1.2反函數的導數與復合函數的求導法則ppt課件

1、一、反函數的導數一、反函數的導數定理定理.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且且有有內內也也可可導導在在對對應應區(qū)區(qū)間間那那末末它它的的反反函函數數且且內內單單調調、可可導導在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函數數即即 反函數的導數等于直接函數導數的倒數反函數的導數等于直接函數導數的倒數.證證,xIx 任任取取xx 以以增增量量給給的單調性可知的單調性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(連連續(xù)續(xù)xf),0(0 xy0)( y 又又知知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 例例1 1.arcsin

2、的的導導數數求求函函數數xy 解解,)2,2(sin內單調、可導內單調、可導在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內內有有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例2 2.log的導數的導數求函數求函數xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(內有內有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(內內單單調調、可可導導在在 yyIax特別地特別地.1)(lnxx 二

3、、復合函數的求導法則二、復合函數的求導法則定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且且其其導導數數為為可可導導在在點點則則復復合合函函數數可可導導在在點點而而可可導導在在點點如如果果函函數數即即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導,等于因變量對中間變等于因變量對中間變量求導量求導,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則鏈式法則)證證,)(0可可導導在在點點由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuuf

4、xxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設設.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的導導數數為為則則復復合合函函數數 例例3 3.sinln的導數的導數求函數求函數xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例4 4.)1(102的的導導數數求求函函數數 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例5 5.arcsin22222的的導導數數求求函函數數axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxax

5、y2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例6 6.)2(21ln32的的導導數數求求函函數數 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例7 7.1sin的導數的導數求函數求函數xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 三、小結三、小結反函數的求導法則注意成立條件）反函數的求導法則注意成立條件）;復合函數的求導法則復合函數的求導法則（注意函數的復合過程（注意函數的復合過程,合理分解正確使用鏈合理分解正確使用鏈導法）導法）;已能求導的函數

6、已能求導的函數:可分解成基本初等函數可分解成基本初等函數,或?；虺蹬c基本初等函數的和、差、積、商數與基本初等函數的和、差、積、商.思考題思考題 若若)(uf在在0u不可導，不可導，)(xgu 在在0 x可導，且可導，且)(00 xgu ，則，則)(xgf在在0 x處處（ ）（1）必可導；）必可導；（2）必不可導；）必不可導；（3）不一定可導；）不一定可導；思考題解答思考題解答正確地選擇是正確地選擇是3）例例|)(uuf 在在 處不可導，處不可導，0 u取取xxgusin)( 在在 處可導，處可導，0 x|sin|)(xxgf 在在 處不可導，處不可導，0 x )1(取取4)(xxgu 在在

7、處可導，處可導，0 x44|)(xxxgf 在在 處可導，處可導，0 x )2(一、一、 填空題：填空題：1 1、 設設4)52( xy, ,則則y = =_._.2 2、 設設xy2sin , ,則則y = =_._.3 3、 設設)arctan(2xy , ,則則y = =_._.4 4、 設設xycosln , ,則則y = =_._.5 5、 設設xxy2tan10 ，則，則y = =_._.6 6、 設設)(xf可導，且可導，且)(2xfy ， 則則dxdy= =_._.7 7、 設設xkexftan)( , ,則則)(xf = =_， 若若ef 4 ，則，則 k_._.練練 習習

8、題題二、二、 求下列函數的導數：求下列函數的導數：1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxyarccosarcsin ； 8 8、xxy 11arcsin. .三、三、 設設)(xf，)(xg可導，且可導，且0)()(22 xgxf, ,求函數求函數)()(22xgxfy 的導數的導數 . .四四、設設)(xf在在0 x處處可可導導，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x處處可可導導，證證明明 )(xfF在在0 x處處也也可可導導 . .一、一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、xtan ； 5 5、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx ； 6 6、)(22xfx ； 7 7、xxkekxk21tansectan , ,21. .二、二、1 1、122 xxx； 2 2、22sin2cos2xxxx ；3 3、221xa