常微分方程第三版答案

1、word1=2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx 兩邊積分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0時(shí)，y=0原方程的通解為y= cex,x=0 y=1時(shí) c=1特解為y= e.2. ydx+(x+1)dy=0 并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy dy=-dx兩邊積分: -=-ln|x+1|+ln|c| y=另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1時(shí) c=e特解：y=3= 解：原方程為：=dy=dx 兩邊積分：x(1+x)(1+y)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程為

2、： dy=-dx兩邊積分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。5y+xdy+(x-y)dx=0 解：原方程為： =-令=u 那么=u+x 代入有：-du=dxln(u+1)x=c-2arctgu即 ln(y+x)=c-2arctg.6. x-y+=0 解：原方程為： =+-那么令=u =u+ x du=sgnx dxarcsin=sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程為：=兩邊積分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny= 另外y=0也是原方程的解，而c=0時(shí)，y=0.所以原方程的通解為sinycosx=c.8 +=0

3、解：原方程為：=e2 e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程為：=ln令=u ,那么=u+ xu+ x=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln=cy.10. =e 解：原方程為：=eee=ce11 =(x+y) 解：令x+y=u,那么=-1-1=udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12. =解：令x+y=u,那么=-1 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13. =解: 原方程為：x-2y+1dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y-y)-dx+

4、x=c xy-y+y-x-x=c14: =解：原方程為：x-y-2dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c.15: =(x+1) +(4y+1) +8xy 解：原方程為：=x+4y+3令x+4y=u 那么=-=u+3=4 u+13u=tg(6x+c)-1tg(6x+c)=(x+4y+1).16:證明方程=f(xy),經(jīng)變換xy=u可化為變量別離方程，并由此求以下方程：1） y(1+xy)dx=xdy2） = 證明： 令xy=u,那么x+y= 那么=-，有： =f(u)+1 du=d

5、x 所以原方程可化為變量別離方程。1） 令xy=u 那么=- (1)原方程可化為：=1+xy (2)將1代入2式有：-=(1+u)u=+cx17.求一曲線，使它的切線坐標(biāo)軸間的局部初切點(diǎn)分成相等的局部。解：設(shè)x +y 為所求曲線上任意一點(diǎn)，那么切線方程為：y=y(x- x )+ y 那么與x軸，y軸交點(diǎn)分別為： x= x - y= y - x y 那么 x=2 x = x - 所以 xy=c18.求曲線上任意一點(diǎn)切線與該點(diǎn)的向徑夾角為0的曲線方程，其中 = 。解：由題意得：y= dy= dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 那么y=tgx 所以 c=1 y=x.19.證明曲線上的切線

6、的斜率與切點(diǎn)的橫坐標(biāo)成正比的曲線是拋物線。 證明：設(shè)(x,y)為所求曲線上的任意一點(diǎn)，那么y=kx 那么：y=kx +c 即為所求。 常微分方程習(xí)題2.11.,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解. 解：對(duì)原式進(jìn)行變量別離得并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對(duì)原式進(jìn)行變量別離得：3 解：原式可化為： 12解1516解： ，這是齊次方程，令17. 解：原方程化為 令方程組那么有令當(dāng)當(dāng)另外 19. f(x).解：設(shè)f(x)=y, 那么原方程化為 兩邊求導(dǎo)得20.求具有性質(zhì) x(t+s)=的函數(shù)x(t),x(0)存在。解：令t=s=0 x(0)= 假設(shè)x(0)0 得x=-1矛盾。所以x(

7、0)=0. x(t)=) 兩邊積分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 當(dāng)t=0時(shí) x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t求以下方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n為常數(shù).解：原方程可化為： 是原方程的解.5+=解：原方程可化為：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 那么 =u因此：= * 將帶入 *中 得：是

8、原方程的解.13這是n=-1時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以，令 P(x)= Q(x)=-1由一階線性方程的求解公式 =14 兩邊同乘以 令 這是n=2時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以 令 Px= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = =15 這是n=3時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=17 設(shè)函數(shù)(t)于<t<上連續(xù)，(0)存在且滿足關(guān)系式(t+s)=(t)(s)試求此函數(shù)。令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或1 當(dāng)時(shí) 即 ,)

