高考試題分類匯編數(shù)學(xué)(理科)之專題_數(shù)列(word解析版)

1、2011年高考試題數(shù)學(xué)（理科）數(shù)列一、選擇題:1. (2011年高考天津卷理科4)已知為等差數(shù)列，其公差為-2，且是與的等比中項，為的前n項和,則的值為A-110B-90C90D110已知為等差數(shù)列，其公差為-2，且是與的等比中項，為的前項和，則的值為A-110B-90C90D110【答案】D.【解析】，解之得，.2. (2011年高考江西卷理科5)已知數(shù)列的前項和滿足:,且,那么 ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55答案：A 解析：，則（A）8 （B）7 （C）6 （D）5【答案】D【解析】故選D。5.(2011年高考上海卷理科18)設(shè)是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，是邊長為的矩形面積

2、（），則為等比數(shù)列的充要條件為（ ）A是等比數(shù)列。 B或是等比數(shù)列。C和均是等比數(shù)列。D和均是等比數(shù)列，且公比相同?！久}意圖】本題考查等比數(shù)列的概念及充要條件的判斷問題，難度較大.【答案】D【解析】由題意知=，若是等比數(shù)列，則=為非0常數(shù)，即=，=，和成等比數(shù)列，且公比相等；反之，若奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，且公比相等，設(shè)為，則=，則是等比數(shù)列，故選D.二、填空題1. (2011年高考廣東卷理科12)設(shè)是等差數(shù)列的前項和，且，則答案：25解析：由可得，所以。2. (2011年高考廣東卷理科11)等差數(shù)列前9項的和等于前4項的和.若，則.【答案】10【解析】由題得3. (2011年高考湖北

3、卷理科13)九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自下而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為升答案：解析：設(shè)從上往下的9節(jié)竹子的容積依次為a1,a2,，a9，公差為d，則有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,聯(lián)立解得：.即第5節(jié)竹子的容積.4.(2011年高考陜西卷理科14)植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為（米）?！敬鸢浮?000【

4、解析】設(shè)樹苗集中放置在第號坑旁邊，則20名同學(xué)返所走的路程總和為=即時.5.(2011年高考重慶卷理科11)在等差數(shù)列中，則解析：74. ，故6.(2011年高考江蘇卷13)設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_【答案】【解析】考察綜合運用等差、等比的概念及通項公式，不等式的性質(zhì)解決問題的能力，難題。由題意：，而的最小值分別為1，2，3；。7(2011年高考北京卷理科11)在等比數(shù)列an中，a1=，a4=-4，則公比q=_；_?！敬鸢浮? 三、解答題:1. (2011年高考山東卷理科20)（本小題滿分12分）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的

5、任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求數(shù)列的通項公式；（）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和.【解析】（I）當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，不合題意。因此所以公式q=3，故 （II）因為所以 所以當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，綜上所述，2.(2011年高考遼寧卷理科17)（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列an滿足a2=0，a6+a8= -10（I）求數(shù)列an的通項公式；（II）求數(shù)列的前n項和.（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列的通項公式為 5分 （II）設(shè)數(shù)列，即，所以，當(dāng)時，所以綜上，數(shù)列3.(2011年高考

6、浙江卷理科19)（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項 (),設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，成等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項公式及（）記，當(dāng)時，試比較與的大小.【解析】（） 則 ，（）因為，所以當(dāng)時，即；所以當(dāng)時，；當(dāng)時， .4.(2011年高考安徽卷理科18)（本小題滿分13分）在數(shù)1和100之間插入個實數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個數(shù)的乘積記作，再令.（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)求數(shù)列的前項和.【命題意圖】：本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對數(shù)運算，兩角差的正切公式等基本知識，考查靈活運用知識解決問題的能力，綜合運算能力和創(chuàng)新思維能力?！窘馕觥浚海ǎ?gòu)成遞增的等比數(shù)列，其中，則并利用

