1.2不定積分的概念ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念及其不定積分的概念及其計(jì)算法概述計(jì)算法概述 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念 基本積分表基本積分表 不定積分的計(jì)算方法概述不定積分的計(jì)算方法概述 小結(jié)小結(jié)一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念(一一)原函數(shù)原函數(shù)如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，內(nèi)，定義定義5.1：都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，1.Ix .I)x( f)x(F內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)在在為為則稱則稱2.原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間 I內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)， 簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：

2、問(wèn)題：(1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C則則 f f( (x x) )在在區(qū)區(qū)間間 I內(nèi)內(nèi)存存在在原原函函數(shù)數(shù))(xF， 使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：（1假設(shè)假設(shè) ，則對(duì)于任意常數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù) ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).（2假設(shè)假設(shè) 和和 都是都是 的原函的原函數(shù)，數(shù)，)(xF)(xG)(xf那么那么0C)x(F)x(G .If(x)CF(x),If(x)

3、F(x) :1 . 5Th上上的的所所有有原原函函數(shù)數(shù)在在為為則則稱稱上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在為為設(shè)設(shè) 任意常數(shù)任意常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)(二二)不定積分的定義：不定積分的定義：CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量不不定定積積分分，記記為為 dxxf)(. .的的稱稱為為則則的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè))x( fC)x(F,)x( f)x(F 1.定義定義例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx2.幾何意義幾何意義函函數(shù)數(shù))(x

4、f的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線.不定積分在幾何上表示一積分曲線族不定積分在幾何上表示一積分曲線族.例例3 3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)1 1，2 2），且其上任一點(diǎn)處），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程程. .解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知, x2y ,Cxxdx2y2 由曲線通過(guò)點(diǎn)由曲線通過(guò)點(diǎn)1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;C|x|lnxd

5、x)3( 3.基本積分公式基本積分公式 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 例例 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式根據(jù)積分公式2）Cxdxx 11 由不定積分的定義，可知有如下性質(zhì)由不定

6、積分的定義，可知有如下性質(zhì)14.不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) dx)x(g)x( f )1(;)()( dxxgdxxf dx)x( fadx)x(af0a )2(例例 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C ),x( fdx)x( fdxd )3( ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF結(jié)論：結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.)x(c,e20,c(0)c(x),x 4x求求邊邊際際成成本本為為固固定定成成本本單

7、單位位的的總總成成本本為為設(shè)設(shè)生生產(chǎn)產(chǎn)某某產(chǎn)產(chǎn)品品例例 20)0( c ,e)x(c:x 解解 dxedx)x(c)x( cxcex 20)0( c 由由19c 19e)x( cx _)x( f, cexf(x)dx 5 x22則則若若例例)x( f, 1)0( f,e1)e (f:6x2x求求且且若若例例 dx)x(f,0 xsinx 0 x xf(x) 102求求設(shè)設(shè)例例例例6 6 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 計(jì)算不定積分的方法一計(jì)算不定積分的方法一:分

8、項(xiàng)積分法分項(xiàng)積分法,將復(fù)雜函數(shù)分解成將復(fù)雜函數(shù)分解成幾個(gè)較簡(jiǎn)單的函數(shù)之和幾個(gè)較簡(jiǎn)單的函數(shù)之和例例7 7 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx dxxsin1xcos 82例例 dxxcosxsin122 dx)xsecx(tanxsecdx2xsinxdxtan22例例8 8 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 說(shuō)明：說(shuō)明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才

9、能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxF 不定積分的概念：不定積分的概念： CxFdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系四、四、 小結(jié)小結(jié)思考題思考題符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？?jī)?nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？),( 思考題解答思考題解答不存在不存在.假設(shè)有原函數(shù)假設(shè)有原函數(shù))(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x處處不不可可微微，故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤所以所以 在在 內(nèi)不存在

10、原函數(shù)內(nèi)不存在原函數(shù).),( )(xf結(jié)論結(jié)論每一個(gè)含有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都每一個(gè)含有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒(méi)有原函數(shù)沒(méi)有原函數(shù).一、一、 填空題：填空題：1 1、 一個(gè)已知的函數(shù)，有一個(gè)已知的函數(shù)，有_個(gè)原函數(shù)，其中任意個(gè)原函數(shù)，其中任意兩個(gè)的差是一個(gè)兩個(gè)的差是一個(gè)_；2 2、 )(xf的的_稱為稱為)(xf的不定積分；的不定積分；3 3、 把把)(xf的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù))(xF的圖形叫做函數(shù)的圖形叫做函數(shù))(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xFy ，這樣不定積，這樣不定積 dxxf)(在幾何上就表示在幾何上就表示_，它的方程是，它的方程是 CxFy )(；4 4、 由由)()(x

11、fxF 可 知 ， 在 積 分 曲 線 族可 知 ， 在 積 分 曲 線 族CxFy )( )( 是任意常數(shù)是任意常數(shù)C上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處作切線，這些切線彼此是處作切線，這些切線彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某區(qū)間上在某區(qū)間上_，則在該區(qū)間上，則在該區(qū)間上)(xf的的 原函數(shù)一定存在；原函數(shù)一定存在；練習(xí)題練習(xí)題6 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .二二、 求求下下列列不不定定積積分分：1 1、 dxxx221 2 2、 dxxxx325323

12、 3、 dxx2cos2 4 4、 dxxxx22sincos2cos5 5、 dxxxx)11(26 6、 xdxxxx2222sec1sin 三三、一一曲曲線線通通過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))3,(2e，且且在在任任一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線的的斜斜 率率等等于于該該點(diǎn)點(diǎn)橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)的的倒倒數(shù)數(shù)，求求該該曲曲線線的的方方程程 . .四四、證證明明函函數(shù)數(shù)xxexexeexxxxsinhcoshcoshsinh,212 都都是是和和的的原原函函數(shù)數(shù) . .一、一、1 1、無(wú)窮多、無(wú)窮多, ,常數(shù)；常數(shù)； 2 2、全體原函數(shù)；、全體原函數(shù)； 3 3、積分曲線、積分曲線, ,積分曲線族；積分曲線族； 4 4、平行；、平行； 5 5、連續(xù)；、連續(xù)； 6 6、Cx 2552； 7 7、 Cx 2332； 8 8