向量與三角形四心的關(guān)系

1、三角形中的“四心”的向量表示安徽省合肥168中學盧業(yè)照向量既反映數(shù)量關(guān)系，又體現(xiàn)位置關(guān)系，從而能數(shù)形結(jié)合地用代數(shù) 方法來研究幾何問題，即把幾何代數(shù)化，從而用代數(shù)運算解幾何問題。 作為處理幾何問題的一種工具，向量方法兼有幾何的直觀性，表述的簡 潔性和方法的一般性。使用向量的第一步，是要在圖中指定基向量（基底），這組基底一 般是線性無關(guān)的。一旦確定了基向量，在整個問題的解決過程中，以此 為依據(jù)而進行計算。在確定點的位置時，經(jīng)常用向量的線性關(guān)系（這是 向量的重要性質(zhì)，貫穿在整個向量法中）來解決 ；在處理垂直關(guān)系，長 度關(guān)系及交角等問題時，一般用向量的數(shù)量積來解決。一、線共點問題。解決線共點問題轉(zhuǎn)化為

2、向量共線問題來解決。=例1、用向量法求證： ABC勺三條高共點.分析：得BC與AC邊上的高AD與BE交于H,連接CH只要證明 CHL AB即可。因此，關(guān)鍵是選好基向量.*Fl m n0由此得l n m nm n l0即 n m l 0.CH 丄 AB，同理，AH BC得證。由AD丄BC，BE丄AC得設(shè) HA l ， HB m ， HC n ，貝U類似方法，還可以證明：（1）三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點。（2）三角形的三條中線交與一點。二、三角形的四心 重心、垂心、外心、內(nèi)心的向量表示例2、已知0是厶ABC所在平面內(nèi)一點，若OB OC OA，則點0是 ABC的重心。分析：利用Ob Oc Oa及

3、加法的平行四邊形法則可證。拓展：若OP OA AB AC，入 （0，+X），則點P的的軌跡 一定是 ABC勺心。（重心）例 3、已知 O是 ABC所在平面內(nèi)一點，若OA OB =OB OC =OC OA，則點 O是厶 ABC的垂心。分析：Oa Ob =Ob Oc 得 Ob AC =o,.oblac同理OA丄BC，OC丄AB可證。拓展1 :已知 0是 ABC平面上一定點，若OP=OA +入ABACAC cosC,入( 0 , +s),則動點P的軌跡一定通過厶ABC的分析：AP = XABAB cosBACAC cosC由于BC ABACAB cosB AC cosCOA岡阿網(wǎng)岡分析：oa2岡2

4、ob2岡AB 200=0, 即卩 AB 0C =0,二 AB 丄 0C2 2 2 2 2得 OA OB CA CB即 0A = -a-bAB cAC c又 c |AB, b |AC故 A0bc AB AC由ACAC分別是與AB ,AC同向的單位向量e和e2 ,則 AP丄BC，二動點P一定過 ABC的垂心。拓展2 :點0是 ABC所在平面內(nèi)一點，滿足 2AB，則點0是厶ABC的心。同理可證：AC丄0B , BC丄0A，故0為垂心。【例4】已知0是厶ABC所在平面上一點，若 a b、c是角A B C的 所對邊的邊長，且a0A b0B c0C 0，貝U 0是厶ABC的心。分析：聯(lián)系重心向量式的證明方

5、式，取AB、AC為基向量，貝UAB =0B 0A , AC =0C 0A，故 0B =0A + AB , 0C =0A+AC，將 其代入 a0A b0B c0C 0 中得到(a+b+c) 0A +b AB +c AC = 0 ,(e, + d )/ A0，故A0平分/ BAC同量，B0平分/ ABC C0平分/ ACB故0是厶ABC的內(nèi)心。點評：從向量角度給出厶ABC中，/ BAC的角平分線的表達式,即：0A平分/ BACAB AO = AC AO網(wǎng) ACC拓展：點 O是厶ABC平面上一定點，動點P滿足OP =0A +入ABABACAC入 0 , + , J則P的軌跡一定通過厶ABC的分析：由

6、AP = XAB ACAB AC知AP / AO，其中AO平分/ BAC 2OBOC2，故P點的軌跡一定通過 ABC的內(nèi)心?！纠?】已知點0是厶ABC所在平面上一點，若OA?則點O是厶ABC的心。分析：由已知|oa |ob |oc|知是外心.三、三角形“四心”的統(tǒng)一表達式定理：如圖，點M是 ABC所在平面內(nèi)任一點，總有S MBC MA S mac MB S MAB MC °.特別地，當點M是重心G時，有GA GB GC 0. 當點 M是垂心H時，有tan AHA tan BHB tan CHC 0. 當點 M是外心 O時，有 sin2AOA sin2BOB sin 2COC 0. 當

7、點M是內(nèi)心I時,有aIA bIB cIC 0.AT1Rt CQA,MPMD北S3AE，即CQCASAC同理，S2ADI ISABS2S3 AMABAC .SSI，下面證明這個定理：設(shè)S1,S2,S3,S分別表示 MBC, MAC, MAB, ABC的面積，貝U 有平面向量的平行四邊形法則知，AM AD AE AB AC,作 MP AB,CQ AB,垂足分別是 P,Q, MD /AC, Rt MPD sS2SCB .同理， BM BA 魚 BC,CM S1CAS SSS, AM S2BM Q CM 0.易證：當點 M是重心G時，S, ：S2 ： S31:1:1. 當點 M是垂心 H 時，S, ：

8、 S2 ： S3 tan A ： tan B ： tan C- 當點 M是外心 O時，S, ： S2 ： S3 sin2A：sin2B：sin 2C- 當點M是內(nèi)心I時，S, ： S2 ： S3 a ： b： c-故定理得證.四、三角形“四心”的綜合問題例6、已知點O是厶ABC所在平面內(nèi)一定點，且OA+OB +OC = O， 當點P在何位置時，AP2 BP2 CP2的值最小。分析：AP2 BP2 CP2 = 3OP2 OA2 OB2 OC2 2OP OA OB OC =3OP2 OA2 OB2 OC2 ,故當點P是厶ABC的重心O時，所求值最小。例7.已知0為仏ABC的外心，H為垂心，求證：O

9、H OA OB OC. 分析：如圖，作直徑 BD , 連 DA、 DC , 有 OB OD,DA AB, DC BC, AH BC,CH AB,CH / DA, AH / DC,知四邊形AHCD為平行四邊形.AH DC,又 DC OC OD OC OB,得 OH OA AH OA DC, OH OA OB OC.拓展：1.求證： ABC的外心O,垂心H,重心G三點共線，且OG:GH=1:2.B分析：有上題知 OH OA OB OC,及OG -(OA OB OC),3OG 丄OH 丄(OG GH ), OG -GH ,故得證.332拓展2.已知 ABC不是直角三角形，點 OABC的外心，H ABC 的垂心. ABC滿足什么條件，有 AH=OA.分析：由于 AH=OA則 AH=OA=R OH OA OB OC,故 | OB OC | R,R2 OB 2OB?OC OC 2R2 2R2cos OC,OB 2R2 2R2cos2A,當A是銳角時，<OB,OC>=2A,當A為鈍角時，OC,OB 2( A),1 2cos2A ,又 0 2A 2 , A 或2 332上面每一步可以逆推，A 或,AH OA.3 3以上從三角形“四心”方面體現(xiàn)了向量與幾何的密切聯(lián)系，即向量概念引入后，全等、平行(平移)、相似