矩陣形式的經(jīng)典力學(xué)方程

1、矩陣形式的經(jīng)典力學(xué)方程 盧新平 （閩江學(xué)院物理學(xué)與電子信息工程系，福建 福州 350108 ）摘 要：本文探討矩陣在力學(xué)中的運用，給出矩陣形式的經(jīng)典力學(xué)方程：A|F> = A|>，該方程形式簡單，計算方便，用途廣泛。 關(guān)鍵詞：矩陣；位形空間；廣義坐標。 中圖分類號：O316 文獻標識碼：A 文章編號： Classical Mechanics Equation via the Matrix Lu Xinping( Physics and Electronics Information Engineering Department of Minjiang University, Fuz

2、hou Fujian 350108 ) Abstract：In this paper, we develop a new classical mechanics equation via the matrix：A|F> = A|>. The results showed that this equation is simple , convenient and useful .Key Words：Matrix ; Configuration space ; Generalized coordinate .物理學(xué)是優(yōu)美的，它的美表現(xiàn)在基本物理規(guī)律的簡潔性和普適性。然而，物理學(xué)的簡潔性

3、是隱蔽的，它具有深奧而含蓄的內(nèi)在美。不懂得它的語言，是很難領(lǐng)會到的。用矩陣語言表述力學(xué)方程，不僅在形式上具有極大的簡潔性，而且計算方便。當前科學(xué)計算中，幾乎無處不用矩陣運算。MATLAB （“矩陣實驗室”的縮寫）是集數(shù)值計算、符號運算以及圖形處理等強大功能于一體的優(yōu)秀的計算機計算軟件，它是以矩陣運算為基礎(chǔ)的交互式程序語言。在MATLAB中，每一個變量代表一個矩陣；所有的運算都對矩陣有效，包括加減乘除和函數(shù)運算，而且只要鍵入算式，立即就得到結(jié)果，頗為方便?；谏鲜隹紤]，本文研究矩陣在經(jīng)典力學(xué)中的運用，試圖探討與欣賞理想約束系統(tǒng)運動方程的簡潔之美。1. 矩陣符號約定當某一矢量用慣性參考系中的直角坐

4、標基矢i1 、i2 、 展開時，可以省略基矢符號，記為左矢行矩陣< |形式，也可以記為右矢列矩陣| >形式；當空格中符號相同時，它們是互為轉(zhuǎn)置矩陣。投影方向矢記為 ( | ；左乘投影矩陣記為 | 。我們采用計算機軟件MATLAB語言：矩陣的值寫在方括號內(nèi)，n行m列矩陣的所有元素也可在一個方括號內(nèi)一字排開，同一行各元素之間用逗號分開，不同的行則以分號隔開。例如，三維空間中質(zhì)點位形矢可表為<x| = x 1, x 2 , x 2 或： | x> = x 1, x 2 , x 2T = x 1；x 2 ；x 32. 矩陣形式的動力學(xué)方程2.1. 質(zhì)點和質(zhì)點系動力學(xué)方程在慣性系

5、中質(zhì)點系和質(zhì)點（視為N1的質(zhì)點系）矢量式動力學(xué)方程為: 收稿日期：20050723基金項目：閩江學(xué)院力學(xué)教改與力學(xué)精品課程建設(shè)資助。作者簡介：盧新平（1950），男，福建閩侯人，閩江學(xué)院物理學(xué)與電子信息工程系副教授。|P>=|> = |F> +|R> ( 1 )式中：|F>=F1 ；F3 N 為主動力，|R>為約束力；|P>= p1 ；p3 N 為質(zhì)點系的動量。矢量方程（1）可沿任意方向（e | 投影： （e |P> =（e |> =（e | F> +（e | R> ( 2 )設(shè)N質(zhì)點系統(tǒng)自由度為s，則系統(tǒng)在x-空間位形可用s個

6、廣義坐標 q：q1 , qs表出：<x| = x1(q1 , qs , t)，x3N (q1 , q s , t) 廣義坐標q j的基向量可用x-空間坐標基矢表為：(q j| = <x|= （3a）或 (q j| =<| （3b）系統(tǒng)的s個廣義坐標基向量(q1|，(q s|可合寫為一個s行左乘投影矩陣：A| （4）傳統(tǒng)的質(zhì)點系統(tǒng)力學(xué)之所以能夠得出一系列重要的結(jié)果，是因為尋找到了一個正確的出發(fā)點：把力區(qū)分為內(nèi)力與外力。在此，我們?yōu)榱说贸隽硪恍┬碌慕Y(jié)果，也尋找到了另一個正確的出發(fā)點：把力區(qū)分為主動力與約束力。粗略地說，約束就是對質(zhì)點系運動的限制；理想約束力是那些不做功的力，有（q

