選修2-1第三章-空間向量與立體幾何全章教案

1、§3.1 空間向量及其運算§3.1.1 空間向量及其加減運算【學(xué)情分析】：向量是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它不僅在解決幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用，而且在物理學(xué)、工程科學(xué)等 方面也有著廣泛的應(yīng)用。在人數(shù)A版必修四中，讀者已經(jīng)認(rèn)知了平面向量，現(xiàn)在，學(xué)習(xí)空間向量時要注意 與平而向量的類比，體會空間向量在解決立體幾何問題中的作用?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：（1）知識與技能：理解和掌握空間向量的基本概念，向量的加減法（2）過程與方法：通過高一學(xué)習(xí)的平面向量的知識，引申推廣，理解和掌握向量的加減法（3）情感態(tài)度與價值觀：類比學(xué)習(xí)，注重類比、推廣等思想方法的學(xué)習(xí)，運用向量的概念和運算解決問 題，培養(yǎng)學(xué)生的開

2、拓創(chuàng)新能力。【教學(xué)重點】：空間向量的概念和加減運算【教學(xué)難點】：空間向量的應(yīng)用【課前準(zhǔn)備】：Powerpoint課件【教學(xué)過程設(shè)計】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖一.情景引入（1）一塊均勻的正三角形的鋼板所受重力為500N,在它的頂點處分別受力F1，F(xiàn)）, F3,每個力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都是60",且| F INF? | =仟3 |=200N,這塊鋼板在 這些力的作用下將會怎樣運動？這三個力至少多大時，才能提起 這塊鋼板？（2）八抬大轎中每個轎夫?qū)I子的支持力具有怎樣的特 點？從實際生活的例子 出發(fā)，使學(xué)生對不共而的 向量有一個更深刻的認(rèn) 識。說明不同在一個平面 內(nèi)的向量

3、是隨處可見的。二.新舊知 識比較讓我們將以前學(xué)過的向量的概念和運算回顧一下，看它們是 只限于平而上呢？還是本來就適用于空間中。請學(xué)生自行閱讀空間向量的相關(guān)概念：空間向量定義、模長、 零向量、單位向量、相反向量、相等向量。請學(xué)生比較與平而向量的異同。向量概念的關(guān)鍵詞是大小和方向，所以它應(yīng)既適用于平而上 的向量，也適合于空間中的向量，二者的區(qū)別僅僅在于：在空間 中比平而上有更多的不同的方向。因此平而幾何中的向量概念和 知識就可以遷移到空間圖形中。（1）空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同 一平而內(nèi)的兩個向量。如圖，對于空間任何兩個向量可以從空間任意一點0出發(fā)作OA = a,OB = b

4、 ,即用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示H通過比較，既復(fù)習(xí)了平面 向量的基本概念，又加強 了對空間向量的認(rèn)識，注 重類比學(xué)習(xí)，提高學(xué)生舉 一反三的能力。B三.類比推 廣、探求新 知（2）在平而圖形中向量加減法的可以通過三角形和平行四 邊形法則，同樣對于空間任意兩個向量a,b都看作同一平面內(nèi)的 向量，它們的加法、減法當(dāng)然都可以按照平面上的向量的加法和 減法來進行，不需要補充任何新的知識，具體做法如下：）如圖，可以從空間任意一點o出發(fā)作并 且從a出發(fā)作元=3,則= 5己,73 =麗.BC探索1:空間三個以上的非零向量能否平移至一個明而上？探索2：多個向量的加法能否由兩個向量的加法推廣？（1） 思考選

5、2-1課本P92探究題歸納：向量加（減）法滿足交換律和結(jié)合律。例1：已知平行六面體ABCD-A】B】C1D,化簡下列向量表達式，并 標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。（如圖）/bl71竺+5_代/（2）AB + AD + AA/ / /F F ab讓學(xué)生知道，數(shù)學(xué)中 研究的向量是自由向量， 與向量的起點無關(guān)，這是 數(shù)學(xué)中向量與物理中矢 量的最大區(qū)別?？臻g三個或更多的 向量相加，不能同時將這 些向量都用同一個平而 上的有限線段來表示，但 仍然可以用將它們依次 用首尾相接的有向線段 來表示，得到它們的和。 比如：三個向量的和AB + BC + CD = AD , 一般地，空間中多個依次 用首尾相接的有向線段 相