9、(2) 當(dāng)時(shí) = = =于是 變量別離得 積分 由于，即t=0時(shí) 1=c=1故 20.試證： 1一階非齊線性方程2 .28的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程2.3之解； 2假設(shè)是2.3的非零解，而是2.28的解，那么方程2.28的通解可表為，其中為任意常數(shù).3方程2.3任一解的常數(shù)倍或任兩解之和或差仍是方程2.3的解.證明： 2.28 2.3（1） 設(shè)，是2.28的任意兩個(gè)解那么 1 21-2得 即是滿足方程2.3所以，命題成立。（2） 由題意得： 3 41先證是2.28的一個(gè)解。于是 得故是2.28的一個(gè)解。2現(xiàn)證方程4的任一解都可寫成的形式設(shè)是(2.28)的一個(gè)解那么 4于是 4-4得從而

10、即 所以，命題成立。（3） 設(shè)，是2.3的任意兩個(gè)解那么 5 6于是5得 即 其中為任意常數(shù)也就是滿足方程2.356得 即 也就是滿足方程2.3所以命題成立。21.試建立分別具有以下性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。（5） 曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方；（6） 曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距是切點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng)；解：設(shè)為曲線上的任一點(diǎn)，那么過點(diǎn)曲線的切線方程為從而此切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為即 橫截距為 ， 縱截距為 。由題意得：5 方程變形為 于是 所以，方程的通解為。6方程變形為 于是 所以，方程的通解為。22求解以下方程。1解： = = = 2 P(x)= Q(x

11、)=由一階線性方程的求解公式 = = =1、驗(yàn)證以下方程是恰當(dāng)方程，并求出方程的解。1. 解： ，=1 .那么所以此方程是恰當(dāng)方程。湊微分，得 ：2 解： ， .那么 .所以此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，得 3 解： 那么 .因此此方程是恰當(dāng)方程。 1 2對(duì)1做的積分，那么= 3對(duì)3做的積分，那么=那么故此方程的通解為4、 解： ， . .那么此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，得 ：5.(sin-cos+1)dx+( cos- sin+)dy=0解： M=sin-cos+1 N= cos- sin+=- sin-cos- cos+sin=- sin-cos- cos+sin所以，=，故原方程為恰當(dāng)方程因?yàn)?/p>

12、sindx-cosdx+dx+ cosdy- sindy+dy=0d(-cos)+d (sin)+dx+d(-)=0所以，d(sin-cos+x -)=0故所求的解為sin-cos+x -=C求以下方程的解：62x(y-1)dx+dy=0解：= 2x , =2x所以，=，故原方程為恰當(dāng)方程又2xydx-2xdx+dy=0所以，d(y-x)=0故所求的解為y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以，d e( x-2x+2)+d( xy)=0即d e( x-2x+2)+ xy=0故方程的解為e( x-2x+2)+ xy

13、=C8. 2xydx+( x+1)dy=0解：2xydx+ xdy+dy=0d( xy)+dy=0即d(xy+y)=0故方程的解為xy+y=C9、解：兩邊同除以 得即，故方程的通解為10、解：方程可化為：即， 故方程的通解為： 即：同時(shí)，y=0也是方程的解。11、解：方程可化為： 即：故方程的通解為：12、解：方程可化為：故方程的通解為 ： 即：13、解：這里 ， 方程有積分因子兩邊乘以得：方程是恰當(dāng)方程故方程的通解為：即：14、解：這里因?yàn)楣史匠痰耐ń鉃椋?即：15、解：這里 方程有積分因子： 兩邊乘以得：方程為恰當(dāng)方程故通解為 ：即：16、解：兩邊同乘以得：故方程的通解為：17、試導(dǎo)出方程

14、具有形為和的積分因子的充要條件。解：假設(shè)方程具有為積分因子， 是連續(xù)可導(dǎo)令 ， .， ， ， 方程有積分因子的充要條件是：是的函數(shù)，此時(shí)，積分因子為 . 令 ，此時(shí)的積分因子為18. 設(shè)及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴于的積分因子.證:必要性 假設(shè)該方程為線性方程,那么有 ,此方程有積分因子,只與有關(guān) .充分性 假設(shè)該方程有只與有關(guān)的積分因子 .那么為恰當(dāng)方程 ,從而 , , .其中 .于是方程可化為即方程為一階線性方程.20.設(shè)函數(shù)f(u)，g(u)連續(xù)、可微且f(u)g(u),，試證方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有積分因子u=(xyf(xy)-g(xy)證：在方