7、 j | R> = 0（參見文獻1.），系統(tǒng)沿(q j |方向的投影方程可表為：（q j |> =（q j | F> （j1，2，s） （5a） 這s個獨立方程可用一個矩陣方程簡潔地表為： A|> = A| F > （5b）其中：|P>= p1 ；p3 N 為系統(tǒng)的用廣義坐標q與廣義速度表示的動量；主動力| F> 中不包括約束作用力；系統(tǒng)x-空間的維數(shù)可根據(jù)實際情況減少，未必總是為3N . 2. 2. 剛體平面運動動力學(xué)方程 為了把方程（5）應(yīng)用于平面運動的剛體，可以定義平面運動剛體的“位形矢”為： <x| = xc , yc , ，式中:xc

8、與 yc是質(zhì)心坐標，為剛體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動的角坐標；定義平面運動剛體的“速度”為： < v| = c , c , ； 定義平面平行運動剛體的“動量”為： <p| = ( mc , mc , Ic) ， 其中Ic為剛體對質(zhì)心c軸的轉(zhuǎn)動慣量；定義作用于剛體上的主動“力”為： <F| = F x , F y , c，其中c為有功主動力對質(zhì)心c的力矩。引入廣義坐標q，按公式（3a）或（3b）求廣義坐標基向量；則方程（5）就可作為剛體平面運動的動力學(xué)方程了。2. 3. 剛體一般運動動力學(xué)方程 在某慣性系中，定義一般運動剛體的“速度”：< v| = c , c , c , ； 定義其“

9、動量”： <p| = mc , mc , mc , I c x I c yy , I c ZZ ； 定義作用于剛體上的主動“力”： <F| = F x , F y , F z , c x, c y, c z .引入廣義坐標q，按公式（3b）求廣義坐標基向量；則方程（5）也就可作為剛體一般運動的動力學(xué)方程了。至此小結(jié)一下：方程（5）把多種動力學(xué)問題統(tǒng)一起來，它可以適用于一般的質(zhì)點和質(zhì)點系統(tǒng)、剛體和剛體系統(tǒng)、質(zhì)點和剛體混合系統(tǒng)，等等；它包含了受約束（理想約束，幾何約束）的情況和不受約束的情況；同時也包含了直角坐標以及一般曲線坐標。 方程(5)主要特點是：1）引入廣義坐標，虛位移通過廣義

10、坐標表達，只考慮主動力不考慮理想約束力，使得方程簡潔，解題方便；2）方程尤其適用于多自由度多廣義坐標的比較復(fù)雜的完整約束系統(tǒng)； 3) 不管取什么為廣義坐標，方程形式總是不變，解題步驟與格式也總是不變；4）適合采用計算機求解。3. 矩陣形式的靜力學(xué)平衡方程3.1. 靜力學(xué)問題的動力學(xué)方法-靜動法 矩陣形式的動力學(xué)方程（5）同樣適用于靜力學(xué)。剛體或理想約束的質(zhì)點系如果受力平衡，則運動狀態(tài)不發(fā)生變化，方程（5）左邊為為零。因此，受有理想約束的力學(xué)系統(tǒng)平衡的充要條件是：A| F>= 0 或 Qj = (q j | F> = 0 (j =1,s) (6 ) 式中Qi是廣義坐標基(qi|方向上

11、的“廣義力”。利用此方程求解理想約束的力學(xué)系統(tǒng)的平衡問題時，約束反力不出現(xiàn)于方程而自動消去，所以可以很簡單地求出主動力在平衡位置時所應(yīng)滿足的平衡條件。3.2. 動力學(xué)問題的靜力學(xué)方法動靜法方程（6）是分析靜力學(xué)中的基本方程。動力學(xué)方程（5）實際上也可以寫成方程（6）的形式：令|F*> = |F>|P> ，則方程（5）即可寫為：A| F*>= 0 或 Qj= (qj | F*> = 0 (j =1,s) (7 )因此，可用用動力學(xué)方法求解靜力學(xué)問題，也可以用靜力學(xué)方法求解動力學(xué)問題。靜力學(xué)與動力學(xué)問題可以用方程（5）統(tǒng)一起來。4. 矩陣形式的拉格朗日方程作為理論應(yīng)用

