計算方法公式總結

1、x為準確值，x為近似值。,e為正數(shù)，稱為絕對誤差限F x x e通常用e 表示相對誤差x x計算方法公式總結緒論絕對誤差 ex x,絕對誤差限|e| |x x|r x x e相對誤差e - 一 x x相對誤差限|er |或|er|Word 資料有效數(shù)字一元函數(shù)y=f (x) '絕對誤差e(y) f (x)e(x)''e(y) f (x) e(x) xf (x)相對誤差er(y) y- 74(幻二元函數(shù) y=f (x1,x2)/ f (Xi,X2) f (Xi,X2) 絕對誤差 e(y)dX11dx2相對誤差er（y）f (Xi,X2)X1 / 、f (X1,X2)X2

2、/ 、- -er(Xi)- -er(X2)XiyX2ye(xi + x2) = (町)+ e(x2): 巴3 -=eJCi)-4, 巴(£"2)七 ! " 1 I + j;ie(x2)tF (巴)=- ?收工2), 5/ T2 喘S(E1 + J:2)七一H勺(12),1+£211 +2巴丁(血 -X2)右一外(11)%(12),X 一七2工1 一12立（工"2）七今（11）+外（6人機器數(shù)系1）數(shù)的浮點表小:/ = i（0*Qir>2JL 中三 Qi < /? （1 < i < n）, L < p < U.

3、F(U.U) =。 U 12）機器中的數(shù)集是有限的:石=±(0.修如。計)用,1 W因W 3 L 10 W 出 0 8 - L - 2. 3. ，% A S P 0 U J全人況差.3）實數(shù)£二 3）（機器數(shù)）.注：1. B冷，且通常取2、4、6、82 . n為計算機字長3 .指數(shù)p稱為階碼（指數(shù)），有固定上下限L、U4 .尾數(shù)部s0.a1a2L an,定位部5 .機器數(shù)個數(shù)1 2(1) n1(U L 1)機器數(shù)誤差限,1 n p截斷相對|x fl(x)l|x|舍入絕對|x fl(x)| - 截斷絕對| x fl (x) |x fl(x)|舍入相對.一.|x|積分中值定理設

4、f屈iMhb上連紈g(幻在a可上保號(即II負或II I：). 在£ 舊陽,使得j f 8gs d舉=A0，(丁 jdw.JoJ a秦九韶算法方程求根f (x) (x x)mg(x), g(x) 0, x* 為 f (x) =0 的 m 重根。二分法一以| < «1) < 即7。-。).對于給定精度E,若取k使得則有迭代法f (x)0xk 1(xk)k=0、1、2*xk為迭代序列，(x)為迭代函數(shù)，lim xk x (x )k定理1流尸.一在Lb內存在 階連續(xù)導數(shù)，且滿足事/) "J W 時，E a. b ；2；存在止常數(shù)L < L當工丘a, b

5、時，爐(0| < L< L則1)工=奴工)在區(qū)b上有唯一實根,記為了*；2)時任意初值叼e 同迭代格式(5)收斂,且Um小：3)L«|工* 以I W r|i -網(wǎng)|： A 1,2.3 - - ;(7)1 _ L5)M -T)(8)Jr ;r* 八局部收斂定義1對方程工=/公在小的某個鄰域£ = 司工一"* < 匹內，對任意初值w S迭代格式以十1 =1（以）都收斂，則稱 迭代法在二的附近局部收斂.定理3法方程I =火）有根廠H一在工*的某個笫域S = xx - x*| < 6內品工）一階連續(xù)可導,則1）當|"）| < 1時,

