復合函數知識總結及例題

1、復合函數問題一、復合函數定義：設y=f(u)的定義域為 A, u=g(x)的值域為B,若A二B,則y關于x函數的y=fg(x)叫做函數f與g的復合函數，u叫中間量.二、復合函數定義域問題：(1) 、已知f (x)的定義域，求fg(x)的定義域思路：設函數f (x)的定義域為D,即x D，所以f的作用范圍為 D,又f對g(x)作用，作用范圍 不變，所以g(x)D，解得x E，E為f lg(x) 1的定義域。例1.設函數f (u)的定義域為(0, 1)，貝U函數f (Inx)的定義域為 。解析：函數f (u)的定義域為(0, 1 )即u (0, 1)，所以f的作用范圍為(0, 1)又f對Inx作用

2、，作用范圍不變，所以0 ： In x ： 1解得x (1, e)，故函數f (In x)的定義域為(1, e)1例2.若函數f (X)=，則函數f f (x)】的定義域為 。X +11解析：先求f的作用范圍，由f (X)，知X = -1X +1即f的作用范圍為 R|x = ，又f對f(x)作用所以f (x) R且 f (x) - -1，即f If (x) 1中 X應>X -1X 式 一1.滿足彳即1，解得x式一1且x式一2lf(x)式1註一1iX +1故函數f l-f (X) 的定義域為Cx R|x = -1且x = -2(2) 、已知f Ig(x)】的定義域，求f (x)的定義域思路：

3、設f lg(x) 1的定義域為D,即x D，由此得g(x) E，所以f的作用范圍為E,又f對x作 用，作用范圍不變，所以x E, E為f (x)的定義域。例3.已知f (3 2x)的定義域為x e 1, 2 ,則函數f (x)的定義域為 。解析：f(3-2x)的定義域為1-1, 2，即1-1, 21,由此得3-2x 1-1, 5】所以f的作用范圍為-1, 5 1,又f對x作用，作用范圍不變，所以1-1, 512即函數f(x)的定義域為丨_1, 5 例 4.已知f(x2_4)=lgr，則函數f(x)的定義域為x 一82 2解析：先求f的作用范圍，由f(x2 4)=lgr ，知r 0x 8 x 8

4、2解得x -4 4，f的作用范圍為(4，:：)，又f對x作用，作用范圍不變，所以x (4，:：)，即f (x)的定義域為(4，:：)(3)、已知f g(x)的定義域，求f h(x)的定義域思路：設f lg(x) 1的定義域為D，即x D，由此得g(x) E，f的作用范圍為E，又f對h(x)作 用，作用范圍不變，所以 h(x) 二E，解得x F，F為f h(x) I的定義域。例5.若函數f (2x)的定義域為1-1，1，貝y f (log 2 x)的定義域為 。解析：f (2x)的定義域為1-1，11，即1-1，1 ，由此得2 1，2f的作用范圍為 -，2，又f對log2X作用，所以log2X

5、-，2，解得I .2，4丨即f (log 2 x)的定義域為I' /2， 4 I評注：函數定義域是自變量 x的取值范圍(用集合或區(qū)間表示)f對誰作用，則誰的范圍是 f的作用范圍，f的作用對象可以變，但f的作用范圍不會變。利用這種理念求此類定義域問題會有“得來全不費功夫”的感覺，值得大家探討。三、復合函數單調性問題(1) 引理證明已知函數y二f (g(x).若u二g(x)在區(qū)間(a,b )上是減函數，其值域為(c，d)，又函數y二f (u)在 區(qū)間(c,d)上是減函數，那么，原復合函數y二f(g(x)在區(qū)間(a,b )上是增函數.證明：在區(qū)間(a, b )內任取兩個數 x1, x2，使a