6、加的結(jié)果等于起點和 終點相連的有向線段。我 們常常把向量的這種性 質(zhì)AB + BC + CD = AD簡稱為“封口向量”。四.練習(xí)鞏固1.課本P92練習(xí)P-3鞏固知識，注意區(qū)別加減 法的不同處.2.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，M是的中點，化簡下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量：(1) CB + BA1；(2) AC+CB + X;(3) AA.-AC-CB卜、解:而+就=e(2)/+5 +羽二病人Jb>c(3) AA-AC-CB = B五.拓展與 提高(1) 知空間四邊形A8C。，連結(jié)AC,80,設(shè)M,G分別是8CCQ的中點，化簡下列各表達式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：(2) AB +

7、BD + GC,(3) . CM +DG-GAT/加深對相等向量和加減 法的理解六.小結(jié)1 .空間向量的概念：2 .空間向量的加減運算反思?xì)w納七.作業(yè)課本P106習(xí)題3.1, A組 第1題(1)、(2)練習(xí)與測試：(基礎(chǔ)題)1 .舉出一些實例，表示三個不在同一平面的向量。2 .說明數(shù)字。與空間向量。的區(qū)別與聯(lián)系。答：空間向量。有方向，而數(shù)字。沒有方向：空間向量0的長度為0。3 .三個向量a,b,c互相平行，標(biāo)出a+b+c.'解：分同向與反向討論(略，4 .如圖，在三棱柱ABC-A4a中，M是胡I的中點,化簡下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量：(1) CB +BA'(2) AC

8、 + CB + iZ;(3) AAAC-CB解：(1) CB + BACAI . I .“(2) AC+CB + -AA. =AM21(3)通-林一方=麗；(中等題)試用向量;J1表示無和赤解:5 .如圖，在長方體加汨一C4'£>® 中，3=3礪= 4,3 =2元，點E,F分別是。仇。力的中點,6 .在上題圖中，試用向量；，工表示麗和直解：EF=dF-OE = 2k9FE=-EF =-2k§ 3.1. 2空間向量的數(shù)乘運算【學(xué)情分析】：本節(jié)，空間向量的數(shù)乘運算共有4個知識點：空間向量的數(shù)乘、共線向量或平行向量、方向向量與共 而向量、空間向量的分解定理

9、.這一節(jié)是全章的重點，有了第一節(jié)空間向量加減法的基礎(chǔ)，我們就很容易把 平而向量及其運算推廣到空間向量.由于本教材學(xué)習(xí)空間向量的主要目的是，解決一些立體幾何問題，所以 例習(xí)題的編排也主要是立體幾何問題,當(dāng)我們把平面向量推廣到空間向量后，很自然地要認(rèn)識空間向量的 兩個最基本的子空間：共線向量和共面向量.把平行向量基本定理和平而向量基本定理推廣到空間.然后由 這兩個定理推出空間直線和平面的向量表達式.有了這兩個表達式，我們就可以很方便地使用向量工具解決 空間的共線和共面問題.【教學(xué)目標(biāo)】：（1）知識與技能：掌握空間向量的數(shù)乘運算.（2）過程與方法：進行類比學(xué)習(xí)，會用空間向量的運算意義和運算律解決立幾

10、問題.（3）情感態(tài)度與價值觀：會用平面的向量表達式解決共面問題【教學(xué)重點】：空間向量的數(shù)乘運算及運算律.【教學(xué)難點】：用向量解決立幾問題.【課前準(zhǔn)備】；Powerpoim課件【教學(xué)過程設(shè)計】：教學(xué)環(huán) 節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖1、空間向量的數(shù)乘運算人",其模長是Z的I % 倍(1)當(dāng)4>0時，與同向(2)當(dāng)4Vo時,一a與。反向2、空間向量的數(shù)乘分配律和結(jié)合律< 1)分配律：A(a + b) = Aa + Ab以數(shù)乘向量及其運算律為突破口，與 平面向量進行比較學(xué)習(xí)，為下而引出 共面向量作鋪墊。(2)結(jié)合律：= (2)溫3、共線向量或平形向量故知新類似于平面向量共線，對空間任意兩個