6、迭代格式局部收斂;2）當|“（力| > 1時，迭代格式發(fā)散.注：如果知道近似值，可以用近似值代替根應用定理 3判斷是否局部收斂定義2設序列琛收斂于邕 并記年=xt - x如果存在常 數(shù)P之1及非零常數(shù)C使得limk boc”+1則稱序列磔是p階收斂的.定理4花奴在H附近的某個鄰域內仃p（之1）階連續(xù)導數(shù)，且114)(15)，好（H J = 01卜=1,2p 1, d心）等o,則迭代格式住/附近是p階局部收斂的，11有X-A+1 - X* lim Atx(I* I*)，0叫力p!(16)如果P= L要求牛頓迭代法f(x) f(Xk) f(Xk)(X Xk) 0xk 1xkf()(k 0,1

7、,2,L ) f (Xk)注：牛頓迭代對單根重根均局部收斂，只要初值足夠靠近真值。.當二為方程單根時,Newton迭代是二階局部收斂."舊為方程.皿m > 2；重根時，Newlon迭代一階局部收斂.牛頓迭代法對初值要求很高，要保證初值在較大范圍內也收斂，加如下四個條件定理5設函數(shù)/(©在區(qū)間&目內2階連續(xù)可導 且滿足:1）< 0;2）當z E a山時,開工）¥ 0;/而3)當工丘45)時尸(切保號;/仙)、>?一則對V$o G迭代格式/（必）i n 1隊+1 =4377= 0, 1, * * *收斂到方程穴r) = 0在6內的唯一實根注：

8、證明牛頓迭代法大范圍收斂性，要構造一個區(qū)間£,M( £),其中M（）ff；，在這個區(qū)間內驗證這四個條件。如果知道根的位置，構造e,M (e)時應該包括根，即e+常數(shù)3.4割線法/(以) /£店十I =龍為-4不一石以-人一卜=1"：,，jxk) - fxk-l)線性方程組求解有兩種方法：消去法 和迭代法高斯消去法利用線性代數(shù)中初等行變換將 增廣矩陣轉化為等價上三角矩陣。注意：第一行第一列為0,將第一列不為0的某一行與第一行交換位置，繼續(xù)初 等行變換LalnLa2nMLann對角占優(yōu)矩陣aii42a21a22AM Man1an2n|aij |(i1,2,L

9、 , n)則稱a為按行嚴格對角占優(yōu)矩陣j 1n|aij |(j1,2,L ,n)則稱a為按列嚴格對角占優(yōu)矩陣i 1au aji (i 1, j n) x Rn,x0,(x, Ax) 0則稱A是對稱正定的當A是上面三種情況時，用高斯消去法消元時akk0 ,不用換行。追趕法是高斯消元法的一種特例考慮二對角方桿組Ui其系數(shù)矩陣元素滿足1） |6i| > ci > 0;2） bi > |aj + |q|, g #0（，= 2,3,中1）；3） bn > | > 0.易證(4)的系數(shù)矩陣指奇異.利用Gmi,消去法解方程組(4),每步 消元只要消一個元素.消元過程算法如下：B

10、i =瓦, 01 =九 對晨一 2.：1, * * ”1做li = 3-，氏=b$ - Lg-lA-i今回代算法：bi ci is b >w«381 5 0 02 0比 n = l/n / Br,對，=71 17 71 2. * ,.，1 做麻=（柒-Q1+1）/片.列主元高斯消元法當1a(k)sk即第k次消元把kn行第k列絕對值最設進行1步消元c(1)J1)fl)r的1aV2口13"1限* "1"<f Ln+ 1U12)小冷a23電小-1門4k口上找1 L00'(3) “3上-1* *的上-(3)。而»“出翼+1«

11、;1 1U4<1)* «/】）/l)（島）1 iak-,k"-1最0000(A)的臉*）盯+1制IJ000*) S-+1, A-件)'" + 1,1 田* -4* *-*4 -»*«曾 鼻 *»9 -U000, a.1,71»的% "十10V004*9V0,(A- H心* 44渴* * , ann%+1i (k) imax©k |，大的行（s行）調到第k行，再進行高斯消元2.1向量范數(shù)設 1 =（£1，石r）T G R ".定義1設/=|到是R"上的函數(shù),如果滿