6、 x1 < x2 : b因為u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數，所以 g(x1) g(x2),記u g(x1), u2二g(x2)即U1u2,且 5,氏(c, d)因為函數y = f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數，所以f(uj ： f (u2),即f(g(xj) ： f(g(x2), 故函數y二f (g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數.(2) .復合函數單調性的判斷復合函數的單調性是由兩個函數共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結成一個圖表：y = f(u)增/減u =g(x)增/減增/減y = f (g(x)增/減減增/以上規(guī)律還可總結為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”(3

7、)、復合函數y二f (g(x)的單調性判斷步驟：i 確定函數的定義域；ii將復合函數分解成兩個簡單函數：y = f (u)與u = g(x)。iii分別確定分解成的兩個函數的單調性；iv 若兩個函數在對應的區(qū)間上的單調性相同(即都是增函數，或都是減函數)，則復合后的函數y = f (g(x)為增函數；若兩個函數在對應的區(qū)間上的單調性相異(即一個是增函數，而另一個是減函數)，則復合后的函數y二f (g(x)為減函數。(4 )例題演練2例1、求函數y =logj (x - 2x -3)的單調區(qū)間，并用單調定義給予證明+2解：定義域 x2 2x3 .0= x 3或x ： -1單調減區(qū)間是(3,二)設

8、X4,x2 (3,且為：x2則2 2yi =logi(Xi -2xi -3) y? Togx? -2x3)2 22 2(x1 - 2x1 -3) - 區(qū) -2x23) = (x2 - x-i )(x2 x2) x2 x13 x2 -為 0 x2 為 -202 2 1(Xi -2X1 -3)>(X2 -2X2 -3)又底數 0 :：-12 y2 - yi : 0即 y2 ： yi y在(3：)上是減函數.同理可證：y在(-：，-1)上是增函數.例2、討論函數f(x) JogaGx2 _2x -1)的單調性解由3x2-2x-1 .0得函數的定義域為、 1x I X >1,或X 

9、3; -.3則當 a .1 時，若 X 1，: u=3x2-2x-1 為增函數， f(x) JogaGx2-2x-1)為增函數.1若 x , u =3x2 -2x -1 為減函數.3 f (x) = loga(3x2 -2x-1)為減函數。1當 0 ：a <1 時，若 X 1 ,貝y f(x) =1 oagx2 2x -1)為減 函數，若 X ： -1 ,則3f (X) =1 Oagx2 -2x -1)為增函數.例3、.已知y= loga(2- ax)在0, 1 上是x的減函數，求a的取值范圍.解：a> 0 且 1當a> 1時，函數t=2- ax>0是減函數x由y= l

10、oga (2- a )在0, 1上x的減函數，知y=logat是增函數， a > 1由 :0, 1時，2- ax -2-a >0,得 av2, 1 v a v 2當0<a<1時，函數t=2- ax>0是增函數由y= loga (2- ax)在0, 1上x的減函數，知y=logat是減函數， 0<a<1.由 x :0, 1時，2- ax -2-1 >0, 0<a<1綜上述，0<a<1或1 v a v 2.例4、已知函數f (x-2) =ax2-(a-3)x a-2 ( a為負整數)的圖象經過點(m-2,0),mR，設g(x)

11、 =ff(x), F(x) =pg(x)f(x).問是否存在實數 P(P：0)使得 F(x)在區(qū)間(：,f(2)上是減函數，且在區(qū)間(f(2),0)上是減函數？并證明你的結論。解析由已知 f(m -2) =0 ,得 am2 -(a -3)m a -2 = 0 ,其中 m 三 R, a = 0.0 即 3a2 2a -9 乞 0 ,1 _2.712 7解得豈a乞.33 a為負整數，.a =1.f (x 一2) 一x= 4x _3 一(x 一2)2 1 ,即 f(x)=x2 1. g(x) =ff (x) =(_X2 1)2 1=X4 2x2 ,.F(x) = pg(x) f (x) = _px4

