特征值,特征向量,相似矩陣_第1頁
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文檔簡介

1、定義5.1  設(shè) 為 階矩陣， 是一個(gè)數(shù)，如果方程      （5.1）存在非零解向量，則稱 為 的一個(gè)特征值，相應(yīng)非零解向量 稱為與特征值 對應(yīng)的特征向量.將（5.1）式改寫為       （5.2）即 元齊次線性方程組      （5.3）此方程組存在非零解的充分必要條件為系數(shù)行列式等于零，即            

2、0; 定義5.2設(shè) 為 階矩陣，含有未知量 的矩陣 稱為 的特征矩陣，其行列式 為 的 次多項(xiàng)式，稱為 的特征多項(xiàng)式， 稱為 的特征方程. 是矩陣 的一個(gè)特征值，則一定是 的根，因此又稱特征根.若 是 的 重根，則 稱為 的 重特征值（根）.方程 的第一個(gè)非零解向量，都是相應(yīng)于 的特征向量.例1求矩陣 的特征值與特征向量.解：矩陣 的特征方程為  化簡得 所以 是矩陣 的兩個(gè)不同的特征值.以 代入與特征方程對應(yīng)的齊次線性方程組（5.3），得 它的基礎(chǔ)解系是 ，所以 是矩陣 對應(yīng)于 的全部特征向量.同樣，以 代入與特征方程對應(yīng)的齊次線性方程組，得它的基礎(chǔ)解系是 ，所以 是矩陣 對應(yīng)于特

3、征值 的全部特征向量.例2求矩陣  的特征值和特征向量.解：矩陣 的特征方程為化簡得 ，所以 是矩陣 的特征值，“1”是矩陣 的二重特征值.以 代入與特征方程對應(yīng)的齊次線性方程組，得它的基礎(chǔ)解系是 ,所以 是矩陣 對應(yīng)于 的全部特征向量.以 代入與特征方程對應(yīng)的齊次線性方程組，得 它的基礎(chǔ)解系是 ，所以 是矩陣 對應(yīng)于二重特征值 的全部特征向量.(二) 特征值與特征向量的基本性質(zhì)定理5.1 階矩陣 與它的轉(zhuǎn)置矩陣 有相同的特征值.證：由 有 得 與 有相同的特征多項(xiàng)式，所以它們的特征值相同.定理5.2設(shè) 是 階矩陣，如果（1） 或(2)  有一個(gè)成立，則矩陣 的所有特征值 的模 小于1，即 定理5.3 階矩陣 互不相同的特征值 ，對應(yīng)的特征向量 線性無關(guān).(三) 相似矩陣定義5.3設(shè) 、 為 階矩陣，如果有 階非奇異矩陣中存在，使得 成立，則稱矩陣 與 相似，記為 .例如， 則  

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