15、程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0兩邊同乘以u(píng)得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0那么=uf+uy+yf=+-yf=而=ug+ux+xg=+- xg=故=，所以u(píng)是方程得一個(gè)積分因子21假設(shè)方程2.43中得函數(shù)Mx,yN(x,y)滿足關(guān)系=Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分別為x和y得連續(xù)函數(shù)，試證方程2.43有積分因子u=exp(+)證明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即證u+M=u+Nu(-)=N- Mu(-)=Nef(x)-M eg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg(y)由條件上式恒成立，故原命題得證。22、求出伯努利方程的積分因子.解：伯努利方程

16、為：兩邊同乘以，令，線性方程有積分因子：，故原方程的積分因子為：，證畢！23、設(shè)是方程的積分因子，從而求得可微函數(shù)，使得試證也是方程的積分因子的充要條件是其中是的可微函數(shù)。證明：假設(shè)，那么又即為的一個(gè)積分因子。24、設(shè)是方程的兩個(gè)積分因子，且常數(shù)，求證任意常數(shù)是方程的通解。證明：因?yàn)槭欠匠痰姆e分因子所以 為恰當(dāng)方程即 ，下面只需證的全微分沿方程恒為零事實(shí)上：即當(dāng)時(shí)，是方程的解。證畢！求解以下方程1、解：令，那么， 從而， 于是求得方程參數(shù)形式得通解為.2、解：令，那么，即，從而 ，于是求得方程參數(shù)形式得通解為.3、解：令，那么，從而 = ，于是求得方程參數(shù)形式的通解為,另外，y=0也是方程的解

17、.4、, 為常數(shù)解：令，那么，從而 ，于是求得方程參數(shù)形式的通解為.5、1解：令，那么，從而 ，于是求得方程參數(shù)形式的通解為.6、解：令，那么，得，所以，從而，于是求得方程參數(shù)形式的通解為，因此方程的通解為.2 解：兩邊同除以，得：即4解：兩邊同除以，得 令 那么 即得到，即另外也是方程的解。6 解： 得到 即 另外也是方程的解。8. 解：令 那么： 即 得到 故 即 另外也是方程的解。10 解：令 即 而故兩邊積分得到 因此原方程的解為，。 12. 解： 令 那么 即 故方程的解為 14 解： 令 那么 那么 求得： 故方程的解為 或可寫 為 16 解：令 那么 即方程的解為18 解： 將方

18、程變形后得 同除以得： 令 那么 即原方程的解為19.X(解：方程可化為2y( 令27. 解： 令，那么， ， 兩邊積分得 即為方程的通解。另外，即也是方程的解。28. 解： 兩邊同除以，方程可化為： 令，那么 即 ，兩邊積分得 即 為方程的解。29. 解： 令，那么 ， ，那么 即 兩邊積分得 即為方程的解。30. 解： 方程可化為 兩邊積分得 即 為方程的解。31. 解： 方程可化為 兩邊同除以，得 即 令，那么 即 兩邊積分得 將代入得， 即 故 32. 解： 方程可化為 兩邊同加上，得 *再由，可知 *將*/*得 即 整理得 兩邊積分得 即 另外，也是方程的解。33. 求一曲線，使其切

19、線在縱軸上之截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)。解： 設(shè)為所求曲線上的任一點(diǎn)，那么在點(diǎn)的切線在軸上的截距為： 由題意得 即 也即 兩邊同除以，得 即 即 為方程的解。34. 摩托艇以5米/秒的速度在靜水運(yùn)動(dòng)，全速時(shí)停止了發(fā)動(dòng)機(jī)，過了20秒鐘后，艇的速度減至米/秒。確定發(fā)動(dòng)機(jī)停止2分鐘后艇的速度。假定水的阻力與艇的運(yùn)動(dòng)速度成正比例。解：，又，由此 即 其中，解之得 又時(shí)，；時(shí)，。故得 ，從而方程可化為 當(dāng)時(shí)，有 米/秒即為所求確實(shí)定發(fā)動(dòng)機(jī)停止2分鐘后艇的速度。35. 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度等于零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比比例系數(shù)為k1的力作用在它上面，此質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比比