12、(2p -1)x21.假設存在實數p( p : 0)，使得F (x)滿足條件，設X1 ：:： X2 ,.F(X1)一 F(X2)=(X12 _x2) _P(X12 x2) 2p -1.f (2) - -3，當 X1,X2 (-=,-3)時，F (x)為減函數，.F(X1)F(X2)0，二 X12 -x O pX x2)2p 一1 0.T X1 ： ：,X2 ： -3,. x1 x2 18,p(x1 x$) 2p _1 占16p 1,.-16p -1 _0.當 X1,X2 (心0)時,F(x)增函數, F(X1)-F(X2)：0.t x? -x2 0,. - p(xf x) 2 p -1 ： -

13、16p -1, -16p -1 _0.1 1由、可知p =，故存在P =.1616一.指數函數與對數函數同底的指數函數 y=ax與對數函數 y =loga x互為反函數；(二) 主要方法：1 解決與對數函數有關的問題，要特別重視定義域；2 指數函數、對數函數的單調性決定于底數大于1還是小于1,要注意對底數的討論；3比較幾個數的大小的常用方法有：以0和1為橋梁；利用函數的單調性；作差.(三) 例題分析：2b例1 (1)若a b a 1，則logb , logba , loga b從小到大依次為 ；a(2) 若2 =3y =5，且x, y , z都是正數，則2x , 3y , 5z從小到大依次為

14、xX(3) 設x 0，且a <b <1 ( a 0 , b 0)，則a與b的大小關系是 ()(A ) b ： ： a ： 1( B ) a < b < 1( C ) 1 < b a ( D ) 1 < a bbb解：(1)由 a2 b a 1 得 一 ：a，故 logb 一 : logb a : 1 - loga b .aa(2)令 2x =3y =5t，則 t 1 ,lgtlgtx , y =lg 2lg 3lgtig5 2X_3八如一型二也38o , 2x 3y ;lg 2 lg3 lg 2 lg3同理可得：2x -5z ： 0 2x : 5z 3y ：

15、 2x : 5z . ( 3)取 x ，知選(B ).x _2例2已知函數f(x) =ax(a 1),x +1求證：(1)函數f (x)在(-1,七)上為增函數；(2)方程f(x)=O沒有負數根.證明：(1)設 _1 ： % :必,貝廿 f (片)_ f (x2) = a5"1 xi -ax - x一2x-i +1x2 +1x1_ax2 .亡一詁a捲 +1x2 +1X1X23(治-X2)(x 1)(X21)7-1: % : x2, X110,x210 , %-x2 : 0 ,3(X1 一x2)： 0 ；(X11)(X21)X1X2XX2-1 :x1 : x2，且 a 1, a : a

16、 , a -a : 0 ,- f (xj - f (x2) ： 0 ,即 f(xj ： f(x2)，函數 f (x)在(-1,：)上為增函數;(2)假設X0是方程f (x) =0的負數根，且x0 = -1，則aX0 - 亠2 = 0 ,X。+1即a*2 x°X013-(x。1) _3X01 X01當 一1 ： x0 : 0 時，0 ： X 11 ,33x3 , 12，而由a 1知a ： 1,X01X01式不成立；當 Xo ： -1 時，x0 V ： 0,<0 ,3x° 1一1 ： 一1，而 aX0式不成立.綜上所述，方程f (x0沒有負數根.例3.求證：已知函數 f

17、(x) =loga(ax -1) ( a 0且a =1).(1) 函數f (x)的圖象在y軸的一側；(2) 函數f (x)圖象上任意兩點連線的斜率都大于0 .證明：(1)由 ax -1 0 得：ax 1,當a 1時，x 0，即函數f (x)的定義域為(0, ：)，此時函數f(x)的圖象在y軸的右側； 當0 : a ：1時，x <0，即函數f (x)的定義域為(-：,0)，此時函數f (x)的圖象在y軸的左側.函數f(x)的圖象在y軸的一側；(2 )設A(x1,y1)、B(x2,y2)是函數f(x)圖象上任意兩點，且 x x2，則直線AB的斜率k =山二士X, _x28x1xa51 1y1

