函數(shù)極限存在的條件

1、3 函數(shù)極限存在的條件教學目的：通過本次課的學習，使學生掌握函數(shù)極限的歸結原則和柯西準則并能加以應用解決函數(shù)極限的相關問題。教學方式：講授。教學過程：我們首先介紹這種函數(shù)極限的歸結原則（也稱Heine定理）。 定理3.8（歸結原則）。存在的充要條件是：對任何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且等于。證：必要性 由于，則對任給的，存在正數(shù)，使得當時，有。另一方面，設數(shù)列且以為極限，則對上述的，存在，當時有，從而有。這就證明了。充分性 設對任何數(shù)列且以為極限，有?，F(xiàn)用反證法推出。事實上，倘若當時不以為極限，則存在某，對任何（無論多么?。?，總存在一點，盡管，但有?，F(xiàn)依次取，則存在相應的點，使得 ，而顯

2、然數(shù)列且以為極限，但當時不趨于。這與假設相矛盾，故必有。注：（1）歸結原則可簡述為： 對任何且都有。（2）歸結原則也是證明函數(shù)極限不存在的有用工具之一：若可找到一個以為極限的數(shù)列，使不存在，或找到兩個都以為極限的數(shù)列，使得，都存在而不相等，則不存在。 （3）對于這幾種類型的函數(shù)極限的歸結原則，有類似的結論。（讓學生課堂練習，教師加以評正。）例1設，證明極限不存在。證：設，則顯然有，但。故由歸結原則即得結論。對于這幾種類型的函數(shù)極限，除有類似于定理3.8的歸結原則外，還可以表述為更強的形式。定理 3.9 設函數(shù)在內(nèi)有定義。的充要條件是：對任何含于且以為極限的遞減數(shù)列，極限都存在且等于。證：仿照定

3、理3.8的證明，但在運用反證法證明充分性時，對的取法要適當?shù)男薷摹Ｏ鄳跀?shù)列極限的單調(diào)有界定理，關于函數(shù)的單側極限也有相應的定理。現(xiàn)以這種類型為例闡述如下：定理 3.10 設函數(shù)是定義在上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限存在。證：具體證明見教材。主要應用確界原理，確界的定義和單側極限的定義加以證明。最后，我們敘述并證明關于函數(shù)極限的柯西準則。定理3.11 設函數(shù)是定義在內(nèi)有定義，存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對任何有。證明：必要性 設，則對任給，存在正數(shù)，使得對任何有。于是對任何有。充分性 設數(shù)列且以為極限。按假設，對任給的，存在正數(shù)，使得對任何有。由于，對上述的，存在，當時有，從而有 。于是，按數(shù)列的柯西收斂準則，數(shù)列的極限存在，記為 ，即。設另一數(shù)列且，則如上所證，存在，記為?，F(xiàn)證明，為此，考慮數(shù)列易見且。故如上所證，也收斂。于是，作為的兩個子列，必有相同的極限，故由歸結原則推得注：（1）對于這幾種類型的函數(shù)極限的柯西準則，有類似的結論。（讓學生課堂練習，教師加以評正。） （2）對于這幾種類型的函數(shù)