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1、階ODE的初等解法2.一階ODE的初等解法 LeibnitzEuler,曾經(jīng)專門從事利用的辦法來(lái)解決一階微分方程的求解問(wèn)題,而則試圖利用的辦法統(tǒng)一處理這一問(wèn)題.但實(shí)踐證明 單純采用一種方法各有其不便和困難.因此必須對(duì)具體變量替換積問(wèn)題具分因子體分析.2( )( )( )dyp x yq x yr xdxRiccati 能有初等解法的微分方程是很有限的,例如形式上很簡(jiǎn)單的方程.Liouville1841,. 一般就沒(méi)有初等解法法國(guó)數(shù)學(xué)家在年證明了這一事實(shí) 這就促使人們尋求別的方法來(lái)研究微分方程的求解問(wèn)題階ODE的初等解法,.,.,.熟悉各種類型方程的解法正確而又敏捷地判斷 一個(gè)給定的方程屬于何種
2、類型從而循法求解學(xué)習(xí)解題技巧總結(jié)經(jīng)驗(yàn) 培養(yǎng)機(jī)智與靈活性善于根據(jù)方程的特點(diǎn)引進(jìn)適宜的變換 將方程化 為能求解的目與要求新類型的階ODE的初等解法1.變量分離方程-( ) ( )dyf x g ydx形如( ), ( )( )( )dydyf x dxf x dxcg yg y2 cos , ( )1.:0dyyx ydx例21cos.:dyxdxy分離變量,得解1sin.xcy兩邊積分,得1.sinyxc 通解為0,11.1 (1 sin ).xycyx 令得故所求特解為,0,y 此外 方程還有解但不滿足初值條件.階ODE的初等解法2.可化為變量分離方程的類型1)dyygdxx齊次方程,yux令
3、,dyduyuxuxdxdx則 ( )duuxg udx代入原方程得( ) dug uudxx即階ODE的初等解法t: an.dyyydxxx例 ,:,.ydyduuyuxuxxdxdx令解則代入原方程得tan , tan .duduuxuuxudxdxcos.sinududxux分離變量得 1ln sinln.uxc兩邊積分得 1sin,0.cucxce 整理得其中sin0.0.uc此外,方程還有解故通解中允許sin,.ycx cx原方程的通解為 階ODE的初等解法1112222)a xb ycdydxa xb yc形如的方程12Case1. 0cc11112222yaba xb ydyyx
4、gydxa xb yxabx12111222C ,ase2.0aaabkbbab即22122222()()k a xb ycdyf a xb ydxa xb yc2222,( ).duua xb yab f udx令則方程化為階ODE的初等解法12221212Cas 00e3.aaccbb且1112220( ,)(0,0)0a xb yca xb yc 兩直線相交于一點(diǎn)1122()()0()()0a xb yaxby即,XxYy令則1122a XbYdYYgdXa Xb YX階ODE的初等解法1: 3dyxydxxy例101,2.3:0 xyxyxy 得解由1,.2XxdYXYYydXXY 令
5、則21 2,1Yduu uuYuXXXdXu令即則 211 2du udXuuX分離變量得 (*)122lnln21,Xuuc 兩邊積分得 122 (21),0.cXuuc ce221 0,uuc 此外,容易驗(yàn)證也是(*)的解.故通解中 可取任意常數(shù).代回原變量得原方程的通解22262,.yxyxyxc c階ODE的初等解法3.一階隱方程1)( ,) 2)( ,)3) ( ,)0 4) ( ,)0yf x yxf y yF x yF y y1)( ,)()yf x y微分法,( , )pyyf x p令則 , ( , )( , )xpdpxpfx pfx pdx兩邊對(duì) 求微分則 ( , )(
6、, )0 xpfx pp dxfx p dp即 ( , ),( , ( , ).xppu x cyf x u x c這是關(guān)于 和 的顯式方程,若求得其通解則原方程的通解為 階ODE的初等解法2 ()290: x yyyx例,: py解 令則9 22xxpyp(*),x兩邊對(duì) 求導(dǎo) 整理得2190 22dppxpdx(*)2 9dpppdxx它蘊(yùn)含 或 3,3.pcxpp 由此得(*)的通解 和兩個(gè)特解33 ,yx yx 代入(*)得原方程的特解 ,及通解299, .2222xxpcyxcpc階ODE的初等解法29,22cyxc3 3 ,yxyx ,包絡(luò)階ODE的初等解法2)( ,)()xf y
