1.2分部積分法1ppt課件

1、問題問題 ?dxxex解決思路解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.設設函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部積分公式分部積分公式一、基本內容一、基本內容例例1 1 求積求積分分.cos xdxx解一）解一） 令令,cosxu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當，積分更難進行選擇不當，積分更難進行.vu ,解二）解二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsi

2、nsin.cossinCxxx 例例2 2 求積求積分分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法）,xu dvdxex 總結總結 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設冪函就考慮設冪函數(shù)為數(shù)為 , 使其降冪一次使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))u例例3 3 求積求積分分.arctan xdxx解解令令,arctanxu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arcta

3、n2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例4 4 求積求積分分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 總結總結 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為數(shù)或反三角函數(shù)為 .u例例5 5 求積求積分分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(

4、ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 例例6 6 求積求積分分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式例例7 7 求積

5、求積分分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 例例 8 8 已已知知)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是2xe , 求求 dxxfx)(.解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedx

6、xfx ),()(xfdxxf 兩邊同時對兩邊同時對 求導求導, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 合理選擇合理選擇 ，正確使用分部積，正確使用分部積分公式分公式vu ,dxvuuvdxvu 二、小結二、小結思考題思考題 在接連幾次應用分部積分公式時，在接連幾次應用分部積分公式時， 應注意什么？應注意什么？思考題解答思考題解答注意前后幾次所選的注意前后幾次所選的 應為同類型函數(shù)應為同類型函數(shù).u例例 xdxexcos第一次時若選第一次時若選xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次時仍應選第二次時仍應選xusin

7、2 一、填空題：一、填空題：1 1、 xdxxsin_；2 2、 xdxarcsin_；3 3、計算、計算 xdxx ln2， u可可設設_ _ , , dv_；4 4、計算、計算 xdxexcos， u可可設設_ _ _ , , dv_；5 5、計算、計算 xdxx arctan2， u可可設設_ _ , , dv_； 6 6、 計計算算 dxxex， u可可設設_ _ _ _ _ _ _, , dv_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二、二、 求下列不定積分：求下列不定積分：1 1、 dxxx2cos22； 2 2、 dxxx23)(ln；練練 習習 題題3、 nxdxeax

8、cos； 4、 dxex3；5、 dxx)cos(ln； 6、 dxxxex232arctan)1( .三三、 已已知知xxsin是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù)，求求 dxxxf)(. .四四、 設設 CxFdxxf)()(，)(xf可可微微，且且)(xf的的反反函函數(shù)數(shù))(1xf 存存在在，則則 CxfFxxfdxxf )()()(111. .一一、1 1、Cxxx sincos； 2 2、Cxxx 21arcsin； 3 3、dxxx2,ln； 4 4、,xe xdxcos； 5 5、dxxx2,arctan； 6 6、dxexx ,. .二、二、1、Cxxxxxx sincossin21623； 2、Cxxxx 6ln6)(ln3)(ln123； 3、Cnxnnxanaeax