《數(shù)學(xué)物理方程》2.1熱傳導(dǎo)方程及其定解問(wèn)題的導(dǎo)出

1、第二章第二章 熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程1 1 熱傳導(dǎo)方程及其定解問(wèn)題的導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程及其定解問(wèn)題的導(dǎo)出 2 2 初邊值問(wèn)題的分離變量法初邊值問(wèn)題的分離變量法3 3 柯西問(wèn)題柯西問(wèn)題4 4 極值原理、定解問(wèn)題解的唯一性和穩(wěn)定性極值原理、定解問(wèn)題解的唯一性和穩(wěn)定性5 5 解的漸近性態(tài)解的漸近性態(tài)* 傅里葉實(shí)驗(yàn)定律傅里葉實(shí)驗(yàn)定律2.1 2.1 熱傳導(dǎo)方程及其定解問(wèn)題的導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程及其定解問(wèn)題的導(dǎo)出 1. 1. 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出d( , , )d duQk x y zS tn 在該點(diǎn)的熱傳導(dǎo)系數(shù)在該點(diǎn)的熱傳導(dǎo)系數(shù)熱量從溫度高流向溫度低熱量從溫度高流向溫度低外法向量外法向量物體在無(wú)窮小時(shí)段

2、物體在無(wú)窮小時(shí)段dtdt內(nèi)沿法線(xiàn)方向流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小內(nèi)沿法線(xiàn)方向流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積面積d d的熱量的熱量dQdQ與物體溫度沿曲面與物體溫度沿曲面d d法線(xiàn)方向的法線(xiàn)方向的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 成正比，即成正比，即un12, t t21( , , )d dttuQk x y zS tn 流入在物體在物體內(nèi)任取一閉曲面內(nèi)任取一閉曲面 ，它所包圍的區(qū)域記，它所包圍的區(qū)域記為為 ，則從時(shí)刻，則從時(shí)刻 到到 流進(jìn)此閉曲面的總熱量為流進(jìn)此閉曲面的總熱量為1t2t該點(diǎn)附近在該點(diǎn)附近在 到到 時(shí)刻吸收熱量時(shí)刻吸收熱量1t2t21( , , )d dttuQk x y zS tn 流入12, t t密度：密度：比熱容

3、：比熱容：( , , )x y z( , , )c x y z( , , )x y z21d( , , ) ( , , ) ( , , , )( , , , )d d dQc x y zx y z u x y z tu x y z tx y z吸收故故 內(nèi)在內(nèi)在 到到 時(shí)刻吸收的總熱量時(shí)刻吸收的總熱量12 tt21( , , ) ( , , ) ( , , , )( , , , )d d dQc x y zx y z u x y z tu x y z tx y z吸收由能量守恒：由能量守恒：QQ流入吸收利用高維利用高維N-LN-L積分公式，積分公式，左端左端N-LN-L公式及交換下積分次序公式

4、及交換下積分次序21( , , )d dttuk x y zS tn 21( , , ) ( , , ) ( , , , )( , , , )d d dc x y zx y z u x y z tu x y z tx y z21d d d dtttcu x y z t 21( , , )d dttuk x y zS tn 21( , , )()d dtxxyyzztk x y z nununu S t 21d d d dtxxxyxztkukukux y z t d()d .xyzPQRPnQnRnSxyz * * 高斯定理（體積分化成曲面積分）高斯定理（體積分化成曲面積分）: :設(shè)設(shè) 是以足

5、夠光是以足夠光滑的曲面滑的曲面 為邊界的有界區(qū)域（可以是多連通區(qū)域）為邊界的有界區(qū)域（可以是多連通區(qū)域）， 在在 上具有連續(xù)上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)，則成立偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)，則成立( , , ),P x y z( , , ),Q x y z( , , )R x y z記記: ( ,),uP Q R則由第二曲面積分定義則由第二曲面積分定義div ddd.u Vu n SuS21d d d dtttcu x y z t 21d d d dtxxxyxztkukukux y z t 由積分區(qū)域任意性，知由積分區(qū)域任意性，知( , , , )txxxyxzcu x y z tkukuk u特別系數(shù)都

6、為常數(shù)時(shí)，特別系數(shù)都為常數(shù)時(shí)，22222222:uuuuaautxyz2kac22/.tuaufauFc 注注 有熱源情況：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)單位體積所產(chǎn)生的熱量為有熱源情況：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)單位體積所產(chǎn)生的熱量為F(x,y,z,t). F(x,y,z,t). 故在區(qū)域故在區(qū)域 ，時(shí)段的總熱量為，時(shí)段的總熱量為21( , , , )d d d dttF x y z t x y z t 則有熱源的熱傳導(dǎo)方程為則有熱源的熱傳導(dǎo)方程為12 , t t2. 2. 擴(kuò)散方程的導(dǎo)出擴(kuò)散方程的導(dǎo)出d( , , )d d NmD x y zS tn * NerstNerst擴(kuò)散定律擴(kuò)散定律擴(kuò)散物在無(wú)窮小時(shí)段擴(kuò)散物在無(wú)窮小時(shí)

7、段dtdt內(nèi)沿法線(xiàn)方向流過(guò)一個(gè)無(wú)窮內(nèi)沿法線(xiàn)方向流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積小面積d d的質(zhì)量的質(zhì)量dmdm與擴(kuò)散物濃度沿曲面與擴(kuò)散物濃度沿曲面d d法線(xiàn)方法線(xiàn)方向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù) 成正比，即成正比，即Nn在該點(diǎn)的擴(kuò)散系數(shù)在該點(diǎn)的擴(kuò)散系數(shù)擴(kuò)散物從濃度高流向濃度低擴(kuò)散物從濃度高流向濃度低因此類(lèi)似熱方程推導(dǎo)：因此類(lèi)似熱方程推導(dǎo)：21( ( , , , )( , , , )d d d N x y z tN x y z tx y z21( , , )d dttND x y zS tn ( , , , )txxxyxzN x y z tDNDNDN 12, t t3 3 定解問(wèn)題的提法（以熱方程為例）定解問(wèn)題

8、的提法（以熱方程為例）* *邊界條件邊界條件* *初始條件初始條件或或或或表面溫度已知：表面溫度已知：稱(chēng)為第二類(lèi)邊界條件（稱(chēng)為第二類(lèi)邊界條件（NeumannNeumann邊界條件）邊界條件）熱量在表面各點(diǎn)的流速已知：熱量在表面各點(diǎn)的流速已知：稱(chēng)為第一類(lèi)邊界條件（稱(chēng)為第一類(lèi)邊界條件（DirichletDirichlet邊界條件）邊界條件）定義在定義在傅里葉定律傅里葉定律( , , ,0)( , , )u x y zx y z0tu( , , )( , , , )( , , , )x y zu x y z tg x y z t0, Tdd dQS tukn ( , , )( , , , )x y zug x y z tn( , , )( , , , )x y zu x y z tg熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)定律（牛頓定理）：熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)定律（牛頓定理）：從物體流到介質(zhì)中的熱量和兩者溫度差從物體流到介質(zhì)中的熱量和兩者溫度差成正比成正比1111dd d (d d )Qk uuS tk uuS t 注意到傅里葉定律：注意到傅里葉定律：一般形式：一般形式：或或介質(zhì)介質(zhì)nudd duQkS tn 11ukk uun 11kuuukn( , , )( , , , )x y zuug x y z tnuugn初始條件初始