7、 y微分法,( , )pyxf y p令則 1, ( , )( , )ypdpfyy pfy ppdy兩邊對(duì) 求微分 則 1( , )( , )0ypfy pdyfy p dpp即 ( , ),( , ( , ).yppu y cxf y u y c這是關(guān)于 和 的顯式方程,若求得其通解則原方程的通解為 階ODE的初等解法3) ( ,)0()F x y 參數(shù)法,( , )0,( , )( ),( ).,( ) ( )( )( ) ( ), .pyF x px pxg tph tdypdxh t g t dtxg tyh t g t dtCC 令則它在平面上一般表示若干條曲線.設(shè) 于是 因此原方
8、程有通解 4) ( ,)0()F y y 參數(shù)法 3處理方法同 )階ODE的初等解法22 1:dyydx例 cos ,n).:si,(dyyt pttdx 解 設(shè)則11cos sindxdydtdtpt (*). ,xtc 從而因此 原方程的通解為 原方程除了參數(shù)表達(dá)式(*)外,還有1, 0,dyydx 1.y 因此原方程還有兩個(gè)特解,cos .xtc yt ,cos(),.tycx c消去 得 Remark:,(0)1y此方程滿足初值條的解不唯一件為1cos .yyx或是否與解的存在唯一性定理矛盾?階ODE的初等解法4.恰當(dāng)方程( , )( , )0 ( , )( , )( , )(e .,
9、 )D fP x y dx Q x y dyu x yP x y dx Q x y dydu x y稱具有對(duì)稱形式的一階微分方程 (*)為,若方程左端是某個(gè)二元函數(shù)的全微分 恰當(dāng)方程 .( , ).u x yc容易驗(yàn)證恰當(dāng)方程(*)的解為Question1.如何判斷(*)是否恰當(dāng)方程?Question2.如何求恰當(dāng)方程的解?QPxy積分與路徑無(wú)關(guān),一般方法:偏積分法階ODE的初等解法222R()emarklnarctan: ydxxdyxydxxdyd xydyyydxxdyxydxxdyxddxyyyxy通常判斷方程是恰當(dāng)方程后,并不需要按上述一般方法來(lái)求解,而是采取分項(xiàng)組合的辦法,先把那些
10、本身已經(jīng)構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出,再把剩下的項(xiàng)湊成全微分.這種方法要求熟記一些簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的微分,如 221ln2ydxxdyxydxyxy 階ODE的初等解法211 cos0:xxdxdyyyy例 : 把方程分解項(xiàng)組合,得21cos0.ydxxdyxdxdyyy sinln0,xdxdydy即 sinln0.xdxyy于是方程的通解為sinln,.xxyc cy 階ODE的初等解法5.積分因子( , ),( , ) ( , )( , ) (Def, )0 ( , )( , )( , )0 .x yx y P x y dxx y Q x y dyx yP x y dx Q x y dy若存在連續(xù)可
11、微的函數(shù)使得 (*)為恰當(dāng)方程,則稱為方程 (*)的積分因子.()(),PQyx若(*)為恰當(dāng)方程 則即yyxxPPQQ0,yx若(*)存在只與 有關(guān)的積分因子,則且(), .yxxyxPQdQPQdxQ即階ODE的初等解法( )( ) ( )exp( )Remark.yxxxPQxxQxx dx(*)存在只與 有關(guān)的積分因子的充要條件是僅為的函數(shù).此時(shí) :( )( ) ( )exp( ).yxyyPQyyPyy dy 同理,(*)存在只與 有關(guān)的積分因子的充要條件是僅為的函數(shù).此時(shí) 階ODE的初等解法 ( cossin:)( sincos )0yxxx dxyxxx dy例cossin ,s