12、足;非負性）Vh G R?,有|同| > 0,且|同| = 00宓=0；2"齊次性）Vi G R", AeR W | | = |N|磯3三角不等式）Mr, y G RV有|"十M| < h| + h|.則稱|為R"上的范數(shù).常用的三個向量范數(shù):Di范數(shù):|同h=£|闖;2 = 12)00范數(shù)：I罔|g = max |/l<i<n3） 2范數(shù)：|訓2 =定理2設4 6 Rnxn,則1)Mlh=摩 |4班=lklli=1max1<.?<«nj=l2)Mb=躁|4唯=明£|%|.k II oo=

13、i，THII2 = mac 114M2 =I 112=1定義5設B Rf 入 小汴為B的辦個特征值.稱。但)=眄|%1l<i<n為衽陣B的滔半徑.定理3設| |是R"答上的任意一個矩陣范數(shù).A w IV.則有。 < MH定理4如果4 e R"印為對稱矩陣，則p(A) = |Al定義3設|是RR中的 個范數(shù)，hS工.工，是R療中的 一個向量件列“E H"為常I可量，如果liin xk' c| 0, k ->0C則稱向量序列工0收斂于c記為lim a?"c.迭代序列構造Ax b x Bx fx(k 1) Bx(k) f第三個等

14、式為迭代序列，B為迭代矩陣 迭代收斂判別1 .充分條件：迭代矩陣范數(shù)小于1, PBP 1結論：Ax=b有唯一解x對任意初始向量：E迭代格乃收斂4且有II”) c網(wǎng) |- 1 -1四I ".JA-1)JU12 3-IIII” " k2 .充要條件：迭代矩陣譜半徑小干 1, (B) 1Jacobi 迭代法A L D U其中L (low)為下三角，U為上三角，D為對角線元 素(k 1)1(k)1.迭代格式：x D (L U)x D b上,+ " =(_ a.*陽一。1313 一. 一 以舊七9)/。11K"" = (& -一 023% 一以加

15、或)/。22=('-。31式；?川一。32 叼一)/a33= (% 。北- 。汽萬-1 汽)3)/。加i迭代矩陣J D (L U)收斂性判據(jù):| I J | 0 |D 1 |?|L D U | 0 |L D U | 0求出 最大值小于1 (J的譜半徑小于1)即迭代格式收斂.Gauss-Seidel 迭代法迭代格式x(k1) D1( Lx(k1) Ux(k) b)x(k。(D l_) 1 Ux(k) (D l_) 1b1 :迭代矩陣：G (D L) U1.常數(shù)矩陣：g (D L) b工” =(61 -即濯-勾3追)如飛)/以1if + n = 口力工十口 儀2M:)法工華"&#

16、169;2二(加一 口同4&*"-"駝芯"1 -"時匚%)W，)*(ft+1)( I(卜+1)3+1)(*+】)、/琉 =("-口/1叼-通網(wǎng)2%用一 11計1 )/口.收斂性判據(jù):| I G | 0 |(D L) 1 |?| (D L) U | 0 | (D L) U | 0求出最大值小于1 (G的譜半徑小于1)即迭代格式收斂.結論：當A是嚴格對角占優(yōu)的,則Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是文斂的宙值法用插值多項式p (x)代替被插函數(shù)f(x)插值多項式：P(X) 3o 3iX LanXn ,n+1 個點 P(x。 y(

17、i 0: n)插值區(qū)間：a,b,插值點滿足a x0 x1 Lxn b求插值多項式P (x),即求多項式系數(shù)的過程為插值法帶入可知求系數(shù)的插值點行列式為范德蒙行列式，不為0,有唯一解。即n+1插值條件對應的不超過 n次的插值函數(shù) P (x)只有一個。次線性插_ x x x xnP(x) y。y1 y°l°(x) y(x)x。 x1x x0lk(x)LagrangeLn(X)插值余項n(x xi)i 0i kn0(xk X)k插值多項式非插值節(jié)點上Q(x)(x Xi)k(xk xi)y*(x)k 0Lagrange 插值多項式為被插函數(shù)f(x) Ln(x)(a,b)帶導數(shù)插值條

