路阻抗矩陣即可。在此不再贅述。當(dāng)電路中含有互感元件時(shí)，其支路阻抗矩陣可以直接列寫。設(shè)i、j支路間含有互感Mk,如圖1.19所示。其支路方程為的矩陣形式為UisLisMkIi.(1.43)UjsMksLjIj由此可見，含有互感時(shí)，支路阻抗矩陣不是對角矩陣，其非對角元素變?yōu)閆jZjisMj含互感元件電路的支路導(dǎo)納矩陣通過支路阻抗矩陣的逆來得到。廣義支路雖然表示了相當(dāng)一部分具體支路，但它仍有許多局限性。因?yàn)?1.41)式是用支路電流表示支路電壓；(1.42)則反之。對于純電壓源支路，只存在(1.41)式，而對純電流源支路，則

42、只存在(1.42)式。對于含有理想變壓器、VCVS或CCCS的電路，如不對其預(yù)先進(jìn)行人為的等效變換，則難以寫出(1.41)或(1.42)所示的支路方程。當(dāng)遇到上述情況時(shí)，為了增強(qiáng)支路方程的適用性，通常將支路方程推廣為如下更普遍的形式Y(jié)UZIW(1.44)下面舉例說明?！纠}】1.6.1寫出圖1.20(a)所示電路支路方程的矩陣形式。【解】：畫出電路線圖如圖(b)所示。將純電壓源及理想變壓器支路作單獨(dú)考慮，它們的元件方程分別是U5US5u6nu70ni6i70寫成矩陣形式其中Y2Y2U21000 1 n Z2000Z2I2 W20000 0 0W20n1u S50(1.45)0u5i5U2u6I

43、2i6u7i7將上述方程與電阻元件的歐姆定律方程聯(lián)立，按支路編號依次排列后寫成矩陣形式使得圖1.20(a)電路的支路方程G10000G20000G30000G40000 0000 0000000u1000u2000u3000u4100u50 1 n u6000u710001000100000000000000 0 0 i100 0 0 i200 0 0 i31000i40000i50000i600 n 1 i70000uS5001 23(1.44)所示的支路方程在形式上雖比(1.41)和(1.42)所示的支路方程復(fù)雜，但它的適應(yīng)性卻要比(1.41)和(1.42)式強(qiáng)得多。在改進(jìn)節(jié)點(diǎn)中，對以電流

44、為變量的支路就是用(1.44)所示的支路方程。1.7節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式本節(jié)在基爾霍夫定律及支路方程矩陣形式的基礎(chǔ)上建立節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩(1.42)式代入基爾霍夫電流定律方程的關(guān)聯(lián)矩陣形式(1.18)，以消去支路電流變量AIA(YUYUS1s)=0再將基爾霍夫電壓定律的關(guān)聯(lián)矩陣形式(1.20)代入上式，以消去支路電壓，取而代之的是節(jié)點(diǎn)電壓AYATUAYUSAIS0nSS移項(xiàng)后得AYATUnAYUSAIS(1.46)這就是節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式。它是(n-1)元聯(lián)立方程，方程變量是節(jié)點(diǎn)電壓。其中AYAT是(n1)(n1)方陣，AYUs和AIs都是(n-1)階列矩陣。令(1.47)YnAYAT稱為節(jié)

45、點(diǎn)導(dǎo)納矩陣(nodeadmittancematrix),對不含受控電源和回轉(zhuǎn)器的電路，它是對稱矩陣。再設(shè)IsnAYUsAIS(1.48)稱為節(jié)點(diǎn)源電流列矢量(nodeinjectioncurrentvector),其中右邊第一項(xiàng)是廣義支路中各電壓源化為電流源后，流入各節(jié)點(diǎn)的電流，而第二項(xiàng)是廣義支路中電流源流出各節(jié)點(diǎn)的電流。根據(jù)(1.47)、(1.48)式，節(jié)點(diǎn)電壓方程(1.46)可以簡寫成YnUnISn(1.49)對于較復(fù)雜的電路，通常要借助計(jì)算機(jī)求得上述方程的數(shù)值解。直接分解法和迭代法是兩類常用的數(shù)值解法。讀者可參閱有關(guān)數(shù)值分析方面的書籍以獲得更多知識(shí)和技能?！纠}13.2】利用本節(jié)方法列寫

46、圖1.21(a)所示電路節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式，并求出各廣義支路的電壓和電流。圖1.21節(jié)點(diǎn)方程矩陣形式示例【解】按下列步驟列解矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程：(1)按照廣義支路的定義，作出網(wǎng)絡(luò)線圖，如圖1.21(b)所示。(2)根據(jù)線圖寫出關(guān)聯(lián)矩陣A110A011(3)根據(jù)線圖并對照電路圖寫出支路導(dǎo)納矩陣Ydiag123S支路源電壓列矢量Us023TV支路源電流列矢量Is103TA根據(jù)(1.47)式計(jì)算節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，根據(jù)(1.48)式計(jì)算節(jié)點(diǎn)源電流列矢量。YnAYAtIsnAYUsAIs58tA(5)按(1.49)列出節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式，即32Un1525Un28(6) 求解上式得節(jié)點(diǎn)電壓1Un13

47、253.7273Unn1VnUn22583.0909(7) 根據(jù)(1.20)式求出廣義支路電壓，根據(jù)(1.42)式求出廣義支路電流UU1U2U3TATUn3.72730.63643.0909TVnII1I2I3TYUYUSIS2.72732.72732.7273TA對于本例的簡單電路，用從前學(xué)過的節(jié)點(diǎn)電壓方程的直觀列寫規(guī)則可以簡單許多。但對于復(fù)雜電路，必須按照規(guī)范步驟列寫電路方程，以便編制計(jì)算程序。本例是借助簡單電路說明復(fù)雜電路的分析方法。1.8改進(jìn)節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法由于其適應(yīng)性強(qiáng)、方程數(shù)目少而在實(shí)際中得到越來越廣泛的應(yīng)用。在應(yīng)用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法時(shí)，電路的支路實(shí)際上被分成了兩部分：一部分是以支路電流為變量的支路，在此用下標(biāo)2表示；其余部分用下標(biāo)1表示。這樣，電路的關(guān)聯(lián)矩陣可以寫成分塊形式，而關(guān)聯(lián)矩陣形式的基爾霍夫定律方程可以寫成KCL:A1A2I1I2(1.50)KVL:A1TUnU1U2(1.51)I 1 Y1U1Y1U S1I S1(1.52)(1.53)(1.54)兩部分的支路方程分別寫成Y2U2Z2I2W2根據(jù)上述方程便可得到改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法方程的矩陣形式A1Y1A1A2UnISn1Y2A2Z2I2W2式中ISn1A1Y1US1AIS1。(1.54)式中AiYiAT和Isni實(shí)際上就是將以電流為變量的第2組支路斷開后的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣和節(jié)點(diǎn)源電