高考專題：解析幾何常規(guī)題型及方法

1、高考專題解析幾何常規(guī)題型及方法一、高考風(fēng)向分析：高考解析幾何試題一般共有 3-4題1-2個(gè)選擇題 , 0-1個(gè)填空題 , 1個(gè)解答題, 共計(jì) 20 多分, 考查的知識點(diǎn)約為 20個(gè)左右，其命題一般緊扣課本 , 突出重點(diǎn) , 全面考查。選擇題和 填空題考查直線 , 圓, 圓錐曲線中的根底知識，大多概念性較強(qiáng)，小巧靈活，思維多于計(jì) 算；而解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識點(diǎn)及其綜合運(yùn)用,重在考察直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡方程，以向量為載體，立意新穎，要求學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)代數(shù)、三角、 幾何的知識分析問題，解決問題。二、本章節(jié)處理方法建議：縱觀歷年全國各省市文、理高考試卷，普遍有一個(gè)規(guī)律：占解幾分

2、值接近一半的填空、選擇題難度不大，中等及偏上的學(xué)生能將對應(yīng)分?jǐn)?shù)收入囊中；而占解幾分值一 半偏上的解答題得分很不理想，其原因主要表達(dá)在以下幾個(gè)方面：1解析幾何是代數(shù)與幾何的完美結(jié)合，解析幾何的問題可以涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何、數(shù)列、向 量等知識，形成了軌跡、最值、對稱、范圍、參系數(shù)等多種問題，因而成為高中數(shù)學(xué)綜合 能力要求最高的內(nèi)容之一 2解析幾何的計(jì)算量相對偏大 3在大家的“拿可拿之分的理念下，大題的前三道成了兵家必爭之地，而排放位置比擬為難的第21 題或 22題有 時(shí) 20 題就成了很多人遺忘的角落，加之時(shí)間的限制，此題留白的現(xiàn)象比擬普遍鑒于解幾的特點(diǎn)，建議在復(fù)習(xí)中做好以下幾個(gè)方面

3、 1由于高考中解幾內(nèi)容彈性很 大。有容易題，有中難題。因此在復(fù)習(xí)中基調(diào)為狠抓根底。不能因?yàn)楦呖贾械慕鈳捉獯痤} 較難，就拼命地去搞難題，套新題，這樣往往得不償失；端正心態(tài)：不指望將所有的題攻 下，將時(shí)間用在穩(wěn)固根底、對付“跳一跳便可夠得到的常規(guī)題上，這樣復(fù)習(xí)，高考時(shí)就 能保證首先將選擇、填空題拿下，然后對于大題的第一個(gè)小問爭取得分，第二小題能拿幾 分算幾分。三、高考核心考點(diǎn)1、準(zhǔn)確理解根本概念如直線的傾斜角、斜率、距離、截距等2、熟練掌握根本公式如兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式、定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式、到角公式、夾角公式等3、熟練掌握求直線方程的方法如根據(jù)條件靈活選用各種形式、討論斜率

4、存在和不存在的各種情況、截距是否為 0 等等4、在解決直線與圓的位置關(guān)系問題中，要善于運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)以減少運(yùn)算5、了解線性規(guī)劃的意義及簡單應(yīng)用 6、熟悉圓錐曲線中根本量的計(jì)算7、掌握與圓錐曲線有關(guān)的軌跡方程的求解方法如：定義法、直接法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、幾何法、待定系數(shù)法等8、掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的常見判定方法，能應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決一些常見問題四、常規(guī)題型及解題的技巧方法A:常規(guī)題型方面1中點(diǎn)弦問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法點(diǎn)差法：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為xi,yi，x2,y2，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個(gè)參數(shù)。2典型例題 給定雙

5、曲線X2 -1。過A2，1的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) Pi及P2，求2線段P1 P2的中點(diǎn)P的軌跡方程。2 分析：設(shè)只區(qū)川，F(xiàn)2X2,y2代入方程得x；號 1， x；兩式相減得1X1 X2X1 X2y1 y2y1 y?0。2又設(shè)中點(diǎn)Fx,y，將X1 X2 2x， y1 y 2y代入，當(dāng)X1 X2時(shí)得2x 職0。2X1 X2又k丄上rJ,x1 x2 x 2代入得 2x2 y2 4x y 0。當(dāng)弦RP2斜率不存在時(shí)，其中點(diǎn)P (2, 0)的坐標(biāo)也滿足上述方程。因此所求軌跡方程是2x2 y2 4x y 0說明：此題要注意思維的嚴(yán)密性，必須單獨(dú)考慮斜率不存在時(shí)的情況。變式練習(xí):給定雙曲線2x2 - y2