7、等比數(shù)列性質(zhì)得，（）由（）知，又所以數(shù)列的前項和為【解題指導(dǎo)】：做數(shù)列題時應(yīng)優(yōu)先運用數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，本題考查的是等比數(shù)列前n項積，自然想到等比數(shù)列性質(zhì)：，倒序相乘法是借鑒倒序相加法得到的，這樣處理就避免了對n奇偶性的討論。第二問的數(shù)列求和應(yīng)聯(lián)想常規(guī)的方法：倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法。而出現(xiàn)時自然應(yīng)該聯(lián)想正切的和角或差角公式。本題只要將這兩個知識點有機結(jié)合起來就可以創(chuàng)造性的把問題解決。5.(2011年高考全國新課標(biāo)卷理科17)（本小題滿分12分）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且(1)求數(shù)列的通項公式.(2)設(shè)求數(shù)列的前項和.分析：(1)先求首項和公比，后求通項(2)可以先求出，然后得新數(shù)列通項

8、后再求和解析：（）設(shè)數(shù)列an的公比為q，由得所以。由條件可知a0,故。由得，所以。故數(shù)列an的通項式為an=。（）故所以數(shù)列的前n項和為點評：本題考查等比數(shù)列通項公式，性質(zhì)、等差數(shù)列前項和，對數(shù)運算以及數(shù)列求和（列項求和）與數(shù)列綜合能力的考查。解答過程要細心，公式性質(zhì)要靈活運用。6. (2011年高考天津卷理科20)（本小題滿分14分）已知數(shù)列與滿足：，且（）求的值；（）設(shè)，證明：是等比數(shù)列；（）設(shè)證明：【解析】本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法.（）解:由,可得, 又當(dāng)n=1時,由,得;當(dāng)n=2時,可

9、得.當(dāng)n=3時,可得.（）證明:對任意,-得 ,將代入,可得即(),又,故,因此,所以是等比數(shù)列.（III）證明：由（II）可得，于是，對任意，有將以上各式相加，得即，此式當(dāng)k=1時也成立.由式得從而所以，對任意，對于n=1，不等式顯然成立.所以，對任意7. (2011年高考江西卷理科18)（本小題滿分12分）已知兩個等比數(shù)列，滿足，.（1）若，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列唯一，求的值.解：（1）當(dāng)a=1時，又為等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為，由等比數(shù)列性質(zhì)知： ，同時又有所以：（2）要唯一，當(dāng)公比時，由且， ，最少有一個根（有兩個根時，保證僅有一個正根），此時滿足條件的a有無數(shù)多個，不符合。當(dāng)公比

10、時，等比數(shù)列首項為a，其余各項均為常數(shù)0，唯一，此時由，可推得符合綜上：。8. (2011年高考湖南卷理科16)對于，將表示為，當(dāng)時，當(dāng)時，為或.記為上述表示中為的個數(shù)（例如：，故，），則（1）；（2）.答案：2; 1093解析：（1）由題意知，所以2；（2）通過例舉可知：，且相鄰之間的整數(shù)的個數(shù)有0，1，3，7，15，31，63.它們正好滿足“楊輝三角”中的規(guī)律：從而.評析：本小題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力、探究問題能力和創(chuàng)新意識.以二進制為知識背景，著重考查等比數(shù)列求和以及“楊輝三角”中的規(guī)律的理解和運用.9. (2011年高考廣東卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足,(1) 求數(shù)列的通項公式；(2)

11、證明：對于一切正整數(shù)n,【解析】（1）由令，當(dāng)當(dāng)時，當(dāng) （2）當(dāng)時，（欲證），當(dāng)綜上所述10. (2011年高考湖北卷理科19)（本小題滿分13分）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足：()求數(shù)列的通項公式；()若存在，使得成等差數(shù)列，試判斷：對于任意的，且，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般的思想.解析：（）由已知，可得，兩式相減可得即又，所以當(dāng)時，數(shù)列為：；當(dāng)時，由已知，所以于是由，可得，成等比數(shù)列，當(dāng)時，綜上，數(shù)列的通項公式為（）對于任意的，且成等差數(shù)列，證明如下：當(dāng)r=0時，由（）知，對于任意的，且成等差數(shù)列；當(dāng)時，若