20、例系數(shù)為k2。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系。解：由物理知識(shí)得：根據(jù)題意：故：即：(*)式為一階非齊線性方程，根據(jù)其求解公式有又當(dāng)t=0時(shí)，V=0，故c=因此，此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系為：36. 解以下的黎卡提方程1解：原方程可轉(zhuǎn)化為：觀察得到它的一個(gè)特解為：，設(shè)它的任意一個(gè)解為，代入*式得到：由*-*得：變量別離得：兩邊同時(shí)積分：即：故原方程的解為 2解：原方程可化為：由觀察得，它的一個(gè)特解為，設(shè)它的任意一個(gè)解為，故變量別離再兩邊同時(shí)積分得：即故原方程的解為3解：原方程可化為：由觀察得到，它的一個(gè)特解為，設(shè)它的任一個(gè)解為，故，該式是一個(gè)的伯努利方程兩邊同除以得到：即：，令，那么：，根據(jù)一階非齊

21、線性方程的求解公式得：故：因此：原方程的解為：4解：原方程可化為：由觀察得到，它的一個(gè)特解為，設(shè)它的任一個(gè)解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：那么：即：故：原方程的解為：5解：原方程可化為：由觀察得，它的一個(gè)特解為，故設(shè)它的任一個(gè)解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：那么：故：原方程的解為：，即.6解：原方程可化為：由觀察得到它的一個(gè)特解為，設(shè)它的任一個(gè)解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：那么：從而：故原方程的解為：即：7解：由觀察得到它的一個(gè)特解為，故設(shè)它的任一個(gè)解為，于是，這是n=2的佰努利方程，兩邊同除以得：即：從而：故原方程的解為： 1 求方程=x+y

22、通過點(diǎn)(0,0)的第三次近似解； 解： 取 = 2 求方程=x-y通過點(diǎn)(1,0)的第三次近似解； 解： 令 那么 = 3 題 求初值問題： R：1，1的解的存在區(qū)間，并求解第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計(jì)；解： 因?yàn)?M=max=4 那么h=min(a,)= 那么解的存在區(qū)間為= 令 =0 ;=y+dx=x+; =y+dx=x-+ 又 =L那么：誤差估計(jì)為：=4 題 討論方程：在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點(diǎn)0，0的一切解；解：因?yàn)?在y上存在且連續(xù)； 而在上連續(xù)由 有：=x+c又 因?yàn)閥(0)=0 所以：=x另外 y=0也是方程的解；故 方程的解為：=或 y

23、=0;6題 證明格朗瓦耳不等式： 設(shè)K為非負(fù)整數(shù)，f(t)和g(t)為區(qū)間上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，且滿足不等式： f(t)k+, 那么有：f(t)kexp(),證明：令Rt=,那么(T)=f(t)g(t) (T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t) kg(t)(T)- R(t)g(t)kg(t); 兩邊同乘以exp(-) 那么有： (T) exp(-)-R(t)g(t) exp(-) kg(t) exp(-)兩邊從到t積分：R(t) exp(-)-exp(-)ds即 R(t) exp(-)ds又 f(t) 1k+R(t) k+kexp(-)ds k(1-1+ exp(-)=k

24、exp()即 f(t) k;7題 假設(shè)函數(shù)f(x,y)于x,y的領(lǐng)域內(nèi)是y的 不增函數(shù)，試證方程= f(x,y)滿足條件y(x)= y的解于x x一側(cè)最多只有一個(gè)解；證明：假設(shè)滿足條件y(x)= y的解于x x一側(cè)有兩個(gè)(x),(x) 那么滿足： (x)= y+dx (x)= y+dx不妨假設(shè)(x)(x)，那么(x)- (x)0而(x)- (x)= dx-dx =dx又因?yàn)?f(x,y)在x,y的領(lǐng)域內(nèi)是y的 增函數(shù)，那么： f(x, (x)-f(x, (x)0那么(x)- (x)= dx0那么(x)- (x)0所以 (x)- (x)=0， 即 (x)= (x)那么原命題方程滿足條件y(x)=

25、 y的解于x x一側(cè)最多只有一個(gè)解；習(xí)題 (一)、解以下方程，并求奇解如果存在的話：1、解：令，那么，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 從得 時(shí)，；從得 ，為參數(shù)，為任意常數(shù).經(jīng)檢驗(yàn)得，是方程奇解.2、解：令，那么，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 ，解之得 ，所以，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.3、解：這是克萊洛方程，因此它的通解為，從 中消去c,得到奇解.4、解：這是克萊洛方程，因此它的通解為 ，從 中消去c,得到奇解 .5、解：令，那么，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 ，解之得 ，所以 ，可知此方程沒有奇解.6、解：原方程可化為，這是克萊羅方程，因此其通解為，從 中消去c，得奇解.7、解：令，那么，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 ，所以