12、incos: .Pyxxx Qyxxx解cos ,coscossin ,1.yxyxPQPx QyxxxxP,ye方程兩邊乘積分因子得( cossin )( sincos )0.yye yxxx dx eyxxx dy( , )( cossin )( sincos ),yydv x yeyxxx dxeyxxx dy設(shè)則( , )( cossin )( )yv x ye yxxx dxg y( sincossin )( ).yeyxxxxg yy兩邊對(duì) 求導(dǎo),得( sincos )( sincos )( ),yyeyxxxeyxxxg y( )0.g y( , )( sincossin ).y
13、v x yeyxxxxc故( sincossin )0.yeyxxxxc 原方程的通解為階ODE的初等解法): ()0 xy dxyx dy例() ()0.: xdxydyydxxdy原方程等價(jià)于 解 221,xy兩組都有積分因子于是22220.xdxydyydxxdyxyxy221ln()arctan0.2xdxydy即 原方程的通解為221ln() arctan,.2xxyC CyRemark: 先分組,再找公共的積分因子,往往能簡(jiǎn)化計(jì)算.階ODE的初等解法32(3)(2)0: xy dxx yx dy例32(32) ()0.: x dxx ydyydxxdy 解 分組得 2222,.xy
14、xy111第二組有積分因子 如果同時(shí)照顧到第,一組2x1則是兩組公共的積分因子,從而232)0.ydxxdyxdxydyx(2230.2ydxydx即 于是原方程的通積分為223,.2yxyC Cx階ODE的初等解法( )( ) dyp x yq xdx用積分因子法解例! ( )( ):0.p x yq x dx dy把方程改寫為解 ( )( ), 1, ( ).yxPQPp x yq xQp xQ( ),p x dxe方程兩邊乘積分因子得( )( )( ) ( )( )0.p x dxp x dxp x dxp x eydx edyq x edx( )( )( ).p x dxp x dxd
15、q x eye于是 ( )( )( ),p x dxp x dxyeq x edx C原方程的通解為 ( )( )( ).p x dxp x dxyeq x edx C即 階ODE的初等解法( )( )Remar( )( )k:( )( ).dyp x yq xy xp x y xq xdx將記為00( )( )( )( )p t dtp t dtxxxxq x ey x e0 xx兩邊從 到 積分,得0000( )( )( )()( ),xxp t dtp t dtxsxxy x ey xq s eds0( )p t dtxxe兩邊乘得于是0000( )( )( )()( )xxp t dt
16、p t dtxsxxy xey xq s eds000( )( )( )( ).xxp t dtp t dtxxxsy x eq s eds階ODE的初等解法1 111122222121112221122, , ., ( )(),)Th)0.m*PdxQdydPdxQ dydg g stggPdx QdyPdx Q dy設(shè) 若 函數(shù)則 為 (的積分因子1111122222111222( )()0,( )Proof).(0.gPdx QdygPdx Q dygdgd方程兩邊同乘 得 (即 階ODE的初等解法6.常數(shù)變易法( )( ) (1)dyp x yq xdx( )dyp x ydx用分離變
17、量法求得的解為( )( ).p x dxy xCe(1)設(shè) 的解為(1)( )(1)C x代入確定得 的解( )( )( ).p x dxp x dxyeq x edx C( )( )( ),p x dxy xeC x階ODE的初等解法): (0ydxyx dy例: ,1,1,yxPy Qyx PQ 方程不是解法一恰當(dāng)?shù)?2,yxPQyPy由于只與 有關(guān)故方程有積分因子221expexp2ln.dyyyy221 0.ydxxdydyyyy以乘方程兩邊,得 ln,.xyc cy因而原方程的通解為 0.y 此外方程有特解階ODE的初等解法: 將解法二方程改寫為.ydxxdyydy22221111,
18、.xyyxxy左端有積分因子,但考慮到右端只與21.yy有關(guān),故取以下同解法一. ,:dyydxxy將方程改寫為解法三這是齊次方程.,yux令1lnln,.uxc cu通解為ln,.xyc cy代回原來(lái)的變量即得 21.udxduxu代入得 0.y 此外方程有特解階ODE的初等解法:1. dxxdyy將方程解法四(常數(shù)變易改法)寫為.dxxxcydyy齊次方程的通解為( ) ,dxxxc y ydyy設(shè)非齊次方程1的通解為代入得( )( )( ) 1,c y yc yc y1( ),c yy( )ln, .c yycc( ln), .xyycc故原方程的通解為 0.y 此外方程有特解階ODE的
