第五章 圖形變換之旋轉(zhuǎn)

1、第五章 圖形變換之旋轉(zhuǎn)技巧提煉1旋轉(zhuǎn)是中考壓軸題中常見題型,在解這類題目時,什么時候需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn),怎么構(gòu)造旋轉(zhuǎn)下面,就不同類型的旋轉(zhuǎn)問題,給出構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形的解題方法:(1)遇中點,旋180°,構(gòu)造中心對稱;(2)遇90°,旋90°,造垂直;(3)遇60°,旋60°,造等邊;(4)遇等腰,旋頂角綜上四點得出旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)特征:等線段,共頂點,就可以有旋轉(zhuǎn)2圖形旋轉(zhuǎn)后我們需要證明旋轉(zhuǎn)全等,而旋轉(zhuǎn)全等中的難點實際上是倒角下面給出旋轉(zhuǎn)常用倒角,只要是旋轉(zhuǎn),必然存在這兩個倒角之一如圖(a)所示,若AOB=COD,必有AOC=BOD,反之亦然如圖(b)所示,若

2、A=D,必有B=C (a) (b)例題精講例1 (1)如圖,邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形ABCD,圖中陰影部分的面積為( )A B C D(2)如圖,邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形ABCD,圖中陰影部分的面積為_例2 如圖所示,EF分別是正方形ABCD的邊BCDC上的點,且EAF=45°,求證:EF=BE+DF例3 如圖所示,在ABC的邊AC,AB為一邊,分別向三角形的外側(cè)作正方形ACFG和正方形ABDE,連接EC交AB于點H,連接BG交CE于點M,求證:BGCE例4如圖,在等腰ABC中,AB=AC,ABC=,在四

3、邊形BDEC中,DB=DE,BDE=2,M為CE的中點,連接AM,DM(1)在圖中畫出DEM關(guān)于點M成中心對稱的圖形;(2)求證:AMDM;(3)當(dāng)=_,AM=DM例5 已知:在ABC中,BC=a,AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD探究下列問題:(1)如圖1,當(dāng)點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時,a=b=3,且ACB=60,則CD=_;(2)如圖2,當(dāng)點D與點C位于直線AB的同側(cè)時,a=b=6,且ACB=90,則CD=_;(3)如圖3,當(dāng)ACB變化,且點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時,求CD的最大值及相應(yīng)的ACB的度數(shù)例6 已知MAN,AC平分MAN(1)在圖1中,若MAN=120°,

4、ABC=ADC=90°,AB+AD_AC(填寫“>”,“<”,“=”)(2)在圖2中,若MAN=120°,ABC+ADC=180°,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由在圖3中:若MAN=60°,ABC+ADC=180°,判斷AB+AD與AC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由若MAN=(0°<<180°),ABC+ADC=180°,則AB+AD=_AC(用含的三角函數(shù)表示,直接寫出結(jié)果,不必證明)例7 如圖1所示,O為正方形ABCD的中心,分別延長OAOD到點FE,使O

5、F=2OA,OE=2OD,連接EF將EOF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角得到E1OF1(如圖2)(1)探究AE1與BF1的數(shù)量關(guān)系,并給予證明(2)當(dāng)=30時,求證:AOE1為直角三角形例8 (1)如圖1,點E F分別是正方形ABCD的邊BCCD上的點,EAF=45,連接EF,則EFBEFD之間的數(shù)量關(guān)系是:EF=BE+FD連結(jié)BD,交AEAF于點MN,且MNBMDN滿足MN2=BM2+DN2,請證明這個等量關(guān)系;(2)在ABC中,AB=AC,點D E分別為BC邊上的兩點如圖2,當(dāng)BAC=60,DAE=30時,BDDEEC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是_;如圖3,當(dāng)BAC=,(0<<90),DAE=時,B

6、DDEEC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是_牛刀小試1如圖5-11所示,DEF是由ABC繞著某點旋轉(zhuǎn)得到的,則這點的坐標是_2如圖,已知在ABC中,AB=AC,BAC=90,點D是BC上的任意一點,探究:BD2+CD2與AD2的關(guān)系,并證明你的結(jié)論3已知:ABC是正三角形,P是三角形內(nèi)一點,PA=3,PB=4,PC=5求:APB的度數(shù)4如圖1,在平行四邊形ABCD中,AEBC于點E,E恰為BC的中點,tanB=2(1)求證:AD=AE;(2)如圖2,點P在線段BE上,作EFDP于點F,連接AF,求證:DFEF=AF;(3)請你在圖3中畫圖探究:當(dāng)P為射線EC上任意一點(P不與點E重合)時,作EFDP于點F,