11、向量工及Z的充要條件是存在實數(shù)4，使a = Ab1、方向向量如果/為經(jīng)過已知點A且 平行于已知非零向量不的 直線，對于任意一點O, 點P在直線/上的充要條 件是存在實數(shù)t滿足等式方=而+ f.其中向量不叫做直線/的方向向量.在/上取版=3,則上式可化為5萬=5彳+/血證明：對于空間內(nèi)任意一點o, A, 8,尸三點共線<=>于£凡使而=/而OOP-OA =rAB<=>OP = OA+rAB由此可見，可以利用向量之間的關(guān)系判斷空間任 意三點共線，這與利用平面向量判斷平而內(nèi)三點共線 是一樣的?；仡櫰矫嫦蛄康幕径ɡ恚汗捕蛄慷ɡ?如果兩個向量石不共線，那么向量5與向

12、量共而的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x,y),使得 = xa + yB,這就是說，向量可以由二新課講授不共線的兩個向量L線性表示。由此可以得到空間向量共面的證明方法2、空間平面ABC 的向量表示式 空間一點P位于 平而ABC內(nèi)的充 要條件是存在有 序?qū)崝?shù)對x, y使 得：AP = xAB + yAC ,或?qū)臻g任意一點O有:OP = OA + xAB + yAC 6推論：已知空間任意一點0和不共線的三點A, B, C,則點P與點A, B, C共面的充要條件是OP = xOA + yOB + 衣(其中X +)，+ Z = 1)證明：OP = xOA + yOB+zVC (x+y + z = )&l

13、t;OP = (-y-z)dA + ybB + zVC< = -y-zVA + yOB + zOCOOP = OA + y(OB - OA) + z(OC - OA)方向向量的引入是為了更好的說明三 點共線的向量充要條件,作為特色班, 可以根據(jù)實際情況補充證明過程?；仡櫰矫嫦蛄康幕径ɡ砜梢园l(fā)現(xiàn)， 平面中的基底理論成了空間向量關(guān)系 的一種特殊情況一一共而的證明方 法，這正是由特殊到一般，由簡單到 復(fù)雜的一種推廣，對今后理解空間向 量的基底理論也是有一定相射作用 的。.<>OP-OA=yAB+zACOAP=yAB+zACU> P與點A, B, C共而本探究可以在老師的啟發(fā)

14、下，給學(xué)生 自己證明，不同層次可以酌情考慮是 否證明。三.典 例講練例L 一直平行四邊形ABCD,過平面AC外一點0 做射線OA, OB, OC, OD,在四條射線上分別取點 山3 OF OG OH ;E, F, G, H,且使=k ,OA OB OC OD求證：E, F, G, H四點共面分析：欲證E, F, G, H四點共面，只需證明EH ,EF ,宙共面。下面我們利用高，AB,急共而來證 明。證明：因為竺=竺=絲="=攵，所以 OA OB OC ODOE = kOA, OF =kOB , OG = kOC ,OH = kOD ,由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以AC = AB

15、 + ADt 因此，EG = OG-OE=kOC-kOA = kAC = k(AB+ AD)= k(-CM + OD-OA) = OF-OE + OH-OE= EF + EH由向量共面的充要條件知E, F, G, H四點共面 進一步：請學(xué)生思考如何證明：面AC而EG.四.練 習(xí)鞏固1、如圖，已知空間四邊形ABCD,連結(jié) AC, BD, E, F 分/別是BC, CD的中點，化簡下，列各表達式，并標(biāo)出化簡結(jié) / / _果的向量。bX/-_ _X 口 1 EF(1) AB + BC + CD(： 1 (2) AB + -(BD+BC) 1 *(3) AF-(AB+AC)2、課本P96練習(xí)2-313

16、、已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點,用向量方法證明E、F、G、H四點共而（2） AC平而EFGH鞏固知識，注意向量運算律的使用.3、略解：(1)HEG = EF + FG = EF + 上 BD = EF + EH 2(2)EG = EB + BF = ±AB + ±BC = AC 222得 EFAC, ACcz 平面 EFGH,則 AC 平面EFGH1.如圖，已知矩三形ABCD和矩形7五.拓 展與提 高AL/匚廠 711工 1 1111/互相垂直，點!/BCM,N分別在對角線 BD.AE 上，且BW=，3£）,AN =，

