1.2二次曲面.ppt課件

1、5-4 二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程 適當選取直角坐標系可得它們的標準方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅下面僅 就幾種常見標準型的特點進行介紹就幾種常見標準型的特點進行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面的圖形通常為二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項系數(shù)不全為二次項系數(shù)不全為 0 )zyx1. 1. 橢球面橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍：范圍：czbyax,

2、(2)與坐標面的交線：橢圓與坐標面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax與與)(11czzz的交線為橢圓：的交線為橢圓：1zz (4) 當當 ab 時為旋轉橢球面時為旋轉橢球面;同樣同樣)(11byyy的截痕的截痕）（axxx11及及也為橢圓也為橢圓. .當當a ab bc c 時為球面時為球面. .(3) 截痕截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù)為正數(shù))z2. 橢圓錐面橢圓錐面),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓橢圓在平面在平面 x0 或或 y0 上的截痕

3、為過原點的兩直線上的截痕為過原點的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以證明可以證明, 橢圓上任一點與原點的連線均在曲面上橢圓上任一點與原點的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經橢圓錐面也可由圓錐面經 x 或或 y 方向的伸縮變換方向的伸縮變換xyz3. 拋物面拋物面zqypx2222(1) 橢圓拋物面橢圓拋物面( p , q 同號同號)(2) 雙曲拋物面鞍形曲面）雙曲拋物面鞍形曲面）zqypx2222zyx特別特別, ,當當 p = q p = q 時為繞時為繞 z z 軸的旋轉拋物軸的旋轉拋物面面. .( p , q 同號同號)zyx4. 雙曲面雙曲面(1)(

4、1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓橢圓.時時, 截痕為截痕為22122221byczax( (實軸平行于實軸平行于x x 軸；軸；虛軸平行于虛軸平行于z z 軸）軸）1yy zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面平面 上的截痕情況上的截痕情況:雙曲線雙曲線: 虛軸平行于x 軸）(實軸平行于z 軸;0czax)(bby或22122221byczax1yy zxyzxyby 1)2時, 截痕為 相交直線相交直線: by 1)3時, 截痕為雙曲線雙曲線: 0mathsoft第九節(jié)第九節(jié) 二次曲面二次曲面(2) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(12222

5、22為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面單葉雙曲面11雙葉雙曲面雙葉雙曲面xyz5.5.柱面柱面引例引例. . 分析方程分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標也滿足方程222Ryx解解: :在在 xoy xoy 面上，面上，表示圓C, 222Ryx222Ryx沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為故在空間222Ryx過此點作柱面柱面. .對任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面o

6、C在圓C上任取一點 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM點其上所有點的坐標都滿足此方程,xyzxyzol定義定義平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面.0 yx表示母線平行于 C(且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準線, l 叫做母線.xyzooxzy2l一般地,在三維空間柱面柱面, ,柱面柱面, ,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面柱面, ,準線 xoy 面上的曲線 l1.母線準

7、線 yoz 面上的曲線 l2. 母線表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l例例表示拋物柱面,xz22母線平行于 y 軸;準線為xoz 面上的拋物線. z 軸的雙曲柱面.表示母線平行于12222byaxmathsoft第九節(jié)第九節(jié) 二次曲面二次曲面定義定義 一條平面曲線一條平面曲線旋轉曲面旋轉曲面 繞其平面上一條定直線旋轉繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸軸 . .例如例如 :mathsoft第九節(jié)第九節(jié) 二次曲面二次曲面建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉所成曲面的方程:故旋轉曲面方程為, ),(zyxM當繞 z 軸旋轉時,0),(11zyf,), 0(111CzyM若點給定 yoz 面上曲線 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz則有0),(22zyxf則有該點轉到0),(zyfozyxCmathsoft第九節(jié)第九節(jié) 二次曲面二次曲面xy例例 求坐標面求坐標面 xoz 上的雙曲