7、連接AF,線段DFEF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出你的結(jié)論5請閱讀下列材料:已知:如圖1在RtABC中,BAC=90,AB=AC,點D E分別為線段BC上兩動點,若DAE=45度探究線段BDDEEC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系小明的思路是:把AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90,得到ABE,連接ED,使問題得到解決請你參考小明的思路探究并解決下列問題:(1)猜想BDDEEC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,并對你的猜想給予證明;(2)當(dāng)動點E在線段BC上,動點D運動在線段CB延長線上時,如圖2,其它條件不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請說明你的猜想并給予證明6(1)如圖1,在正方形ABCD中,E是A

8、B上一點,F是AD延長線上一點,且DF=BE求證:CE=CF;(2)如圖2,在正方形ABCD中,E是AB上一點,G是AD上一點,如果GCE=45,請你利用(1)的結(jié)論證明:GE=BE+GD(3)運用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗和知識,完成下題:如圖3,在直角梯形ABCD中,ADBC(BC>AD),B=90,AB=BC,E是AB上一點,且DCE=45,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面積7請閱讀下列材料:問題:如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,點A,B,E在同一條直線上,P是線段DF的中點,連接PG,PC.若ABC=BEF=60°,探究PG與PC的位置關(guān)系及PG

9、PC的值.小聰同學(xué)的思路是:延長GP交DC于點H,構(gòu)造全等三角形,經(jīng)過推理使問題得到解決.請你參考小聰同學(xué)的思路,探究并解決下列問題:(1)寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及PGPC的值;(2)將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn),使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上,原問題中的其他條件不變(如圖2).你在(1)中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化?寫出你的猜想并加以證明;(3)若圖1中ABC=BEF=2(0°<<90°),將菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度,原問題中的其他條件不變,請你直接寫出PGPC的值(用含的式子表示).8

10、已知:在RtABC中,AB=BC,在RtADE中,AD=DE,連接EC,取EC的中點M,連接DM和BM(1)若點D在邊AC上,點E在邊AB上且與點B不重合,如圖1,探索BMDM的關(guān)系并給予證明;(2)如果將圖1中的ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)小于45的角,如圖2,那么(1)中的結(jié)論是否仍成立?如果不成立,請舉出反例;如果成立,請給予證明9已知正方形ABCD和等腰RtBEF,BE=EF,BEF=90,按圖放置,使點F在BC上,取DF的中點G,連接EGCG(1)探索EGCG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明;(2)將圖中BEF繞B點順時針旋轉(zhuǎn)45,再連接DF,取DF中點G(如圖),問(1)中的結(jié)論是否仍然成立證

11、明你的結(jié)論;(3)將圖中BEF繞B點轉(zhuǎn)動任意角度(旋轉(zhuǎn)角在0到90之間),再連接DF,取DF的中點G(如圖),問(1)中的結(jié)論是否仍然成立,證明你的結(jié)論10在Rt ABC 中, ACB =90°, A =30°,BD 是 ABC 的角平分線, DE AB 于點 E .(1)如圖1,連接 EC ,求證: EBC 是等邊三角形;(2)點 M 是線段 CD 上的一點(不與點 C,D 重合),以 BM 為一邊,在 BM 的下方作 BMG =60°, MG 交 DE 延長線于點 G .請你在圖2中畫出完整圖形,并直接寫出 MD,DG,與,AD 之間的數(shù)量關(guān)系;(3)如圖3,

12、點 N 是線段 AD 上的一點,以 BN 為一邊,在 BN 的下方作 BNG =60°,NG 交 DE 延長線于點 G ,且MB=MG.試探究 ND,DG 與 AD 數(shù)量之間的關(guān)系,并說明理由.11請閱讀下列材料:問題:如圖1,ABC中,ACB=90,AC=BC,MN是過點A的直線,DBMN于點D,聯(lián)結(jié)CD求證:BD+AD=CD小明的思考過程如下:要證BD+AD=CD,需要將BD,AD轉(zhuǎn)化到同一條直線上,可以在MN上截取AE=BD,并聯(lián)結(jié)EC,可證ACE和BCD全等,得到CE=CD,且ACE=BCD,由此推出CDE為等腰直角三角形,可知DE=CD,于是結(jié)論得證小聰?shù)乃伎歼^程如下:要證BD+AD=CD,需要構(gòu)造以CD為腰的等腰直角三角形,可以過點C作CEC