6、= 2，過點(diǎn)B(1,1能否作直線L,使L與所給雙曲線交于兩點(diǎn)Qi、Q2兩 點(diǎn)，且點(diǎn)B是線段Q1Q2的中點(diǎn)？如果直線L存在，求出它的方程 如果不存在，說明理由(2) 焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn) P,與兩個(gè)焦點(diǎn)Fi、F2構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭 橋。典型例題2 2設(shè)P(x,y)為橢圓篤2a b1 上任一點(diǎn)，F(xiàn)i( c,0)， F2 (c,0)為焦點(diǎn)，PFiF2，PF2 F1(1)求證離心率esin( )； sin sin '(2)求|PF PF2I3的最值分析：(1)設(shè) |PFj 幾，PF?2，由正弦定理得risinsin2csin( )得sinsin2csin( )(2

7、) (a ex)3 (a ex)3 2a3 6ae2x2。當(dāng)x 0時(shí)，最小值是2a3;當(dāng)x a時(shí)，最大值是2a3 6e2a3變式練習(xí)：2設(shè)F1、F2分別是雙曲線 務(wù)a2爲(wèi) 1 (a>0,b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一b22點(diǎn)，假設(shè)/ P=°求證：Ab COt2(3) 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的根本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的方法典型例題 拋物線方程y2 p(x 1) (p 0)，直線x y t與x軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。(1)求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)(2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為

8、 A、B，且OA丄OB，求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式(1)證明：拋物線的準(zhǔn)線為-1： x1-4由直線x+y=t與x軸的交點(diǎn)(t, 0)在準(zhǔn)線右邊，得t 1 E，而4t p 4 04故直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)。(2)解：設(shè)點(diǎn) A(xi, yi),點(diǎn) B(X2, y2)變式練習(xí)：直線y=ax+1與雙曲線3x2y2=1交于兩點(diǎn)A、B兩點(diǎn)(1) 假設(shè) A、B都位于雙曲線的左支上，求 a的取值范圍(2) 當(dāng)a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？(4) 圓錐曲線的有關(guān)最值(范圍)問題圓錐曲線中的有關(guān)最值(范圍)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<1>假設(shè)命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，

9、一般可用圖形性質(zhì)來解決。<2>假設(shè)命題的條件和結(jié)論表達(dá)明確的函數(shù)關(guān)系式，貝冋建立目標(biāo)函數(shù)(通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式)求最值。典型例題拋物線y2=2px(p>0)，過M (a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB| < 2p(1)求a的取值范圍；(2)假設(shè)線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求 NAB面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對于(1),可以設(shè)法得到關(guān)于 a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式。或者將a表示為另一 個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出 a的范圍；對于(2)首先要把厶N(yùn)AB

10、的面積表示 為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值，即：“最值問題，函數(shù)思想。解：直線L的方程為：y=x-a將y=x-a代入拋物線方程y2=2px，得：設(shè)直線L與拋物線兩24(a p) 4a 0交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(Xi,yi),B(X2,y2)，貝U x!x?2(a p),又 yi=Xi-a,%=X2-a,2X1X2a解得：pap24y3(Xi a) (X2 a)2設(shè)AB的垂直平分線交AB與點(diǎn)Q，令其坐標(biāo)為(X3,y3)，那么由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:Xi X2X3a p ,2所以 |QM| 2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又 MNQ 為等腰直角三角形，所以 |QM|=|QN|= 2P，所以

11、 Sanab= 11 AB | | QN |2 p | AB | p 2 p . 2p2 ,即厶 NAB 面積的最大值為2 2 22P2。變式練習(xí)：2 2雙曲線務(wù)占1 (a>0,b>0)的兩條準(zhǔn)線間的距離為3,右焦點(diǎn)到直線X+y-仁0的距離a b2(1) 求雙曲線的方程(2) 設(shè)直線 y=kx+m(k 0且 m 0)與雙曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)C、D，假設(shè) A(0,-1)且AC = AD，求實(shí)數(shù)m的取值范圍(5) 求曲線的方程問題1 曲線的形狀這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題直線L過原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。假設(shè)點(diǎn)A (-1, 0) 和點(diǎn)B (0, 8)關(guān)

