用頻率估計(jì)概率教學(xué)設(shè)計(jì)

1、“用頻率估計(jì)概率（第1課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì) 滄縣李天木鄉(xiāng)中學(xué)中學(xué) 龐學(xué)臣 一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 內(nèi)容：人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)“25. 3 用頻率估計(jì)概率”（第一課時(shí)）. 內(nèi)容解析： 不確定現(xiàn)象大量存在于自然界和人類社會(huì)中，概率正是研究這種現(xiàn)象、揭示 其統(tǒng)訃規(guī)律并幫助我們形成決策的數(shù)學(xué)工具.且隨著生產(chǎn)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)水平的 提高，概率在現(xiàn)實(shí)生活和科學(xué)預(yù)測(cè)中的作用愈加廣泛和重要，掌握概率的基本知識(shí) 和思想方法已成為現(xiàn)代社會(huì)公民必備的素養(yǎng). “用頻率估計(jì)概率”是“概率初步”這一章的第三節(jié)，是在學(xué)生初步了解概 率的意義及會(huì)用概率的古典定義求一些簡(jiǎn)單等可能事件的概率之后對(duì)概率的進(jìn)一步

2、研究.教材這樣編排其主要意圖有三：1、遵從概率的產(chǎn)生及發(fā)展規(guī)律.歷史上概 率（指客觀概率）的定義經(jīng)歷了三個(gè)階段： 概率的古典定義； 概率的統(tǒng)計(jì)定 義； 概率的公理化定義.2、符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.概率的古典定義相對(duì)簡(jiǎn)單， 所涉事件的概率有確定的結(jié)果，學(xué)生易于接受，而概率的統(tǒng)計(jì)定義其內(nèi)涵更為深刻. 3、相對(duì)于概率的古典定義，用頻率估計(jì)概率的方法更具一般性與普遍性，它不受 列舉法求概率兩個(gè)條件的限制，適用范圍更廣. 所謂頻率，是在相同條件下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的 比值，其本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能夠確定，且隨著試驗(yàn)的不同而發(fā)生改變.而 一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率是確定的常數(shù)，是客觀存

3、在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān).從以上 角度上講，頻率與概率是有區(qū)別的，但在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率 會(huì)呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性：隨著樣本量的增加，頻率將會(huì)越來越集中在一個(gè)常數(shù)附 近，具有穩(wěn)定性，即試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于其理論概率.1713 年，瑞士大數(shù)學(xué)家雅各 布伯努利對(duì)這一客觀規(guī)律性從理論上給予了證明，并提出了大數(shù)定律中的伯努利 定律.基于此，我們可以用這個(gè)穩(wěn)定的頻率作為事件發(fā)生的概率一“一般地，在 大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件 A 發(fā)生的頻率 m 會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù) P 附近，那么事件 A 發(fā)生的概率 P (A)二 P. ”這也就是概率的 統(tǒng)計(jì)定義.它突破了對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生結(jié)果的等可能性與有限性的限制， 揭

4、示了偶然 性中蘊(yùn)含的必然規(guī)律.“頻率穩(wěn)定性”是概率統(tǒng)訃定義的核心， 相比古典定義“用 頻率估計(jì)概率”更具普適性，它是求概率最基本的方法. 教學(xué)重點(diǎn)：了解用頻率佔(zhàn)計(jì)概率的必要性和合理性. 二、目標(biāo)和目標(biāo)解析： U 標(biāo)：了解用頻率佔(zhàn)訃概率的必要性和合理性，初步理解概率的統(tǒng)計(jì)定義； 能通過對(duì)事件發(fā)生頻率的分析，估計(jì)事件發(fā)生的概率；培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和處理 數(shù)據(jù)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神. 口標(biāo)解析： 1、 能夠通過試驗(yàn)獲得事件發(fā)生的頻率，并通過大量重復(fù)試驗(yàn)，讓學(xué)生體會(huì)到 隨機(jī)事件內(nèi)部所蘊(yùn)涵的客觀規(guī)律一一頻率的穩(wěn)定性.知道大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率可作 為事件發(fā)生概率的估計(jì)值. 2、 結(jié)合生活實(shí)例，能進(jìn)一步明

