平面上兩直線的夾角求法解析

1、平面上兩直線的夾角求法解析一、內(nèi)容概述 在2004年審定的人教A和B版教材中，平面兩條直線的夾角概念與相應(yīng)問(wèn)題沒(méi)有涉及到但是，該問(wèn)題完全可以作為三角恒等式中兩角差的正切公式：，平面向量中直線法向量夾角的余弦及直線方向向量夾角的余弦的應(yīng)用來(lái)進(jìn)行考查 二、基本概念 平面上直線方程的兩種常用表示：直線的點(diǎn)斜式方程：；直線的一般式方程：不全為 平面上兩條相交直線夾角的概念：平面上兩條相交直線，所成四個(gè)角中的最小角，叫做兩條直線的夾角 平面上兩條直線所成角的范圍：如果兩條直線平行或重合，規(guī)定它們所成的角為；如果兩條直線垂直，規(guī)定它們的夾角為；如果兩條直線

2、相交且互不垂直，則兩直線的夾角范圍為 平面上直線的方向向量：基線與平面上一條直線平行或重合的向量，叫做直線的方向向量；直線點(diǎn)斜式方程的一個(gè)方向向量為 平面上直線的法向量：基線與平面上一直線垂直的向量，叫做直線的法向量；直線的一般式方程不全為的一個(gè)法向量為 三、理論推導(dǎo) 1.已知傾斜角，根據(jù)兩角差的正切公式求兩直線夾角. 證明：如下圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為假設(shè)為直線，所成的一角，顯然，則，由公式得：又因?yàn)槠矫嫔蟽蓷l相交且互不垂直的直線夾角范圍是，所以從而得：即，平面上直線與直線的夾角2.已知直線的一般式方程，運(yùn)用

3、直線法向量夾角余弦求平面上兩直線夾角.     證明：如下圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的一般式方程為，一法向量；直線的一般式方程為，一法向量假設(shè)為直線，所成的一角，顯然（左圖）或（右圖）由法向量夾角的余弦得：又因?yàn)槠矫嫔蟽蓷l相交且互不垂直的直線夾角范圍是，所以從而得：即，平面上直線與直線的夾角 3.已知直線的點(diǎn)斜式方程，利用直線方向向量夾角余弦求平面上兩直線夾角. 證明：如下圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的點(diǎn)斜式方程為，一方向向量；直線的點(diǎn)斜式方程為，一方向向量  假設(shè)為直線，所成的角，顯然（左圖）

4、或（右圖），由方向向量夾角的余弦得：又因?yàn)槠矫嫔蟽蓷l相交且互不垂直的直線夾角范圍是，所以從而得：即，平面上直線與直線的夾角 注意：可以求出直線一般式方程的某個(gè)方向向量，也可以求出直線點(diǎn)斜式方程的某個(gè)法向量但是，無(wú)論利用哪一種方法，都必須謹(jǐn)記平面上兩直線所成角與兩直線夾角的區(qū)別：兩直線夾角的范圍是，即的三角函數(shù)值一定是非負(fù)的 四、例題解析 對(duì)于有關(guān)平面上兩直線的夾角問(wèn)題，理論簡(jiǎn)單，方法也易于掌握，該部分難點(diǎn)是如何根據(jù)題意選取恰當(dāng)?shù)睦碚摵头椒▉?lái)解決問(wèn)題下面結(jié)合具體實(shí)例談?wù)勄蠼夥椒ㄊ侨绾芜x擇的 例1已知直線，的斜率是二次方程的根，試求直線與的夾角 解

5、析：設(shè)直線，的斜率分別為，解二次方程得，將代入公式得，所以直線與的夾角 點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合二次方程求解問(wèn)題考查第一種方法的運(yùn)用，解決此類問(wèn)題的時(shí)候，要理解直線傾斜角與直線斜率的關(guān)系，并能準(zhǔn)確選擇求直線夾角的方法 例2求直線與直線的夾角 解析：題目中的直線方程是一般式形式且互不垂直，因此我們選擇法向量求夾角的方法直線一法向量；直線一法向量將代入公式得，所以直線與的夾角 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)公式的選擇及熟練程度，也可以嘗試?yán)梅较蛳蛄壳蠼?，鼓?lì)一題多解 例3光線沿直線照射到直線上后反射，求反射光線線所在直線的方程 解析：聯(lián)立得反射點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意知直線過(guò)該點(diǎn)，則設(shè)的方程為（其中為直線的法向量，不同時(shí)為零） 由物理學(xué)中的反射原理可知：直線與直線的夾角等于直線與直線的夾角，即：，解得或(舍去，否則與重合)所以，直線的方程為 點(diǎn)評(píng)：本題首先應(yīng)思考將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求過(guò)定點(diǎn)，且與所給直線夾角已知的直線方程；其次，在求直線方程時(shí),往往采