12、于L的對稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。分析：曲線的形狀，可以用待定系數(shù)法。設(shè)出它們的方程，L: y=kx(k工0),C：5<=2px(p>0)設(shè)A、B關(guān)于L的對稱點(diǎn)分別為A、B/，那么利用對稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為：2 2A (奔)，B (輕,進(jìn)婁)。因?yàn)锳、B均在拋物線上，代入，消去k 1 k 1k 1 k 1p，得：k2-k-1=0.解得：k= 15 ,p=.5所以直線L的方程為：y=15 x,拋物線C的方程為y2= 口 x.5變式練習(xí):1在面積為1的厶PMN中，tanM二,tanN=-2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以 M、N為焦點(diǎn)且2過點(diǎn)P的橢圓方程。2 曲線的形狀未

13、知-求軌跡方程典型例題直角坐標(biāo)平面上點(diǎn) Q (2, 0)和圓C: x 23x +2y =2交于不同的兩點(diǎn)。(1)求直線AB的斜率k的取值范圍(2)設(shè)直線AB與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，求CD中點(diǎn)M的軌跡方程+y2=1,動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)(>0)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。/分析：如圖，設(shè)MN切圓C于點(diǎn)N，那么動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面幾何知識可知：|MN| 2=|MO| 2-|ON| 2=|MO| 2-1，將 M 點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得：(2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4 2)=0.當(dāng)=1時(shí)它表示一條直線；當(dāng)工1時(shí)，它表示圓

14、。這種方法叫做直接法。變式練習(xí)：2過拋物線y =4x的焦點(diǎn)F作斜率為k的弦AB，且AB < 8,此外，直線 AB和橢圓(6) 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱冋題，可以按如下方式分二步解決：求兩點(diǎn)所在的直線， 求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。(當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式 來解決)2 2典型例題橢圓C的方程1，試確定m的取值范圍，使得對于直線43y 4x m，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱。分析：橢圓上兩點(diǎn)(xyj，區(qū)亠)，代入方程，相減得3(xi X2)(Xi X2)4(yi y2)(yi y?)0。XiX2yiyXiX2-，代入得y 3x4y 3x又

15、由，解得交點(diǎn)(m, 3m)y 4x m交點(diǎn)在橢圓內(nèi)，那么有(m)24(3m)232、i3i32. i3i3變式練習(xí):為了使拋物線(y i)2x i上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ymx對稱，求m的取值范圍(7) 兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用ki k2 XYii來處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)X2算來處理典型例題直線I的斜率為k，且過點(diǎn)P 2,0，拋物線C:y2 4x 1，直線I與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)如圖。1求k的取值范圍;2直線I的傾斜角為何值時(shí)，A、B與 拋物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直。分析:1直線yk(x2代入拋物線方程得k2x2(4k24)x4k24 0，由0，得 1 k1(k0)。/ 2)

16、1由上'方程早彳得x1x24k242由土面方程得k2，ymk2(X12)(x22)4，焦點(diǎn)為00,0.2kOByi y2k727X1X2k 11，得k 2arcta n2變式練習(xí):經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線I與橢圓(x 3)262亍1相交于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)以AB為直徑的圓恰好通過橢圓左焦點(diǎn)F,求直線I的傾斜角B:解題的技巧方面在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計(jì)算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求的策略，往往能夠減少計(jì)算量。下面舉例說明：1充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時(shí)，除了運(yùn)用代 數(shù)方程外

17、，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計(jì)算量。典型例題 設(shè)直線3x 4y m 0與圓x2 y2 x 2y 0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原 點(diǎn)，假設(shè)OP OQ，求m的值。解： 圓x2 y2 x 2y 0過原點(diǎn)，并且OP OQ，1PQ是圓的直徑，圓心的坐標(biāo)為 M 寸，11 ,又 M ， 1在直線 3x 4y m 0上,3 -41 m 0， m -即為所求。2 2評注：此題假設(shè)不充分利用一系列幾何條件：該圓過原點(diǎn)并且OP OQ，PQ是圓的直徑，圓心在直線3x 4y m 0上，而是設(shè)Px1，y1、Qx2，y2再由OP OQ和韋達(dá)定理 求m，將會增大運(yùn)算量。變式練習(xí)：點(diǎn)P5, 0和圓O:

18、x2 y2 16，過P作直線I與圓0交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程。評注：此題假設(shè)不能挖掘利用幾何條件OMP 90，點(diǎn)M是在以0P為直徑的圓周上,而利用參數(shù)方程等方法，計(jì)算量將很大，并且比擬麻煩。二. 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、 中點(diǎn)等問題中常常用到。典型例題 中心在原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線y x 1相交于P、Q兩點(diǎn),且 OP 0Q，|PQ|2，求此橢圓方程。解：設(shè)橢圓方程為 ax2 by21(a b 0)，直線y x 1與橢圓相交于 P，yj、Q(x2， y2)兩點(diǎn)。由方程組y x 12 2