18、件的余項估計（I）求一個二次多項式“（上）使褥它的余頊為- HU）=公廠 L求-個三次多項式H（*）使得(. i ikxkx4 )ykf（x）的近似值f (n 1)()(n 1)!n(xi 0xixi)H-,H"S(3.” 3 s它的余項為/（上）-H （工）(工-6), E W (口，/定理2沒*)在也可上連續(xù)，尸計1)(工)在(&內存在,如皿 *為互異節(jié)點,££/)是滿足的插值多項式,則對W 凡6. 3 e (a, b) (e依賴于工)，使得心=/(0 一 Ln(x) -3門+ !),(10)其中電計1(£)= J(£i=0注：推導

19、過程用羅爾中值定理構造輔助函數(shù)(t) Rn(t) K(X)Wni(t)注2，乂依敕于二后即£ = i上仆,：1,一, , 1", IIKLX2 0. £代 L2)當f(工)本身是一個次數(shù)不超過m的多項式吐f(T)4(工)= 0,因而乙Q) = /").特別當/(£) = L則有£43 = 13)由于£一般不能牯確求出.因此只能估計誤差，沒 max |-+D | = A/n+1,則行IE(功二告嚴(功i -L J 第二條性質用于可以證明階數(shù)不大于n的f(x)的插值余項為0.差商和Newton插值法定義2設知函數(shù)人£在

20、門+ 1個互異節(jié)點以也山的函數(shù)俏為力Mo）,一，/（廝）.稱/（勺）-/（石）/心叼=町雹為（力關于節(jié)點“：了的/階年兩f均差人稱/價差商/，勺和f 町叫的差商f4以=/勺以麻為1位）關于節(jié)點上的2階差商,一般電稱2個上一 1階的 差商為人階差商，即/10,陽，* ,，須-一1；1#_ / ，1,工2廠上*一 1 ：一 /工5 4：1 ： * * * ： 42,1工k 工仆約定。階差商是函數(shù)值.計算函數(shù)的差商,可以通過列表法計算。記憶方法：先記分母，最后一個減去第一個，對應的分子第一項是最后一個臨近k元素的差商，第二項是第一個臨近 k個元素的差商。性質3尼階差商和比階導數(shù)之間有如下關系:聲 1

21、 /其中7； E（1疝1H0，111一 4，max"，勺,一以）牛頓插值多項式&=/30）+ /住5 詞（，-工0）+叼42（4-工1）+ * * . + /,0,1 /,%（遼一比0）（工一£）*（# n-1）*（ I 5）（15）稱為幾次New ton插值多項式.通常記作Nn（X） 分段樣條插值給定在門+ 1個節(jié)點口 =如 < 也4=6上的函數(shù) 值：£于0_1 _ . . 于T>一于3 MH /山）小二）f心記兒=修+i H h = max hi，在每個小區(qū)間工七+i上作八力）的線性插位"-n 1£耳（1） = /（&#

22、169;） + f（/ - &）, r E 出心+4其誤差為/-=""（S）（工一用（工一f 卜） 宣 £ （陽,41）從而有5f "(&)(£ - M(£ - g*i)max4 <T<i + i£"幻| <max應 Wt+i-hH ?屢,"31，分段二次樣條插值 討論n為奇偶情況時的三個點余項估計式三次樣條插值函數(shù)第一類邊界條件（端點一階導數(shù)已知）ZMq 十%=n.xj-琬,Mn_2Mn =-八工冕") 1TD0等于第一個式子，dn等于第二個式子自然邊界條件（

