線性代數(shù)試題與答案解析詳解

1、«線性代數(shù)A »試題(A卷)試卷類別：閉卷考試科目：線性代數(shù)姓名：考試時間：120分鐘 考試時間：學號：題號一一三四五六七總分得分閱卷人一.單項選擇題(每小題3分，共30分)1 .設(shè)A經(jīng)過初等行變換變?yōu)?B,則().(下面的r(A), r(B)分別表示矩陣 A,B的秩)。(A)r(A)r(B);(B)r(A) r(B);(C)r(A)r(B)；(D)無法判定r(A)與r(B)之間的關(guān)系。2 .設(shè)A為n (n 2)階方陣且|A| 0,則()。(A) A中有一一行元素全為零；(B)A有兩行(列)元素對應(yīng)成比例；(C) A中必有一行為其余行的線性組合；(D) A的任一行為其余行的

2、線性組合。3 .設(shè)A, B是n階矩陣(n 2), AB O,則下列結(jié)論一定正確的是：()(A) A O或 B O;(B) B的每個行向量都是齊次線性方程組AX =0的解.(C) BA 0;(D) R(A) R(B) n.4 .下列不是n維向量組1, 2,., s線性無關(guān)的充分必要條件是()(A)存在一組不全為零的數(shù) k,k2, ks使得k 1 k2 2ks s O;(B)不存在一組不全為零的數(shù) k1,k2，, ks使得k1 1k2 2ks s O(C)1, 2,.的秩等于s；(D)1,2,.中任意一個向量都不能用其余向量線性表示5.設(shè)n階矩陣(n3)(A)1；(B)6.四階行列式a10b4a2

3、b30(A) a©2a3a4a30b1b2b3b4;b10a4若矩陣A的秩為n 1，則a必為(C)(D)的值等于(B)a©2a3a4bb2b3b4；(C)(a© bb)(a3a4 b3b4)；(D)(a2a3 b2b3)(a1a4 bh).7.設(shè)A為四階矩陣且|A|b，則A的伴隨矩陣一*A的行列式為(A) b;(B)b2；(C).3b ;(D)b48.設(shè)A為n階矩陣滿足A23AInO，I n為n階單位矩陣，則A(A) In；(B) A3In；(C) A 3In；(D)3A In9.設(shè)A, B是兩個相似的矩陣，則下列結(jié)論不正確的是(A) A與B的秩相同;(B) A與

4、B的特征值相同;(C) A與B的特征矩陣相同;(D) A與B的行列式相同;1 3 2 9 3)。如果 |A| 1 ,則|B|O10.設(shè)A為n階矩陣,則A以0為特征值是A0的()。(A) 充分非必要條件;(B)必要非充分條件;(C) 既非充分又非必要條件;(D)充分必要條件;二.填空題(每小題3分,共18分)計算行列式2.3.4.二次型已知1則向量f (X1,X2, X3)(0,0,1)，X1X2X2X3X3X1對應(yīng)的對稱矩陣為(事3,0),(1,1,1旌這組基下的坐標為3 (孝，¥,0)是歐氏空間？3的一組標準正交基,7415.已知矩陣A 471的特征值為13(二重)，2 12,則x

5、3均為3維列向量，記矩陣 A1, 2, 3 , B ( 123, 12 24 3三.2(8 分)A113120 , B032131 0 , 1AXB,求 X。四.（10分）設(shè)向量組1(1,1,2,3)T,2(1,1,1,4,3(1,3,3,5)T,4(4, 2,5,6) T ,5(3, 1, 5, 7)T。試求它的秩及一個極大無關(guān)組，并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。X1X2Px32五.（12分）討論線T方程組x1 px2*31解的情況，并在有無窮多解時求其解 。px1 x2*31124六.(14分)設(shè)A(2)、求正交矩陣T ,22 2 , (1)、求出A的所有特征值和特征向量;4 21使得

6、T 1AT為對角矩陣。七.(8分)對任意的矩陣 A,證明：(1) A AT為對稱矩陣,A AT為反對稱矩陣;(2) A可表示為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和。線性代數(shù)A»參考答案(A卷)、單項選擇題(每小題3分，共30分)12345678910BCDABDCCCD二、填空題（每小題3分，共18分）4、1,72,0 ；5解：因為矩陣 A的行列式不為零，則0_1 2口 212021212，0A可逆，因此X1A B.為了求A1B,可利用下列初等行變換的方法:271427 141010106分）27所以XA 1B14（8分）四.解:對向量組1011143111431132102262213

7、550113131567022621,2 ,3 ,4,5作如下的初等行變換可得:3, 4, 5）11143102121,2,3, 4,個極大線性無關(guān)組為5 分）1,2， 故1,2 , 3 , 4 , 5 一 28 分）2 12，413 2，52110 分）五解：對方程組的增廣矩陣進行如下初等行變換：解：對方程組的增廣矩陣進行如下初等行變換:(1)與增廣矩陣的秩均為(2)解.(3)方程組的增廣矩陣進行初等行變換可化為故原方程組與下列方程組同解21p1230p11p32p002 pp24 2p1pp101 0,且(2(21pp)(pp)(p( 4分)1)1)2p0時 , 即 p1,且 p2時 ,

8、系數(shù)矩陣3, 此時方程組有唯一解.p1時, 系 數(shù) 矩陣 的秩為1, 增 廣矩p2時 , 此時方程組有無窮多組解秩為5 分）2, 此時 方程 組無6 分）8分）XiX31X2X31令X30,可得上述非齊次線性方程組的一個特解0(1, 1,0)T;它對應(yīng)的齊次線性方程組XiX2X3X300,_的基礎(chǔ)解系含有一個兀素，令X31,可得1(wT為該齊次線性方程組的一個解,它構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.此時原方程組的通解為ko o k 1,這里k0,K為任意常數(shù)（12 分）1 1) 由于 A 的特征多項式1I I A| 242 4一一一2一22（3）（6）21故A的特征值為 13 (二重特征值)，3

9、6。3分）42 4 X113 時，由（1I A）X O,即： 212 x242 4 X3基礎(chǔ)解系為1 1,2,0T, 2 1,0,1T ,故屬于特征值13的所有特征向量為k1 1 k2 2, k1,k2不全為零的任意常數(shù)。(6分)52 4 X13 6 時，由（3I A）X O ,即： 282 x2425 x300得基0礎(chǔ)解系為3 2,1,2T ,故屬于特征值26的所有特征向量為k3 3, k3為非零的任意常數(shù)。(2)(8 分)1,2,0T,3單位化得:2.5八,054.51512分)是一個正交矩陣，且七.證明：（1）因為（A為對稱矩陣。（2分）同理，因為（AAT）TA AT為反對稱矩陣。2,5 .515 , 34 5 552 5 -15-柜1ATAT)TAT2-3工 323AT(AT)TAT,(1