19、ax by1消去y后得由 koP koQ1，得 y1 y2x1x2 1又P、Q在直線y x 1 上,把1代入，得 2x1x2 x1 x2 1 0，即 2Ja b2b化簡后，得4由|PQ|于，得Xi2 2X2)(yi y2)1把代入，得4b2 8b 3。，解得b 或b3 1代入4后，解得a 或a 2由a b 0，得a I，b 23 22所求橢圓方程為竺、i2 2評注：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求的策略，簡化了計(jì)算變式練習(xí):2 2M為AB中點(diǎn),假設(shè)雙曲線方程為篤爲(wèi)1，AB為不平行于對稱軸且不過原點(diǎn)的弦, a b設(shè)AB、OM的斜率分別為kAB、koM，那么kAB kOM三. 充分利用曲線系方程

20、利用曲線系方程可以防止求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題求經(jīng)過兩圓C2:x2y24x 2y0和C2:x2y22y 40的交點(diǎn)，且圓心在直線I : 2x 4y 10上的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為：即(1)x2 (1 )y2 4x 2(1 )y 40，2 1其圓心為C,1 12 11又C在直線I上， 2 4 10，解得 -,代入所設(shè)圓的方程得113x2 y2 3x y 10 為所求。評注：此題因利用曲線系方程而防止求曲線的交點(diǎn)，故簡化了計(jì)算。變式練習(xí)：某直線I過直線Lt 4 x-3 y-12=0和L2： 7x-y+28=0的交點(diǎn)，且傾斜角為直線 L1的傾斜角的一半，求此直線I的方程四、

21、充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題這也是我們常說的三角代換法。2 2典型例題P為橢圓務(wù) 吿1上一動(dòng)點(diǎn)，A為長軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，求四a b邊形OAPB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。變式練習(xí)：Px，y是橢圓x2+ 4y2=1上任一點(diǎn)，試求P到直線x + y - 2 = 0的最小值及此時(shí)P的坐標(biāo)。五、線段長的幾種簡便計(jì)算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程般地，求直線與圓錐曲線相交的弦 AB長的方法是：把直線方程y kx b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax2 bx c 0的方程，方程的兩根設(shè)為 xa，Xb，判別式為，那么|

22、AB| 1 k2 |xa xb| 1 k2仝，假設(shè)直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算過程。|a|例 求直線x y 1 0被橢圓x2 4y2 16所截得的線段AB的長。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長時(shí)，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。2 2例F1、F2是橢圓-1的兩個(gè)焦點(diǎn)，AB是經(jīng)過F1的弦，假設(shè)|AB| 8，求值259IF2AI IF2BI 利用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例 點(diǎn)A 3，2為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y2 4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y2 4x上移 動(dòng)，假設(shè)|PA| |PF|取得最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

23、五、高考試題選編1. 過拋物線y2 6x的焦點(diǎn)F，作弦AB X軸于A、B兩點(diǎn)，那么弦長AB等于A. 6B. 18032D. 362 22. 假設(shè)直線y kx 1與焦點(diǎn)在X軸上的橢圓y 1總有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是5 mA. (0, 5)B. (1, 5)C. 1, 5)D. 1, 53. 直線y x 1被橢圓3x2 4y212所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是A.(3B. (- , 口)77C. (7，1774.過點(diǎn)A1, 5引拋物線y2才的一條弦'使該弦被A點(diǎn)平分，那么該弦所在直線方程為A. 4x 2y 10B.x 2y 40C. 4x 2y 90D.x 2y 605.設(shè) x， y R 且 3x24y212，那么 x2y2的最大值與最小值分別是A. 2，v3B. 4，243C. 4 3D. 8 66. P是拋物線y2 x上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，那么點(diǎn)P到F與P到A 3，1的距離之和的最小值是A. 3B.13C. 4D427.圓C :(x a)2(x2)24(a0及直線l : xy 3f-0.當(dāng)直線l被C截得的弦長為2人時(shí)，那么a=A .2B.22C.2 1D .2 18. 03全國雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)FC、7,0,直線y x 1與其相交于M、N兩2點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 -,那么此雙曲線的方程是3A.2 X2y12B. X2y 1