12、存在，使得成等差數(shù)列，則，即，由（）知，的公比r+1=2，于是對于任意的，且，從而，即成等差數(shù)列.綜上，對于任意的，且成等差數(shù)列.11.(2011年高考重慶卷理科21)（本小題滿分12分。（）小問5分，（）小問7分） 設(shè)實數(shù)數(shù)列的前n項和滿足 （）若成等比數(shù)列，求和（）求證：對有。解析：（）由題意，得，由是等比中項知，因此，由，解得， （）證明：有題設(shè)條件有，故，且從而對有因，且，要證，由，只要證即證，即，此式明顯成立，因此。最后證，若不然，又因，故，即。矛盾，12(2011年高考四川卷理科20) (本小題共12分) 設(shè)d為非零實數(shù)，an = C1n d+2Cn2d2+(n1)Cnn-1d n

13、-1+nCnndn(nN*).(I) 寫出a1,a2,a3并判斷an是否為等比數(shù)列.若是，給出證明；若不是，說明理由；(II)設(shè)bn=ndan (nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Sn解析：（1）因為為常數(shù)，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列。（2）（2）（1）13.(2011年高考全國卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足且（）求的通項公式；（）設(shè)【解析】：（）由得，前項為，（）14.(2011年高考江蘇卷20)設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列的首項，前n項和為，已知對任意整數(shù)k屬于M，當(dāng)nk時，都成立（1）設(shè)M=1，求的值；（2）設(shè)M=3，4，求數(shù)列的通項公式【解析】考察等差數(shù)列概念、和與通項關(guān)系、集合概念、轉(zhuǎn)

14、化與化歸、分析問題與解決問題的能力，其中（1）是容易題，（2）是難題。（1）即：所以，n1時，成等差，而，（2）由題意：，當(dāng)時，由（1）（2）得：由（3）（4）得： 由（1）（3）得：由（2）（4）得：由（7）（8）知：成等差，成等差；設(shè)公差分別為：由（5）（6）得：由（9）（10）得：成等差，設(shè)公差為d,在（1）（2）中分別取n=4,n=5得：15(2011年高考江蘇卷23)（本小題滿分10分） 設(shè)整數(shù)，是平面直角坐標(biāo)系中的點，其中 （1）記為滿足的點的個數(shù)，求；（2）記為滿足是整數(shù)的點的個數(shù)，求解析：考察計數(shù)原理、等差數(shù)列求和、分類討論、歸納推理能力，較難題。（1）因為滿足的每一組解構(gòu)成一

15、個點P,所以。（2）設(shè)，則對每一個k對應(yīng)的解數(shù)為：n-3k,構(gòu)成以3為公差的等差數(shù)列；當(dāng)n-1被3整除時，解數(shù)一共有：當(dāng)n-1被3除余1時，解數(shù)一共有：當(dāng)n-1被3除余2時，解數(shù)一共有：16(2011年高考北京卷理科20)（本小題共13分）若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=（）寫出一個滿足，且0的數(shù)列；（）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011；（）對任意給定的整數(shù)n（n2），是否存在首項為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。解：（）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5）（）必要性：因為E數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以.所以A5是首項為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于a2000a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因為a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證。（）令因為所以因為所以為偶數(shù),所以要使為偶數(shù),即4整除.當(dāng)時，有當(dāng)?shù)捻棟M足，當(dāng)不能被4整除，此時不存在E數(shù)列An，使得17(2011年高考福建卷理科16)（本小題滿分13分）已知等比數(shù)列an的公比q=3，前3項和S3=。（