26、，可知此方程沒有奇解.8、解：可知此方程沒有奇解.9、解：令，那么，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 解之得 ，所以 ，且 也是方程的解，但不是方程的奇解.10、解：這是克萊羅方程，因此方程的通解為，從中消去c,得方程的奇解.二求以下曲線族的包絡(luò).1、解:對(duì)c求導(dǎo)，得 x+2c=0, , 代入原方程得， 經(jīng)檢驗(yàn)得，是原方程的包絡(luò).2、解：對(duì)c求導(dǎo)，得 ，代入原方程得 ，即，經(jīng)檢驗(yàn)得是原方程的包絡(luò).3、解：對(duì)c求導(dǎo)，得 2(x-c)-2(y-c)=0, ,代入原方程得.經(jīng)檢驗(yàn),得 是原方程的包絡(luò).4、解：對(duì)c求導(dǎo)，得 -2(x-c)=4, c=x+2,代入原方程得 ，,經(jīng)檢驗(yàn)，得是原方程的包絡(luò).(三) 求一曲線

27、，使它上面的每一點(diǎn)的切線截割坐標(biāo)軸使兩截距之和等于常數(shù)c.解：設(shè)所求曲線方程為y=y(x),以X、Y表坐標(biāo)系，那么曲線上任一點(diǎn)x,y(x)的切線方程為，它與X軸、Y軸的截距分別為，按條件有 ，化簡(jiǎn)得，這是克萊洛方程，它的通解為一族直線，它的包絡(luò)是，消去c后得我們所求的曲線.(四) 試證：就克萊洛方程來說，p-判別曲線和方程通解的c-判別曲線同樣是方程通解的包絡(luò)，從而為方程的奇解.證：克萊洛方程 y=xp+f(p)的p-判別曲線就是用p-消去法，從 中消去p后而得的曲線； c-判別曲線就是用c-消去法，從通解及它對(duì)求導(dǎo)的所得的方程中消去c而得的曲線，顯然它們的結(jié)果是一致的，是一單因式，因此p-判

28、別曲線是通解的包絡(luò)，也是方程的通解. 1. 設(shè)和是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，證明：如果在區(qū)間上有常數(shù)或常數(shù)，那么和在區(qū)間上線形無關(guān)。證明：假設(shè)在，在區(qū)間上線形相關(guān)那么存在不全為零的常數(shù)，使得那么不妨設(shè)不為零，那么有顯然為常數(shù)，與題矛盾，即假設(shè)不成立，在區(qū)間上線形無關(guān)2. 證明非齊線形方程的疊加原理：設(shè)，分別是非齊線形方程 1 2 的解，那么+是方程 +的解。證明：由題可知，分別是方程1，2的解那么： 3 4那么由3+4得：+即+是方程是+的解。3. 試驗(yàn)證0的根本解組為，并求方程的通解。 證明：由題將代入方程0得：-=0,即是該方程的解，同理求得也是該方程的解又顯然線形無關(guān)，故是0的根本解組。 由題可

29、設(shè)所求通解為：，那么有：解之得：故所求通解為：4. 試驗(yàn)證0有根本解組t，并求方程t-1的通解。解：由題將t代入方程0得： ，即t為該方程的解 同理也是該方程的解，又顯然t，線形無關(guān)， 故t，是方程0的根本解組由題可設(shè)所求通解為，那么有：解之得：故所求通解為5. 以知方程0的根本解組為，求此方程適合初始條件的根本解組稱為標(biāo)準(zhǔn)根本解組，即有并求出方程的適合初始條件的解。 解：時(shí)間方程0的根本解組，故存在常數(shù)使得： 于是：令t=0,那么有方程適合初始條件，于是有：解得： 故又該方程適合初始條件，于是：解得： 故顯然，線形無關(guān)，所以此方程適合初始條件的根本解組為：， 而此方程同時(shí)滿足初始條件，于是：

