排列組合的基本理論和公式

1、排列組 合的基本理論和 公式排列與元 素的順序有關(guān),組合與順序無關(guān).如 231與 213是兩個(gè)排列 , 2+3+1的和 與 2+1+3的和是一個(gè)組合.(一 兩 個(gè)基本原理是排 列和組合的基礎(chǔ)(1加法原理:做一件事,完成它可以 有 n 類 辦法,在第一類辦法中有 m1種不 同的方法,在第二類 辦法中有 m2種不 同的方法, ,在第 n 類辦 法中有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有 N =m1+m2+m3+mn 種 不同方法.(2乘法原理:做一件事 ,完成它需要分成 n 個(gè)步驟,做 第一步有 m1種不同的方法 ,做第二步有 m2種不同的方法,做 第 n 步有 mn 種不 同的方法,那 么完

2、成這件事共有 N =m1×m2×m3××mn種不同的方法. 這里要注 意區(qū)分兩個(gè)原理,要做一件事, 完成它若是有 n 類辦法,是 分類問題,第 一類中的方法都是獨(dú)立的,因此 用加法原理;做一件事,需 要分 n 個(gè)步驟 ,步與步之間是連續(xù)的,只有將 分成的若干個(gè)互相聯(lián)系的步 驟,依次相繼 完成,這件事才算完成,因此用 乘法原理.這樣完成 一件事的分“類”和“步”是有 本質(zhì)區(qū)別的,因此也將兩個(gè) 原理區(qū)分開來 .(二 排 列和排列數(shù)(1排列:從 n 個(gè)不同元 素中,任取 m(mn個(gè)元素,按照一定 的順序 排成一列,叫 做從 n 個(gè)不同元素中取 出 m 個(gè)元 素

3、的一個(gè)排列.從排列的 意義可知,如果兩個(gè)排列相同, 不僅這兩個(gè)排列的元素必須 完全相同,而 且排列的順序必須完全相同,這 就告訴了我們?nèi)绾闻袛鄡蓚€(gè) 排列是否相同 的方法.(2排列數(shù)公式:從 n 個(gè) 不同元素中取出 m(mn個(gè)元素的所有 排列 當(dāng) m =n 時(shí),為全排 列 Pnn=n(n-1(n-23·2·1=n !(三 組 合和組合數(shù)(1組合:從 n 個(gè) 不同元素中, 任 取 m(m n個(gè)元 素并成一組, 叫做從 n 個(gè)不同元素中 取出 m 個(gè)元素的一個(gè)組合.從組合的 定義 知,如果兩個(gè)組合中的元素 完全相同,不管元素的順序 如何,都是相 同的組合;只有當(dāng)兩個(gè)組合中的 元素

4、不完全相同時(shí),才是不 同的組合.(2組合數(shù):從 n 個(gè)不同 元素中取出 m(mn個(gè)元素的所有組合 的個(gè)這里要注 意排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系 , 從 n 個(gè)不同元素中 , 任取 m(mn 個(gè)元素,“按 照一定的順序排成一列”與“不 管怎樣的順序并成一組”這 是有本質(zhì)區(qū)別 的.一、排 列組合部分是中 學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之 一原因在于(1從千差萬別的實(shí)際問 題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型 ,需要較強(qiáng)的 抽象思維能力 ;(2限制條件有時(shí)比較隱 晦,需要我們對(duì)問題中的關(guān)鍵性 詞 (特別是邏 輯關(guān)聯(lián)詞和量 詞 準(zhǔn)確理解;(3計(jì)算手段簡單,與舊知識(shí)聯(lián)系少,但選擇正確合理 的計(jì)算方案時(shí)需 要的思維量較 大;(4計(jì)算方

5、案是否正確,往往不可用直觀 方法來檢驗(yàn),要求我們搞清概 念、原理,并 具有較強(qiáng)的 分析能力 。二、兩 個(gè)基本計(jì)數(shù)原理 及應(yīng)用(1加法原理和分類計(jì)數(shù) 法1.加法原理2.加法原理的集合形式3.分類的要求每一類中 的每一種方法都可以獨(dú)立地完成 此任務(wù);兩類不同辦法中的 具體方法,互 不相同 (即分類 不重 ;完成此任 務(wù)的任何一種方法,都屬于 某一類 (即分類不漏 (2乘法原理和分步計(jì)數(shù) 法1.乘法原理2.合理分步的要求任何一步 的一種方法都不能完成此任務(wù), 必須且只須連續(xù)完成 這 n 步 才能完成此任 務(wù);各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立;只要有 一步中所采取的方法不同, 則對(duì)應(yīng)的完成 此事的方法也不同編輯本 段

6、 例題 分析 排列 組合 思維 方法選講1.首先明確任 務(wù)的意義例 1. 從 1、 2、 3、 20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不 同的數(shù)組成 等差 數(shù)列 ,這樣的 不同等差數(shù)列有 _個(gè)。分析:首 先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù) 學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排 列組合問題。設(shè) a,b,c 成等差, 2b=a+c, 可 知 b 由 a,c 決定,又 2b 是偶數(shù), a,c 同奇或同偶,即:分 別從 1, 3, 5, 19或 2, 4, 6, 8, 20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行 排列,由此就可確定 等差數(shù)列, C (2,10 *2*P(2,2,因而本題 為 180。例 2. 某城市有 4條東西街道和 6條南北的街

7、道 , 街道之間的間距相同 , 如圖。若規(guī)定 只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中 路線前進(jìn),則從 M 到 N 有多 少種不同的走 法 ?分析:對(duì) 實(shí)際背景的分析可以逐層深入(一 從 M 到 N 必須向上走三步,向右走 五步,共走八步。(二每 一步是向上還是向右,決定了不 同的走法。(三事 實(shí)上,當(dāng)把向上的步驟決定后, 剩下的步驟只能向右。從而,任 務(wù)可敘述為:從八個(gè)步驟中選出 哪三步是向上走,就可以確 定走法數(shù), 本題 答案為:=56。2.分析是分類 還是分步,是排 列還是組合注意加法 原理與乘法原理的特點(diǎn),分析是 分類還是分步,是排列還是 組合例 3.在一塊并排 的 10壟田地中 ,選擇二壟分別種

8、植 A , B 兩種作物, 每種種植一壟, 為 有利于作物生長, 要求 A , B 兩種作物的間隔不少 于 6壟 , 不同的選法共 有 _種。分析:條件中“要 求 A 、 B 兩種作物的間隔不少 于 6壟 ”這個(gè)條件不容 易用一個(gè)包含 排列數(shù),組合數(shù)的式子表示,因 而采取分類的方法。第一類:A 在第一 壟, B 有 3種選擇;第二類:A 在第二 壟, B 有 2種選擇;第三類:A 在第三 壟, B 有一種選擇,同 理 A 、 B 位置互換 , 共 12種。例 4. 從 6雙不同顏色的手套中任 取 4只, 其中恰好有 一雙同色的取法 有 _。(A240 (B180 (C120 (D60分析:顯

9、然本題應(yīng)分步解決。(一 從 6雙中選出一雙同色的手套, 有 6種方法;(二從 剩下的十只手套中任選一只, 有 10種方法。(三從 除前所涉及的兩雙手套之外的八 只手套中任選一只, 有 8種 方法;(四由 于選取與順序無關(guān),因(二(三中的選法重復(fù)一次,因 而共 240種。例 5. 身高互不相同的 6個(gè)人排 成 2橫行 3縱列, 在第 一行的每一個(gè)人 都比他同列的 身后的人個(gè)子矮,則所有不同的 排法種數(shù)為 _。分析:每 一縱列中的兩人只要選定,則他 們只有一種站位方法,因而 每一縱列的排 隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系,共 有三縱列,從而有 =90種。 例 6.在 11名工人中, 有 5人只 能當(dāng)鉗工,

10、 4人只能當(dāng)車工,另 外 2人能當(dāng)鉗工也 能當(dāng)車工?，F(xiàn)從 11人中選出 4人當(dāng)鉗工, 4人當(dāng)車工 ,問共 有多少種不同 的選法 ?分析:采 用加法原理首先要做到分類不重 不漏,如何做到這一點(diǎn)?分 類的標(biāo)準(zhǔn)必須 前后統(tǒng)一。以兩個(gè)全 能的工人為分類的對(duì)象,考慮以 他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為 分類標(biāo)準(zhǔn)。第一類:這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工, 有 10種;第二類:這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工, 有 100種;第三類:這兩人都不去當(dāng)鉗工, 有 75種。因而共 有 185種。例 7.現(xiàn)有印 著 0, l , 3, 5, 7, 9的六張卡片,如果允 許 9可 以作 6用,那么從中 任意抽出三張可以組成多少個(gè)不 同的三位數(shù) ?分

11、析 :有同學(xué)認(rèn)為只要 把 0, l , 3, 5, 7, 9的排法數(shù)乘以 2即為所求 , 但實(shí)際上抽出 的三個(gè)數(shù)中有 9的話才可能 用 6替換,因而必須分類。抽出的三 數(shù)含 0, 含 9, 有 32種方法;抽出的三 數(shù)含 0不含 9,有 24種 方法;抽出的三 數(shù)含 9不含 0,有 72種 方法;抽出的三 數(shù)不含 9也不含 0,有 24種方法。因此共 有 32+24+72+24=152種方法。例 8.停車場劃一 排 12個(gè)停車位 置,今有 8輛車需要停放,要 求空車 位連在一起, 不同的停車方法是 _種。分析:把 空車位看成一個(gè)元素, 和 8輛車 共九個(gè)元素排列,因而共有 362880種停車方

12、法。3.特殊優(yōu)先特殊元素 ,優(yōu)先處理;特殊位置,優(yōu)先考 慮例 9.六人站成一 排,求(1甲不在排頭,乙不在 排尾的排列數(shù)(2甲不在排頭,乙不在 排尾,且甲乙不相鄰的排法數(shù)分析:(1先考慮排頭,排尾,但這兩個(gè)要求相 互有影響,因而考慮 分類。第一類:乙在排頭,有 p(5,5種 站法。第二類:乙不在排頭,當(dāng)然他也不能在排 尾,有 4X4XP(4,4種 站法, 共 p(5,5+4X4XP(4,4種站法。(2第一類:甲在排尾 ,乙在排頭,有 P(4,4種方法。第二類:甲在排尾,乙不在排頭, 有 3XP(4,4種方法。第三類:乙在排頭,甲不在排頭, 有 4XP(4,4種方法。第四類:甲不在排尾,乙不在排

13、頭, 有 P(3,3XP(4,4種方法。共 P(4,4+3XP(4,4+4XP(4,4+P(3,3XP(4,4=312種。例 10.對(duì)某件產(chǎn)品的 6件不同正 品和 4件不同次品進(jìn)行一一測 試,至 區(qū)分出所有次 品為止。若所有次品恰好在第五 次測試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn),則這 樣的測試方法 有多少種可能 ?分析:本題意指第五次 測試的產(chǎn)品一定是次品,并且是最后一個(gè)次品 , 因而第五次測 試應(yīng)算是特殊位置了,分步完成 。第一步:第五次測試的有 C(4.1種可能;第二步:前四次有一件正品有 C(6.1中可能。第三步:前四次有 P(4.4種可能 。 共有 種可能。4.捆綁與插空例 11. 8人排成一隊(duì)(1甲乙必

14、須相鄰 (2甲乙不相鄰(3甲乙必須相鄰且與丙 不相鄰 (4甲乙 必須相鄰,丙丁必須相鄰 (5甲乙不相鄰,丙丁不 相鄰分析:(1甲乙必須相鄰,就是把甲乙 捆綁 (甲乙可交換 和 7人排 列 P(7.7*2(2甲乙不相鄰, P(8.8-P(7.7*2。(3甲乙必須相鄰且與 丙不相鄰,先求甲乙必須相鄰且 與丙相鄰 P(6.6*2*2甲乙必須 相鄰且與丙不相鄰 P(7.7*2-P(6.6*2*2(4甲乙必須相鄰,丙 丁必須相鄰 P(6.6*2*2(5甲乙不相鄰,丙丁 不相鄰, P(8.8-P(7.7*2*2+P(6.6*2*2 例 12. 某人射 擊 8槍,命中 4槍,恰好有三槍 連續(xù)命中,有多少種不

15、 同的情況 ?分析 : 連續(xù)命中的三槍與單 獨(dú)命中的一槍不能相鄰 ,因而這是一個(gè) 插空問題。另 外沒有命中的之間沒有區(qū)別,不 必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間 形成的 5個(gè)空 中選出 2個(gè)的排列,即 P(5.2。例 13. 馬路上有編號(hào)為 l，2，3，10 十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又 看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只， 在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種? 分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒有 區(qū)別，因而問題為在 7 盞亮著的燈形成的不包含兩端的 6 個(gè)空中選出 3 個(gè) 空放置熄滅的燈。 共 C(6.3=20 種方法。 5

16、間接計(jì)數(shù)法 .(1排除法 例 14. 三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形? 分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。 所求問題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)， 共種。 例 15正方體 8 個(gè)頂點(diǎn)中取出 4 個(gè)，可組成多少個(gè)四面體? 分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)， 共 C(8.4-12=70-12=58 個(gè)。 例 16. l，2，3，9 中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可 組成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù)? 分析：由于底數(shù)不能為 1。 （1）當(dāng) 1 選上時(shí)，1 必為真數(shù)， 有一種情況。 （2）當(dāng)不選 1 時(shí)，從 2-9 中任取

17、兩個(gè)分別作為底數(shù)，真數(shù)，共，其 中 log2 為底 4=log3 為底 9，log4 為底 2=log9 為底 3, log2 為底 3=log4 為底 9, log3 為底 2=log9 為底 4. 因而一共有 53 個(gè)。 (3補(bǔ)上一個(gè)階段，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題 例 17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰，共有多少 種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢? 分析：（一）實(shí)際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱， 具有相同的排法數(shù)。因而有=360 種。 （二）先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序 站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了種， 共=120 種。

18、例 185 男 4 女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多 少種不同的方法? 分析：首先不考慮男生的站位要求，共 P(9.9種；男生從左至右按從 高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了次。因而有 =9×8×7×6=3024 種。 若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法， 同理也有 3024 種，綜上，有 6048 種。 例 19. 三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行，共有多少種不同 的方法? 分析：先認(rèn)為三個(gè)紅球互不相同，共種方法。而由于三個(gè)紅球所占位 置相同的情況下，共有變化，因而共=20 種。 6 擋板的使用 例 2010 個(gè)名額分

19、配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問有多少種不同 的分配方法? 分析： 10 個(gè)名額看成十個(gè)元素， 把 在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中， 選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而 共 36 種。 注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系： 7 注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系 ： 所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充 一個(gè)階段(排序可轉(zhuǎn)化為排列問題。 例 21. 從 0，l，2，9 中取出 2 個(gè)偶數(shù)數(shù)字，3 個(gè)奇數(shù)數(shù)字，可 組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)? 分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素 0 的選取。 （一）兩個(gè)選出的偶數(shù)含 0，則有種。 （二）兩個(gè)選出的偶數(shù)字不含

20、0，則有種。 例 22. 電梯有 7 位乘客，在 10 層樓房的每一層停留，如果三位乘客從 同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有 多少種不同的下樓方法? 分析：（一）先把 7 位乘客分成 3 人，2 人，一人，一人四組，有種。 （二）選擇 10 層中的四層下樓有種。 共有種。 例 23. 用數(shù)字 0，1，2，3，4，5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)， (1可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)? (2可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)? (3可組成多少個(gè)能被 3 整除的四位數(shù)? (4將(1中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列， 問第 85 項(xiàng)是什么? 分析：（1）有個(gè)。 （2）分為兩類：0 在末位，則有種：0 不在末位，則有種。 共+種。 （3）先把四個(gè)相加能被 3 整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來，即先選 0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它們排列出來的數(shù)一定可以被 3 整除，再排列，有：4×(+=96 種。 （4）首位為 1 的有=60 個(gè)。