19、初等解法7.Bernoulli( )( ),0,1ndyp x yq x y ndx方程 ny以乘方程兩邊,得1( )( ),nndyyp x yq xdx1,nzy令則(1) ( )(1) ( ),dzn p x zn q xdxODE,.zzy這是關(guān)于 的一階線性求出 從而得0,Bernoulli0.ny此外,若方程還有特解階ODE的初等解法2: 6dyyxydxx例112)1:(. ,dzd ydyzydxdxy dx令則 解6.dzzxdxx代入原方程,得 26,.8cxzcx這是線性方程,其通解為 261 ,.8cxcyx原方程的通解為 0y 此外,也是原方程的解. 階ODE的初等解
20、法28.Riccati( )( )( )dyp x yq x yr xdx方程* Riccati( ),( ),Bernoulli,xyzx 若我們有辦法找到方程的一個(gè)特解則經(jīng)過(guò)變換后 方程就變?yōu)榉匠?因而可解.( ),yzx事實(shí)上,將帶入方程 得22 2( ).zpzp zpxqzqr2( ),pxqr 由于Bernoulliz我們得到 的方程2 (2) .zpzpq z ,Riccati( ).zyzx求出 即得方程的通解Riccati, 找方程的特解時(shí) 通常嘗試指數(shù)函數(shù),冪函數(shù),三角函數(shù),常數(shù)函數(shù)等簡(jiǎn)單函數(shù).階ODE的初等解法22 2 sinco:ssinyyyxxx例.: sinyx方
21、程有特解解sin ,yzx 令代入方程 得20.zz1,0.zczxc解得 或 于是原方程的通解為1sin,.yxcxc另有特解sin .yx階ODE的初等解法9.變量替換法331: 01dyxydxx y例,: ,uxy vxy 解 令則211dydudxdyuvdxdydvxdyydxvyxdx22222(1),11duvdvd vuvv22(1),0.uc vc0u 此外,也是解.故原方程的通解為222()(1),.xyc x yc33(1)(1)0Remark,: xy dxx y dy本題也可以改寫為 用積分因子法來(lái)求解.階ODE的初等解法 ( )( )0: x tx t例( )(
22、):,. xyy tx tyx令則原方程化為解( )cos ( ),( )sin ( ).cossinsin (1) sincoscos (2)xr tt yr ttrrrrrr再令則 (1) cos(2)sin , 0,(2) cos(1)sin , .rrr得得 120,0,.rctcrc 于是,或1212 cos(), ,xctcc c故原方程的通解為1212 cossin , ,.xctct c c也即 階ODE的初等解法1 0,),lim ( ( )( )0,lim( )0.:xxfCf xfxf x設(shè)且證明 例( )( )( ):,g xf xfx令解法一則lim( )0,xg x
23、且10.綜合例題0( ).( ) xxtf xecg t e dt110,0,( ).xg x 當(dāng)時(shí),此時(shí),11100( )( ).( )( )xxxtttg t e dtg t e dtg t e dAte21210,()/.xxAe當(dāng)時(shí),2x于是,當(dāng)時(shí)10( )2().xxxxtAg t e dteeelim( )0.xf x故階ODE的初等解法( )( )( ):,g xf xfx令解法二則lim( )0,xg x且0( ).( )xxtf xecg t e dtLHosptial由法則0( )lim( )limxtxxxcg t e dtf xe( )lim xxxg x eelim( )lim0.( )( )xxg xf xfx階ODE的初等解法( ), ( )( ) , ,( )0,:f x g xy xa bf x 例設(shè)和為上的連續(xù)函數(shù)且( )( ) ( ),(: )0,( )( ) ( ).xah xf t y t dth ah xf x y x令則解(
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