30、解得：故滿足要求的解。6. 設(shè)是齊線形方程4.2的任意n個(gè)解。它們所構(gòu)成的伏朗斯行列式記為，試證明滿足一階線形方程，因而有： 解：又滿足即那么：即 那么有：即： 7. 假設(shè)是二階齊線形方程*的解，這里 在區(qū)間上連續(xù)，試證：1是方程的解的充要條件為：；2方程的通解可以表示為：,其中為常數(shù),證：因?yàn)闉榉匠痰慕?，那么由劉維爾公式 兩邊都乘以那么有：，于是： 從而方程的通解可表示為：,其中為常數(shù),。8. 試證n階非齊線形微分方程4.1存在且最多存在n+1個(gè)線形無關(guān)解。 證：設(shè)為4.1對(duì)應(yīng)的齊線形方程的一個(gè)根本解組，是4.1的一個(gè)解，那么： 1，均為4.1的解。同時(shí)1是線形無關(guān)的。 事實(shí)上：假設(shè)存在常數(shù)

31、，使得： *的左端為非齊線形方程的解，而右端為齊線形方程的解，矛盾！從而有又為4.1對(duì)應(yīng)的齊線形方程的一個(gè)根本解組，故有： 即1是線形無關(guān)的。 1. 解以下方程1 解：特征方程故通解為x=(2)解：特征方程有三重根故通解為x=3解：特征方程有三重根，2，-2故通解為4 解：特征方程有復(fù)數(shù)根-1+3i,-1-3i 故通解為(5) 解：特征方程有復(fù)數(shù)根故通解為(6) 解：特征方程有根a,-a當(dāng)時(shí)，齊線性方程的通解為s=代入原方程解得故通解為s=-當(dāng)a=0時(shí),代入原方程解得故通解為s=-(7) 解：特征方程有根2,兩重根1齊線性方程的通解為x=又因?yàn)?不是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=-

32、4，B=-1故通解為x=-4-t(8) 解：特征方程故齊線性方程的通解為x=取特解行如代入原方程解得A=1，B=0,C=1故通解為x=+(9)解：特征方程有復(fù)數(shù)根故齊線性方程的通解為取特解行如代入原方程解得A=故通解為(10) 解：特征方程有根-2,1故齊線性方程的通解為x=因?yàn)?-2i不是特征根取特解行如代入原方程解得A=故通解為x=11解：特征方程有復(fù)數(shù)根故齊線性方程的通解為 1是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解為+12解：特征方程有2重根-a當(dāng)a=-1時(shí)，齊線性方程的通解為s=,1是特征方程的2重根，故代入原方程解得A=通解為s=,當(dāng)a-1時(shí)，齊線性方程的通解為s=,1不是特征方

33、程的根，故代入原方程解得A=故通解為s=+13解：特征方程有根-1,-5故齊線性方程的通解為x=2不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解為x=+14解：特征方程有根-1+i,-1-i故齊線性方程的通解為不是特征方程的根, 取特解行如代入原方程解得A=故通解為+(15) 解：特征方程有根i,- i故齊線性方程的通解為,i,是方程的解 代入原方程解得A= B=0 故 代入原方程解得A= B=0 故故通解為x=x x= * a)試驗(yàn)證u(t)=,v(t)=分別是方程組*的滿足初始條件u(0)=, v(0)=的解. b)試驗(yàn)證w(t)cu(t)+cv(t)是方程組*的滿足初始條件w(0)=的解，

34、其中是任意常數(shù). 解：a) u(0)= u(t)=u(t) 又 v(0)= v(t)= =v(t)因此 u(t),v(t)分別是給定初值問題的解.b) w(0)=u(0)+u(0)= += w(t)= u(t)+ v(t) = + = = =w(t)因此 w(t)是給定方程初值問題的解.2. 將下面的初值問題化為與之等價(jià)的一階方程組的初值問題：a) x+2x+7tx=e,x(1)=7, x(1)=-2b) x+x=te,x(0)=1, x(0)=-1,x(0)=2,x(0)=0c) x(0)=1, x(0)=0,y(0)=0,y(0)=1解：a令 xx, x= x, 得 即 又 xx(1)=7

35、 x(1)= x(1)=-2于是把原初值問題化成了與之等價(jià)的一階方程的初值問題：x x(1)其中 x. b) 令x 那么得： 且 (0)=x(0)=1, =(0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0于是把原初值問題化成了與之等價(jià)的一階方程的初值問題：= x(0)=, 其中 x=.c) 令wx， w，wy，wy，那么原初值問題可化為： 且 即 w w(0)= 其中 w3. 試用逐步逼近法求方程組 x x 滿足初始條件 x(0)= 的第三次近似解. 解： 習(xí)題5.20241202 02412031.試驗(yàn)證=是方程組x=x,x= ，在任何不包含原點(diǎn)的區(qū)間a上的基解矩陣。解：令的第一