12、，我們可以由方程（5）推導(dǎo)出分析力學(xué)中著名的拉格朗日方程，從而證明方程（5）就是矩陣形式的拉格朗日方程。顯然，方程（5a）的右邊就是廣義力： （qj| F> = Fk = Qj (8 )式中對重復(fù)下標k取和：k1，3N，略寫求和符號，以下遇到重復(fù)指標皆表取和。方程（5a）左邊為： （q j |> （q j |P> =(q j | P>)(j |P> （9）由公式（3b）可得： (q j |P> = m k v kvk =(m kvk2 ) = （10）由公式(j | =(q j | =<x| =<v| 可得： (j | P>= m k v

13、k v k= (m kv k2 ) = （11）式中T=m kk2 =m kv k2為系統(tǒng)動能（其中m3 k2 = m3k1 = m3k為第k個質(zhì)點質(zhì)量）綜合（8）、（9）、（10）、（11）就得到基本形式的拉格朗日方程 ： Q j (j = 1, 2, ，s) （12）因此，筆者認為方程（5）與拉格朗日方程等價，是拉格朗日方程的矩陣形式。當前科學(xué)計算中，幾乎無處不用矩陣運算，這使方程（5）的優(yōu)勢得到充分體現(xiàn)，該方程最適宜于引用MATLAB計算軟件求解。5. 算 例例1.質(zhì)量M=3kg半徑為R=20cm的均質(zhì)圓柱體C放在質(zhì)量m=1kg的木板B上，木板放在光滑水平面上，木板受到一個水平拉力F20

14、N作用，已知圓柱體在木板上純滾動。試求：木板的加速度a.解：選取圓柱體C和木板B為系統(tǒng)研究，其自由度s2。如圖所示，取木板移動的速度v和圓柱體轉(zhuǎn)動的角速度為廣義坐標（廣義速度），則系統(tǒng)的“速度矢”為：. <V| = vB，vC，= v ，vR， ；廣義坐標基向量： (v| =<V| = 1 , 1 , 0 ， (| = <V| = 0 , R , 1 ； 合寫為2行左乘投影矩陣： A| ；作用于系統(tǒng)的主動力：|F> = F；0 ；0 ；系統(tǒng)“動量”：|P> =m v；M (vR) ；I c所以 |> ， 其中I c= 0.06(kg·m2)據(jù)方程（

15、5b）得： 以上完成了“建?！?，往下數(shù)值計算可以采用MATLAB軟件?！綧ATLAB計算程序】clear, format compact%按A*B*XA*F列寫此系統(tǒng)的矩陣方程，其中Xa；。A1，1，0； 0，0.2，1 ；B=1，0；3，3*0.2；0，0.06 ；F20；0；0 .CA*B； DA*F；XC D； % 解出XaX（1） % 顯示要求的分量【程序運行結(jié)果】a10答案：木板的加速度為10 m / s2例2. 長為2L的均質(zhì)棒，右端A抵在光滑的墻壁上，而棒身則如圖所示斜靠在與墻壁相距為d（d<Lcos）的光滑棱角上。求棒在平衡時與水平面所成的夾角解：棒在質(zhì)心C處受豎直向下主

16、動力mg（重力）， 以棒與棱角接觸點為原點，豎直向上為oy軸建立坐標系，如圖所示，則主動力為： |F> = mg ；取q角為廣義坐標，則主動力作用點的位矢可表為<X| = yc = （L）sin 廣義坐標基向量： (q | = <X| = Lcosd·sec2 ；據(jù)方程（6），棒的平衡方程 (q |F> = 0即 ： （Lcosd·sec2）mg0 由此可得： arc cos ()1 / 3. 解畢.6. 結(jié) 論方程（5）把多種動力學(xué)問題統(tǒng)一起來，還把靜力學(xué)問題與動力學(xué)統(tǒng)一起來。它是分析力學(xué)中拉格朗日方程的矩陣形式。當前科學(xué)計算中，幾乎無處不用矩陣運算