5、晰頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系，了解用頻率估計(jì) 概率的方法與列舉法求概率的區(qū)別，并能夠通過對(duì)事件發(fā)生頻率的分析，估計(jì)事件 發(fā)生的概率. 3、 在經(jīng)歷用試驗(yàn)的方法探究概率的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、處理數(shù)據(jù) 的能力，進(jìn)一步增強(qiáng)統(tǒng)訃意識(shí)、發(fā)展概率觀念，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的態(tài)度、勇 于探索的精神及交流與協(xié)作精神. 三、教學(xué)問題診斷分析 1、 山于學(xué)生初學(xué)概率，且在此之前面對(duì)求概率的隨機(jī)事件都是等可能事件， 對(duì)于一些結(jié)果不是等可能的隨機(jī)事件（如：認(rèn)為姚明一次罰籃的結(jié)果進(jìn)與不進(jìn)是等 可能的）會(huì)依然采取列舉法，這類現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是對(duì)用列舉法求概率的兩個(gè)條件 把握不夠，對(duì)事件發(fā)生的可能性大小分析不透徹所致.

6、2、 頻率在一定程度上可以反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小， 但頻率本身是隨 機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，無法從根本上刻畫事件發(fā)生可能性的大小，只有在大量 重復(fù)試驗(yàn)的條件下，可以近似地作為這個(gè)事件的概率.概率是巨大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)后得出 的結(jié)論，是一種大的整體趨勢(shì)，是頻率在理論上的期望值，它是一個(gè)確定的常數(shù)， 是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān).頻率與概率是從量變到質(zhì)變，是對(duì)立統(tǒng)一的.對(duì) 于初學(xué)者，對(duì)兩者關(guān)系的理解，還需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過程. 3、 容易忽略“大量重復(fù)試驗(yàn)”這個(gè)用頻率佔(zhàn)計(jì)概率前提條件.這一問題的出 現(xiàn)也是對(duì)概率思想的內(nèi)涵把握不夠所致.概率是針對(duì)大量重復(fù)試驗(yàn)而言的，如果試 驗(yàn)次數(shù)太少，試驗(yàn)頻率可能會(huì)與

7、理論概率值產(chǎn)生較大的偏差，進(jìn)而不能合理的估計(jì) 概率. 教學(xué)難點(diǎn)：大量重復(fù)試驗(yàn)得到頻率穩(wěn)定值的分析，對(duì)頻率與概率之間關(guān)系的 理解. 四、教學(xué)過程： （-）知識(shí)回顧： 1、普査（總體 個(gè)體）抽樣調(diào)查（樣本） 頻率（頻數(shù)）概率（必然事件 不可能事件 隨機(jī)事件）2、用列舉法求概率的條件是什么？ （-）情景引入： 問題 1：姚明罰籃一次命中概率有多大？ 某校學(xué)生“NBA”（美國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽）08-09 賽季火箭隊(duì) VS 奇才隊(duì)的 比賽中，在姚明罰籃球出手后，老師提問題：姚明罰進(jìn)的概率有多大？學(xué)生先思 考、討論、發(fā)言后出示甲、乙、丙的說法： 甲：100% 姚明是世界明星嘛！乙：50% 因?yàn)橹挥羞M(jìn)和不進(jìn)

8、兩種結(jié)果， 所以概率為 50%.丙：80% 姚明很準(zhǔn)的，大概估計(jì)有 80%的可能性. 同學(xué)們，你們同意誰(shuí)的觀點(diǎn)？ 學(xué)生充分交流后，老師對(duì)不同說法進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)，并借機(jī)復(fù)習(xí)用列舉法求 概率的條件，引導(dǎo)學(xué)生分析進(jìn)與不進(jìn)的可能性不相等，不能用列舉法來求概率. 師：那它究竟有沒有規(guī)律，或者說還有沒有其它的辦法探求概率呢？ （老師給出 0809 賽季姚明罰籃命中率 86. 6%.） 師：姚明的命中率從何而來？（統(tǒng)汁結(jié)果） 怎么統(tǒng)計(jì)的？（罰中個(gè)數(shù)與罰球總數(shù)的比值） 這個(gè)比值叫什么？（這實(shí)際上就是頻率，這種方法實(shí)際上就是用頻率佔(zhàn)計(jì)概 率） 在此基礎(chǔ)上，導(dǎo)出課題.設(shè)汁意圖： 從學(xué)生熟悉、 感興趣的事物和最喜歡