18、 y2 =loga(a 1)loga(a 1)=loga x ，a -1知 0 ： x x2, 1 ax : aX2, 0 ： aX1 1 ： aX2 1 ,當a .1時，由(1)c aXi-10 -aX2-1當 0 : a ：1 時，由x <1 ,X2X2二Y1y2 ： o，又 X x2： o ,二 k . 0 ；(1)知 ：x2: 0, aX1aX21 , a"1 aX2-10,1, % - y2 ： 0，又為- x2： 0 , k - 0 .函數f(x)圖象上任意兩點連線的斜率都大于0 .9同步練習(二)同步練習：21、 已知函數f(x)的定義域為°，1，求函數

19、f(x )的定義域。答案：-1,12、 已知函數f (3 " 2x)的定義域為3，求f(x)的定義域。答案：【-3，93、已知函數y =f (x 2)的定義域為(-簽°)，求f (| 2x 11)的定義域。10#答案:3°)- (1, 2)#2 + x4、設 f x = lg，則2 x-+ f - i的定義域為()I 2丿I X丿#A. -4,00,4-4,-11,4#B. -2,-11,2-4,-22,4#2 + x解：選C由°得,2 Xf(x)的定義域為x|-2卜2<?:x ： 2。故2<-L.x<2,，解得:2.#I： 4,-HJ

20、 1,4 。故(x(2 丨+ f 丨的定義域為(4,1 *(1,4 )、2 )ix 丿#1 3x5、已知函數f (x)的定義域為X，(,)，求g(x)二f(ax) - f( )(a 0)的定義域。-a131一一 cax £一,< x解析由已知，有2 22a1 x 3a一一 <<-,-<x <.2 a 2-213(1 )當a =1時，定義域為x | -一 v x <2233(2)當>-a，即0 芝 a w 1 時， 1a一 >2a 22a232a ,3a.22211定義域為x | - - x 3a；2 23 3(3 )當< 3 a，

21、即a 1時，有2a 2定義域為x | 1: x . 3 .2a 2a故當a _1時，定義域為x| 一 :；2a2a當 0 : a :：1 時，定義域為x|a : x ：2.2 2點評對于含有參數的函數，求其定義域，必須對字母進行討論，要注意思考討論字母的方法。練習二(5)同步練習：1.函數y= log1 (x2- 3X+ 2)的單調遞減區(qū)間是()2A. (a,1)B. (2,+s)3 3C. (a,)D. ( ,+a)22解析：先求函數定義域為(O, 1)U( 2,+a)，令t (x)= x2 + 3x+ 2，函數t ( 乂)在(-a, 1)上單調遞減，在(2,+a)上單調遞增，根據復合函數同

22、增異減的原則，函數y= log1 (x2 3x+ 2)在2(2 ,+a)上單調遞減.答案：B2找出下列函數的單調區(qū)間.(1) y 才2 3x 2(a 1);(2) y =2 2x 3.33答案：(1)在(-上是增函數，在,；)上是減函數。22(2)單調增區(qū)間是-1,1，減區(qū)間是1,3。3、討論 y =loga(ax -1),(a 0,且a = 0)的單調性。答案：a 1,時(0, ：)為增函數，1 a 0時，(-：,0)為增函數。4 .求函數y= log1 (x2 5x+ 4)的定義域、值域和單調區(qū)間.3解：由丄(x)= x2 5x+ 4 > 0,解得 X> 4 或 XV 1，所以

23、 x( a, 1)U( 4,+a)，當 x (a, 1) U( 4 ,+a) , 丨"=x2 5x+ 4= R+，所以函數的值域是 R+.因為函數y= log1 (x2 5x3+ 4)是由y=log1 "(x)與"(x)=x2 5x+ 4復合而成，函數y=log1 "(x)在其定義域上是單調3355遞減的，函數 j ( x)= x2 5x+ 4在( a, 一)上為減函數，在,+a上為增函數.考慮到函數2212的定義域及復合函數單調性，y= log1 (x2 5x+ 4)的增區(qū)間是定義域內使 y= log1 1 (x)為減函數、33(x) = x2 5x+