23、端點二階導數(shù)已知 二階導數(shù)和M0 , Mn=0 ）/+%=16（）"一力必一萬7、也+& k % ）=6/%_力,毛川S(e) = !fj + /町,叼+1(必 + g%+1)%(1 巧)+$必(* 叼產+(必+1 必)("一叼)12ont e 叼，叼+ 1, j = 0,1,，泣一L (26)曲線擬合最小二乘原理函數(shù)關于n個點線性無關定義1設項物戶口是幾個互不相同幽點，.壯0（工）,。1（萬人，。是（m4 1）個已知的函數(shù).如果存在不全為 零的常勤加匕I:，為使力次（勺）+勺腐（叼）+ 卜編 =。，=12 ,小1）則稱強3M （頊岫凡（工*關廠點%孫嚴力是線性無關

24、的; 否則稱為線性相關的.機(1)次(11)血（打一 1）方程組（D可以寫為陶1-1!1110m (1)篇1(；誦)狐6) L:* * *腳北1 (中比一 1)4/l(刀一11* 0m l(£n)0/7?(77)方程組（2）只有零解的充分必要條件是方數(shù)矩陣列線性無關.定義2給定函數(shù)y = /上的“個點（孫為）>，= m.|11 3叼工口ylyi英成K設仰M（叫，鼠（沖關廣點% *線性無關.令rn?=')用僅0.心：心）二工（心卜）一機汽Jt=l求% %Gn,使得力（勾，門, .6）= inin 中（小 的？ 一 . tzj. （3） 心如號eER稱 mP（工）=

25、3;埼&（工）f=0為數(shù)據(jù)的擬合函數(shù),如果如.=xkr則和為加次最小二乘卷頂式.23 n注：線性無關的函數(shù)為1,x, x ,x ,L ,x才是最小二乘多項式（00,00）他5血）（0（h 以“: : * B : 0 _ （。如 00）（。的曲）, M'（y,。l ） ?。▂<M1r瓦2 21- 7« d> aattti(5)匕m _其中加 n,系數(shù)矩陣4的列向量線性無關,方程（5）稱為超定方 程組.該方程組般沒仃精確解.記m / n4*(X1, X2f ，&)-E E*=1 J=1QjjXj bf求工工紇,：琮，使得噸攻"）二min 4（

26、丁卜12,.工口）.由駐點方程組的理論可知，若產力一，琮是卜.面方程組的解: AtAx = A1 b注：記住公式即可。數(shù)值積分和數(shù)值微分性質7 （定積分中值定理）如果函數(shù)人工）在閉區(qū)間加上連續(xù)， 則在積分區(qū)間14可上至少存在一個席， 使ff3 444方）蔗而值公式般的數(shù)值積分公式為:itf擊七£ 4跺), A-0xk為求積節(jié)點， Ak 為求積系數(shù)。插值求積公式baf（3；）dx 七 / Lu（j：）dj：J Ct.k=o n=£>wm）.A'=0a + th, t 0. nl,a + j兒石k = Q+kli定義2如果求積點“體=ojm)是等距的 即b - q

27、七卜=a+kh. h =A，= 0,1, * * * , zi,n則稱對應的插值型求積公式為Nch付-C”處公式.n * fc!（ATI 也 TT（i j）dt,卜=0,1（3） 周！ Jo ;=0小）C%kf（£k， kO梯形公式1 ） 71 = 1, li=bay j;（）工1 = bl由(3)可以求彳¥GJ得2個等距節(jié)點的插值型求枳公式： JT(f)=二 /(回 + 則.(明稱為梯形公式.Simpson 公式2) :工一 2,/丁 一 -；工口 一 口,1 I - h : 11 (3)目 木丁。2.0 191361 =不。22 =:得3個等距節(jié)點的插伯邛求枳公式636

28、I-jS=+) + /(“ .，5)U/B-S(5)稱為Simpson公式.Cotes 公式r、 一 b a3a + 6«+ fej) n = 4, h = *j；o = a. Xi =沙=4-_門h、由求儲329()：32i爪得5個等距節(jié)點的抽值型求積公式一 b a r“：缶一方 ,口,十 b。 -7仙）+32/1>+ 12/（ ?。?JIJ Lnt乙n + 3Z>+324彳當+7”.（6）4（6）稱為Cbte醇公式.截斷誤差/?（/） = /（/） -稱為求積公式的截斷誤差.Zb" ,b以工法一£ gm一k=0 山I f I / L門(工)di;J

