1.2可分離變量微分方程ppt課件

1、一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法設函數(shù)設函數(shù))(yg和和)(xf是連續(xù)的是連續(xù)的, dxxfdyyg)()(設設函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù),CxFyG )()(為微分方程的隱式通解為微分方程的隱式通解.分離變量法分離變量法2. 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 x

2、dxydy12lnCxy .212為所求通解為所求通解xCxCeey 二、例題二、例題P300-1.0)()(2通通解解求求方方程程例例 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 則則, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解為通解為解解可化為可化為“可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程例例 3 3 衰衰變變問問題題:衰衰變變速速度度與與未未衰衰變變原原子子含含量量M成成正正比比,已已知知00MMt ,求求衰衰變變過過程程中中鈾鈾含含量量

3、)(tM隨隨時時間間t變變化化的的規(guī)規(guī)律律.解解,dtdM衰變速度衰變速度由題設條件由題設條件)0(衰衰變變系系數(shù)數(shù) MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代入代入,lnlnCtM ,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰變規(guī)律衰變規(guī)律P301-2解解例例5 5 某車間體積為某車間體積為12000立方米立方米, 開始時空氣中開始時空氣中含有含有 的的 , 為了降低車間內(nèi)空氣中為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量的含量, 用一臺風量為每秒用一臺風量為每秒2000立方米的鼓風機立方米的鼓風機通入含通入含 的的 的新鮮空氣的新鮮空氣, 同時以同樣的同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排出風

4、量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風機開動問鼓風機開動6分分鐘后鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0設鼓風機開動后設鼓風機開動后 時刻時刻 的含量為的含量為2CO)%(txt,dttt 在在 內(nèi)內(nèi),2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改變量的改變量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 0

5、03. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分鐘后分鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO問題：用分離變量法解微分方程是否也會問題：用分離變量法解微分方程是否也會發(fā)生丟解的情形？發(fā)生丟解的情形？答：有可能答：有可能4324)(3)0 xy dxxydy例如方程（是可以分離變量的。例如方程（是可以分離變量的。3423400 430 xyx yxydxdyxy 假假定定，用用除除原原方方程程的的各各項項，將將方方程程的的變變量量分分離離得得：積積分分，00 xy 易易看看出出，與與都都是是原原方方程程的的解解，它它們們都都是是在在分分離

6、離變變量量的的過過程程中中丟丟失失的的，不不包包含含在在通通解解中中。231211,CCxxyy 得得通通解解- -其其中中 為為任任意意常常數(shù)數(shù)。分離變量法步驟分離變量法步驟: :1、分離變量、分離變量;2、兩端積分、兩端積分-隱式通解隱式通解.小小 結(jié)結(jié)思考題思考題求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考題解答思考題解答, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 為所求解為所求解.一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tanse

7、ctansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .練練 習習 題題三、質(zhì)量三、質(zhì)量克克為為1的質(zhì)點受外力作用作直線運動的質(zhì)點受外力作用作直線運動, ,這外力這外力和時間成正比和時間成正比, ,和質(zhì)點運動的速度成反比和質(zhì)點運動的速度成反比. .在在10 t秒時秒時, ,速度等于速度等于秒秒厘

8、厘米米/50, ,外力為外力為2/4秒秒厘厘米米克克 , ,問從運動開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少問從運動開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少? ?四、 小船從河邊四、 小船從河邊處處點點 0出發(fā)駛向?qū)Π冻霭l(fā)駛向?qū)Π? (兩岸為平行直線兩岸為平行直線).).設設a船速為船速為, ,船行方向始終與河岸垂直船行方向始終與河岸垂直, ,設河寬設河寬h為為, ,河中任意點處的水流速度與該點到兩岸距離河中任意點處的水流速度與該點到兩岸距離的乘積成正比的乘積成正比( (比例比例k系系數(shù)數(shù)為為).).求小船的航行路求小船的航行路線線 . .練習題答案練習題答案一一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . .三