經(jīng)濟數(shù)學(xué)：經(jīng)濟數(shù)學(xué)第30次授課提綱(1)

1、經(jīng)濟數(shù)學(xué)經(jīng)濟數(shù)學(xué)授課提綱授課提綱n 第二學(xué)期第三十次授課第二學(xué)期第三十次授課n授課教師：郭正光授課教師：郭正光 n授課班級：授課班級：2008級丁穎班級丁穎班n授課教室：經(jīng)貿(mào)學(xué)院授課教室：經(jīng)貿(mào)學(xué)院804n授課時間：授課時間：2009.05.06 9.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù) 上次內(nèi)容復(fù)習(xí)：上次內(nèi)容復(fù)習(xí)：展開方法展開方法直接展開法直接展開法 利用泰勒公式利用泰勒公式間接展開法間接展開法 利用已知級數(shù)展利用已知級數(shù)展開式的函數(shù)展開開式的函數(shù)展開1、 直接展開法直接展開法（1） 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值處的值 ;（2） 寫出麥克勞林級數(shù)寫出麥克勞林級數(shù)

2、 , 并求出其收斂半徑并求出其收斂半徑 R ; （3） 判別在收斂區(qū)間判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)內(nèi))(limxRnn是否為是否為0.作業(yè)：作業(yè)：EX 9-5(1)(1)!nm mmnxn(1)1mxmx )11(x,!1!31!21132nxxnxxxe),(x),(xsin x12! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxxxnnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos),(x2、間接展開法（利用冪級數(shù)的分析性質(zhì)）、間接展開法（利用冪級數(shù)的分析性質(zhì)）ln(1) xx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn例例5 5 將函數(shù)將函數(shù)2( )xf x

3、e展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù). . 例例6 6 將函數(shù)將函數(shù)1( )3f xx展開成展開成 的冪級數(shù)的冪級數(shù). . 1x例例7 7 將函數(shù)將函數(shù)( )sinf xx展開成展開成 的冪級數(shù)的冪級數(shù). . 4x例例8 8 將函數(shù)將函數(shù)( )arctanf xx展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù). . 三、冪級數(shù)的應(yīng)用三、冪級數(shù)的應(yīng)用 例例9 計算計算e的近似值，精確到的近似值，精確到 。1010注意：注意：101113!622702080014!87178291200 位位，10113 1030000000000 位1111 12.71828182852!3!13!e 例例10 計算計算

4、的近似值，要求誤差不超過的近似值，要求誤差不超過0.0001。ln2)11(432)1ln(432xxxxxx 解解 已知已知)11(432)1ln(432xxxxxx故故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,31x于是有于是有9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931. 01131111133113193414102 . 0787321在上述展開式中取前四項在上述展開式中取前四項, , ( 取取 例例11 11 計算積分計算積分12202dxe

5、x的近似值的近似值, ,精確到精確到)56419. 01解解:12xe!) 1(20nxnnn)(xxexd22210 xd 2210!) 1(20nxnnn0!) 1(2nnnxxnd2021.104! 1)(2x!2)(22x!3)(32x0 !) 1(2nnn1221n) 12(n!3721!252132111642xdex22102!3721!252132111642nnnnr22) 12( !1141042102) 12( !nnn則則n應(yīng)滿足應(yīng)滿足4nxexd22120則所求積分近似值為則所求積分近似值為欲使截斷誤差欲使截斷誤差5205. 0,4n取例例12 12 計算積分計算積分xxxdsin10的近似值的近似值, , 精確到精確到解解: 由于, 1sinlim0 xxx故所給積分不是廣義積分.若定義被積函數(shù)在 x = 0 處的值為 1, 2462sin1( 1)3!5!7!(21)!nnxxxxxxn xxx