36、列為(t)= ,這時(shí)(t)= (t)故(t)是一個(gè)解。同樣如果以(t)表示第二列，我們有(t)= (t)這樣(t)也是一個(gè)解。因此是解矩陣。又因?yàn)閐et=-t故是基解矩陣。2.考慮方程組x=A(t)x (5.15)其中A(t)是區(qū)間a上的連續(xù)nn矩陣，它的元素為a(t),i ,j=1,2,na) 如果x(t),x(t),x(t)是(5.15)的任意n個(gè)解，那么它們的伏朗斯基行列式Wx(t),x(t),x(t)W(t)滿足下面的一階線性微分方程W=a(t)+a(t)+a(t)Wb) 解上面的一階線性微分方程，證明下面公式：W(t)=W(t)e t,ta,b解：w(t)=+=+=+整理后原式變?yōu)閍

37、+a=a+aw(t)=a(t)+a(t)w(t)b)由于w(t)= a(t)+a(t) w(t),即= a(t)+a(t)dt兩邊從t到t積分ln-ln=即w(t)=w(t)e,ta,b3.設(shè)A(t)為區(qū)間a上的連續(xù)nn實(shí)矩陣，為方程x=A(t)x的基解矩陣，而x=(t)為其一解，試證：a) 對(duì)于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t) (t)=常數(shù)；b)(t)為方程y=-A(t)y的基解矩陣的充要條件是存在非奇異的常數(shù)矩陣C，使(t) (t)=C.解a) (t) (t)= (t)+ (t)= (t)+ (t)A(t)又因?yàn)?-A(t) (t)，所以=-(t) A(t) (t) (t)

38、=- (t) (t)A(t)+ (t) A(t) (t)=0,所以對(duì)于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t) (t)=常數(shù)b) “假設(shè)為方程y=-A(t)y的基解矩陣，那么 (t) (t)= (t) +(t) (t)=- A(t) (t)+ (t) A(t) )+ (t) A(t) (t)=- (t) A(t) +(t) A(t) =0,故(t) (t)=C“假設(shè)存在非奇異常數(shù)矩陣C，detc0,使(t) (t)=C，那么 (t) (t)= (t)+ (t)=0，故(t)(t)=- (t) (t)A(t) (t)=- (t) A(t) 所以(t)=- (t) A(t), (t)=-

39、(t) A(t)即(t)為方程y=-A(t)y的基解矩陣4.設(shè)為方程x=AxA為nn常數(shù)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣即0=E，證明:(t)=(t- t)其中t為某一值. 證明：1,(t- t)是基解矩陣。 2由于為方程x=Ax的解矩陣，所以(t)也是x=Ax的解矩陣，而當(dāng)t= t時(shí)，(t)(t)=E, (t- t)=0=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)5.設(shè)A(t),f(t)分別為在區(qū)間a上連續(xù)的nn矩陣和n維列向量，證明方程組x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1個(gè)線性無關(guān)解。證明：設(shè)x,x,x是x=A(t)x的n個(gè)線性無關(guān)解， 是x=A(t)x+f(t)的一個(gè)解，那么x+,

40、 x+, x+,都是非齊線性方程的解，下面來證明它們線性無關(guān)，假設(shè)存在不全為零的常數(shù)C,(I=1,2,n)使得+c=0,從而x+, x+, x+,在a上線性相關(guān)，此與矛盾，因此x+, x+, x+,線性無關(guān)，所以方程組x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1個(gè)線性無關(guān)解。6、試證非齊線性微分方程組的疊加原理：的解，那么是方程組的解。證明： 1 2分別將代入1和2那么 那么令即證 7考慮方程組，其中 a)試驗(yàn)證 是的基解矩陣；b)試求的滿足初始條件的解。證明：a)首先驗(yàn)證它是基解矩陣以表示的第一列 那么故是方程的解如果以表示的第二列 我們有故也是方程的解從而是方程的解矩陣又故是的基解矩陣；b)由常數(shù)變易公式可知，方程滿足初始條件的解而8、試求，其中 滿足初始條件的解。解：由第7題可知的基解矩陣 那么假設(shè)方程滿足初始條件那么有假設(shè)那么有9、試求以下方程的通解：a)解：易知對(duì)應(yīng)的齊線性方程的根本解組為這時(shí)由公式得通解為b)解：易知對(duì)應(yīng)的齊線性方程的根本解組為是方程的特征根故方程有形如的根