24、 4也為減函數的區(qū)間，即(一8, 1 )；y= log.| (x2 5x+ 4)的減區(qū)間是定義域內使 y= log 133(X)為減函數、 J (x)= x2 5X+ 4為增函數的區(qū)間，即(4,+).變式練習、選擇題1.函數f (x)= log1(x1)的定義域是(A. (1 , +8)B. (2, +8)C. ( 8, 2)D. (1,2解析：要保證真數大于0,還要保證偶次根式下的式子大于等于0,X1> 0log1(x1po 解得 1< XW2. .2答案：D2 .函數y= log1 (x2 3x+ 2)的單調遞減區(qū)間是(2A. ( 8,1)B. (2, +8)33C. (8,_

25、 )D. ( ，+8)22解析：先求函數定義域為( o, 1)u( 2,+8)，令t (x)= x2 + 3x+ 2，函數t (X)在( 8,1)上單調遞減，在(2, +8)上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則，函數y= log 1 (x2 3x+2)在2(2 , +8)上單調遞減.答案：B3 .若 2lg (x 2y) = lg x+ lg y，則 y 的值為()x 亠1A. 4B. 1 或41C. 1 或 4D.-414錯解：由 2 lg (x 2y)= lg x+ lg 丫，得(x 2y) 2= xy,解得 x= 4y 或 x= y,則有-=-或-=1 .x 4 y答案：選B正解：上述

26、解法忽略了真數大于0這個條件，即x2y> 0，所以x>2y.所以x= y舍掉.只有x= 4y.答案：D4.若定義在區(qū)間(一1, 0)內的函數f (x) = og 2a(x+ 1)滿足f (x) >0，則a的取值范圍為()1A. (0,)B. (0, 1)21C(一,+m)D.( 0, +m)2解析：因為x ( 1, 0),所以x+ 1( 0, 1).當f (x)> 0時，根據圖象只有 0v 2aV l，解得01V av(根據本節(jié)思維過程中第四條提到的性質).2答案：A25函數y= lg ( 1)的圖象關于()1 xA. y軸對稱B. x軸對稱C.原點對稱D.直線y= x

27、對稱21 + x1+ x1+ x解析：y= lg (1) = lg，所以為奇函數形如 y= lg 或y= lg的函數都為奇1 x1 x1 x1 x函數.答案：C二、填空題已知y= loga (2 ax)在0, 1 上是x的減函數，貝U a的取值范圍是 .解析：a>0且a* 1= " (x)= 2 ax是減函數，要使 y= loga (2 ax)是減函數，則 a> 1，又2 2 ax>0= av(0vxv 1) = av2，所以 a( 1, 2).x答案：a( 1, 2)17 .函數f (x)的圖象與g (x) = ( 1) x的圖象關于直線y= x對稱，貝y f (

28、 2x x2)的單調遞減區(qū)間3為.解析：因為f (X)與g (X)互為反函數，所以 f (x)= log1 x則 f ( 2x X2)= log1 (2X X2),令卩(X)= 2x X2> 0，解得 Ov XV 2 . 3卩(x)= 2x X2在(0, 1)上單調遞增，貝y f 卩(X)在(0,1)上單調遞減；I (X)= 2x x2在(1, 2) 上單調遞減，則f (X)在1, 2)上單調遞增.所以f (2x X2)的單調遞減區(qū)間為(0, 1).答案：(0, 1)18 已知定義域為 R的偶函數f (X)在0,+上是增函數，且 f ( - )= 0,2則不等式f (iog4X)> 0的解集是.解析：因為f (X)是偶函數，所以f ( - )= f (1 )= 0又f (X)在】0,+上是增函數，所2 2 1 1以 f (乂)在(g, 0)上是減函數.所以 f (iog4X)> 0=- iog4X> 或 Iog4xv .2 21解得X> 2或0v XV21答案：x> 2或0v xv -2三、解答題9 .求函數y= log1 (x2 5x+ 4)的定義域、值域和單調區(qū)間.3解：由(x)= X2 5X+ 4&