29、qJ afb-廣品(W&產"1伙）5+1)!口（工一 xdi, £二0£三（匹b）.代數(shù)精度定義3紿定一個求枳分/(/)= r/(£)曲;的求積公式/七乙= £4/(以，A'=0當f(x)為不超過m次多項式時上式成立，f (x)為m+1多項式時上式不成立。則稱為求積 公式有m次代數(shù)精度。由插值型求積公式的戕斷誤差(2)知.n + 1個節(jié)點的插值型求 枳公式的代數(shù)精度至少是m定理1求枳公式naj /) - £jt0至少具有八次代數(shù)粘度o該求積公式是插值型求積公工,即月卜=/上.,k = 0 J Ju定理2求枳公式n(/)

30、為/£/) £/(以)(8)Ar=O的代數(shù)粘度是它對g(工)=1必(1)=叫ga(£)= n，Sm(x)=工精確成立，而對外(工)=工職+1不精確成立.即%)-La), , fc - U J - -# A(.7m+1)-梯形公式代數(shù)精度為 1, Simpson公式代數(shù)精度為3, Cotes公式代數(shù)精度為 5一般,幾十1個節(jié)點的Newton-Cotes(等距節(jié)點插值型)公式的代 數(shù)精度_(畫 門是奇數(shù)二，一L/是偶數(shù)截斷誤差梯形公式Rr(f) = 1(f)- r(/)Simpson 公式用(/) =/(/) s(力r廣f w a=I ；X a)x - bjdx =儂

31、7().心=，9 f 、V G (a,b).rbrb=/(£)/£ / Hxdx=- /嚴(E)( #4)( /：4.J ab a (b _180 (Cotes 公式Rc(f) = A/) - c-Gauss求積公式求積公式代數(shù)精度為 2n+1-1,1上的兩點Gauss公式111f 3dxf(工卜1,1上的三/JGauss公式JaJ aH (.r)dj：,/ a + b2£ 一 )(£ ) x b)dxf. ( a + b f. Tx a i i 1 jj b)dx2 ) #書(力，£(a,b).216 a (b aG ，,945 4 ) f)

32、，刈(3次代數(shù)精度) 1)f(T3)(5次代數(shù)精度)f(x)dx 9f(4)8f lf(3)3.2 區(qū)間q.句上的Gauss公式 考慮區(qū)間同可上的積分，(/)= f也自可得作變換I =/=J 1b a/a + b b a 丁 f +1 dt.由-：1上的Gauss公式得®可上的Gauss公式“Jw)= Ea/k-O記住xktk, A A的關系，tk A查表即可29Amt4T k = 0,1,2,.匹則儲小 "上的Gjusb積分公式為n乙（/）= £/（八）A,-0定義4設有計算積分的復化求積公式八（力，如果存在正整 數(shù)p和非零常數(shù)G使Uni:- C,占hr則稱公式

33、4（，）是p階的.復化梯形公式 2 階，復化 Simpson 公式 4 階，復化 Cote 公式 6 階計算機通過不斷把區(qū)間二分，所得前后兩次積分差值滿足精度條件即可 給定精度21112nIn1時，1，II(f) 12n(f)| 2II2n(f) In(f)|因而可以取I2n(f )為I (f)的近似值。is 乙冗；%(/) TM梯形3Simpson/-即定3匹-S“(川15（向前差商）（向后差商）數(shù)值微分f Q)；>flMt 1 打必)一 I% 一”)J 3。) ，h(外)°數(shù)值微分截斷誤差rf( + ) f (珀h ff Mb= 一$/ (/o) + Oh ),£f1/(比。)一/(I。一 ) h . z-)/l2f M;= -/ (No)十 0(h)t f(j：o + h) - f(x() h) A2 ff/q尸(皿)- = -ffM +。(h3), 2fi0中點公式：D(h)f (Xo h) f (Xo h