9、的球星引入， 激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 的同時(shí)，得出姚明罰籃命中的可能性不相等，山此引發(fā)認(rèn)知沖突，導(dǎo)入新課. （二）試驗(yàn)探究 問題 2：怎樣用頻率估計(jì)概率？ 1、 拋擲一枚質(zhì)地均勻硬幣正面（有數(shù)字的一面）向上的概率是二分之一，這 個(gè)概率能否利用剛才計(jì)算命中率方法一通過統(tǒng)訃很多擲硬幣的結(jié)果來得到呢？ 設(shè)計(jì)意圖：已知概率的情況下引入試驗(yàn)，基于以下原因：（1）拋擲硬幣試驗(yàn) 所需條件容易實(shí)現(xiàn)，可操作性強(qiáng)；（2）硬幣試驗(yàn)歷史上積累了大量數(shù)據(jù)，更有利 于問題的說明；（3）用頻率估計(jì)概率可以和前兩節(jié)學(xué)習(xí)的概率的古典定義統(tǒng)一， 兩種不同的方法求得的是同一個(gè)概率，且概率的統(tǒng)計(jì)定義比古典定義更具一般性. 2、 試驗(yàn)一（擲硬幣

10、試驗(yàn)） 全班共分 8 個(gè)小組，每小組 5 人，共拋 50 次，推薦組長(zhǎng)一名，組長(zhǎng)不參與拋 擲. （1） 拋擲要求：拋擲時(shí)請(qǐng)將書本文具收入課桌內(nèi)；兩人一組合，完成 25次拋擲，一人拋一人畫“正”記數(shù)，拋擲一次劃記一次，“正面向上” 一次劃 記一次；拋的高度要達(dá)到自己坐姿的頭頂高度，若碩幣掉在地上，本次不作記錄. （2） 組長(zhǎng)職責(zé)：檢查組員拋擲是否符合要求；收集本組數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)錄 入教師機(jī)中的拋擲情況表.全班共同填寫碩幣拋擲統(tǒng)計(jì)表（表 3）,將第 1 組數(shù)據(jù) 填在第一列，第 1、2 組的數(shù)據(jù)之和填在第二列，8 個(gè)組的數(shù)據(jù)之和填在第 8 列. 設(shè)計(jì)意圖：“在相同條件下”使數(shù)據(jù)更真實(shí)有效；合理分組，可

11、以減少 勞動(dòng)強(qiáng)度，加快試驗(yàn)速度，同時(shí)在培養(yǎng)動(dòng)手能力與探索精神中，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神. 表 1 （個(gè)人拋擲情況統(tǒng)計(jì)表） 名 9bW 劃 記 正面向上 的次劃 記 25 表 2 （小組拋擲情況統(tǒng)計(jì)表） 小 組 二 三 四 五 七 A n-50W.正面向上戲茲 正面向上的頻密 表 3 （硬幣拋擲統(tǒng)訃表） 50 1OO 150 200 250 300 3 50 400 設(shè)訃意圖：這兒個(gè)圖表的給出可以正確有效地引導(dǎo)學(xué)生在有限的課堂時(shí)間內(nèi) 高效率地得到相關(guān)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)及整理描述數(shù)據(jù)，為分析數(shù)據(jù)作準(zhǔn)備.同時(shí)，試驗(yàn)整 個(gè)操作過程均山學(xué)生參與完成，教師只是作為組織者參與其中，關(guān)注學(xué)生的投入程 度一能否積極、主動(dòng)地從

12、事各項(xiàng)活動(dòng)，向同伴解釋自己的想法，聽取別人的建議 與意見；關(guān)注學(xué)生在活動(dòng)中表現(xiàn)岀的實(shí)踐能力、思維水平.團(tuán)隊(duì)意識(shí). 50 100 50 200 250 300 350 4QQ 正面向上的磁冊(cè) 正面向上的坂昭1 正面向上的頻率 / 7/ 圖2 問題 3：分析試驗(yàn)結(jié)果及史上數(shù)學(xué)家大量重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，大家有何發(fā)現(xiàn)? 3、分析數(shù)據(jù) 全班填寫表 3 得到碩幣正面向上頻率的同時(shí)，教師在黑板上繪制折線圖，完 成后教師提問： 隨著拋擲次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率在哪個(gè)數(shù)字的左右擺動(dòng)？ 隨著拋擲次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率在 0. 5 的左右擺動(dòng)幅度有何規(guī) 律？（學(xué)生從折線圖 1 中難以發(fā)現(xiàn)） 師：接下來，我們

13、增加試驗(yàn)次數(shù)，看看有什么新的發(fā)現(xiàn)，歷史上有許多數(shù)學(xué) 家為了弄清其中的規(guī)律，曾堅(jiān)持不懈的做了成千上萬(wàn)次的擲硬幣試驗(yàn). 助那i妙“ “正面向上”改數(shù)血 正面同上”叛;罟 檢莫弗 2048 lOfi 0 518 苻豐 4040 20 鋸 0 5069 1000( 4979 0 W9 12000- 6019 0 5016 24000 120 匕 0 5005 引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)，師：還有一位數(shù)學(xué)家，做了八萬(wàn)多次的試驗(yàn). 觀察頻率在 0. 5 附近擺動(dòng)幅度有何規(guī)律？ 觀察折線圖 2： 八 正曲問上的褻車2 .9 _ n _ -一 亍 _ 1 y 0 2048 KMO 1000012(X)0 240

14、00 請(qǐng)大家分析，兩個(gè)折線圖反映的規(guī)律有何區(qū)別？什么原因造成了不同？學(xué) 生得出：圖一，試驗(yàn)次數(shù)少一些，“正面向上”的頻率在 0. 5 左右擺動(dòng)的幅度大 一些 你們認(rèn)為出現(xiàn)的規(guī)律與試驗(yàn)次數(shù)有何關(guān)系？（試驗(yàn)次數(shù)越多頻率越接近 0. 5,即頻率穩(wěn)定于概率.） 數(shù)學(xué)家為什么要做那么多試驗(yàn)？ 當(dāng)“正面向上”的頻率逐漸穩(wěn)定到 0. 5 時(shí)，“反面向上”的頻率呈現(xiàn)什么 規(guī)律？概率與頻率穩(wěn)定值的關(guān)系是什么呢？ 師生共同小結(jié)：至此，我們就驗(yàn)證了可以用計(jì)算罰籃命中率的方法來得到硬 幣正面向上”的概率. 設(shè)汁意圖：這六個(gè)問題的設(shè)置，循序漸進(jìn)，促使學(xué)生更深入的分析數(shù)據(jù)，學(xué) 生發(fā)現(xiàn)大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率穩(wěn)定于概率，在頭腦中

15、再現(xiàn)了知識(shí)的形成過程，避免單 純地記憶，使學(xué)習(xí)成為一種再創(chuàng)造的過程. 問題 4：從一定高度落下的圖釘，落地后可能圖釘尖著地，也可能圖釘尖不 著地，估計(jì)一下哪種事件的概率更大. 試驗(yàn)二（拋擲圖釘試驗(yàn)） 試驗(yàn)規(guī)則：1、全班分成 8 個(gè)小組，每小組 5 人，每組共完成 50 次試驗(yàn)，兩 人一組合完成 25 次試驗(yàn)，統(tǒng)一從數(shù)學(xué)課本高度處落下，做好記錄；2、每個(gè)小組的 組長(zhǎng)匯總 50次試驗(yàn)的結(jié)果，并報(bào)給教師，教師利用電子表格自動(dòng)得出各組頻率及 累加后頻率，繪制折線圖. 表 4 （小組拋擲圖釘統(tǒng)計(jì)表） 分 組 - - 四 五 七 八 50 時(shí).臥尖奇地“頻數(shù)盼 “釘尖務(wù)地”頻攀 - 表 5 （圖釘拋擲統(tǒng)訃表） 試驗(yàn)次勃:介 50 100 150 200 250 300 350. 400 450 “