17、AE. 33求證：MN平面CDE., .0.1.證明：MN =MB + BA + AN=-CD + -DE 33又麗與無不共線根據(jù)共而向量定理，可知而，麗，女共面。由于MN不在平面CDE中，所以MN平面CDE注意用空間向量的思想去解決立體幾 何問題的轉(zhuǎn)化方法.六.小 結(jié)1 .空間向量的數(shù)乘運算.2 .空間向量的運算意義和運算律解決立幾問題.3 .平而的向量表達式解決共而問題歸納知識反思方法，特點。七.作 業(yè)課本P106習(xí)題3.1, A組第1題（3）、（4）,第2題練習(xí)與測試:（基礎(chǔ)題）向量是（）1.已知空間四邊形A8C0,連結(jié)AC8O,設(shè)M,G分別是8C8的中點，化簡下列各表達式，并標(biāo)出化簡結(jié)

18、果向量:(1) AB + BC + CD ； AD(2) AB + (BD + BC) ； AG(3) AG-(AB + AC). MG(中等題)2、在平行六面體ABCD - AiBiGDi中,A.有相同起點的向量 B.等長向量C.共而向量D.不共面向量3.直三棱柱ABCABG中，若無=",在=3,西=己則港 =（）A. a + b cB. a b + c C. - + /? + c D. a + c§ 3.1. 3 空間向量的數(shù)量積運算【學(xué)情分析】：本小行首先把平面向量數(shù)量枳運算推廣到空間向量數(shù)量積運算,學(xué)生已有了空間的線、面平行和而、面 平行概念，這種推廣對學(xué)生學(xué)習(xí)已無

19、困難,但仍要一步步地進行，學(xué)生要時刻牢記，現(xiàn)在研究的范闈已由平 面擴大到空間.一個向量已是空間的一個平移，要讓學(xué)生在空間上一步步地驗證向量的數(shù)量積運算.這樣做, 一方而復(fù)習(xí)了平面向量、學(xué)習(xí)了空間向量，另一方而可加深學(xué)生的空間觀念.【教學(xué)目標(biāo)】：（1）知識與技能：掌握掌握空間向量的夾角的概念，空間向量數(shù)量積的定義和運算律（2）過程與方法：類比學(xué)習(xí)，注重類比、推廣等思想方法的學(xué)習(xí)和使用，掌握立體幾何中的三垂線定理 及其逆定理的證明（3）情感態(tài)度與價值觀：進一步學(xué)習(xí)向量法在證明立體幾何中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的開拓創(chuàng)新能力和舉一 反三的能力?！窘虒W(xué)重點】：空間向量的數(shù)量積運算【教學(xué)難點】：空間向量的數(shù)量積

20、運算在解決立體幾何中的應(yīng)用【課前準(zhǔn)備】：課件【教學(xué)過程設(shè)計】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖溫故知新1、平而向量的數(shù)量積(1)設(shè)11是空間兩個非零向量，我們把數(shù)量lalllloos>叫作向量4,1的數(shù)量積,記作d,即 a b = abcos <a,b> 一a h(2)夾角：cos<a,b >=. ab(3)運算律 T ff fa . b = b a ； (Aa) - b = A(b a)：> > > 一a (b + c) = a b +a c復(fù)習(xí)舊知識，為新知識做鋪 墊，讓學(xué)生可以非常容易的接 收空間向量的數(shù)量積概念。（新課講授1、夾角定義：”了是空間

21、兩個非零向量，過空間任意一點o,作萬？ = £麗=九則NAOB叫做向量Z與向量1的夾角，注意夾角的表示方法和意義， 垂直的表示。注意向量運算和代數(shù)運算的 差別。記作規(guī)定：0<<a.b><7特別地，如果<ZR>=0,那么)與不同向：如果<aj?>=7T 9那么與匕反向：如果<花>=90。，那么a與Z?垂直，記作a2、數(shù)量積(1)設(shè)”,是空間兩個非零向量，我們把數(shù)量lWl"；lcos<Z,B>叫作向量1花的數(shù)量積，記作二九 即 -* ff fa b = ahcos< a.b>-* h(2)夾角：

22、cos<a,b >=.ab i(3)運算律iff Ta b = ba ：(Aa) b = A(b - a)； ff- fa (b + c) = a h + a c 思考：1、若=是否有B = C成立？2、若a + = k ,是否有。=£,或B =成立？ ba3向量數(shù)量積是否有結(jié)合律(“B)c = ”(Bc)成立？三.典例講練例1.在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。已知：PO, PA分別是平而。的垂線，斜線，A0是PA在平 而夕內(nèi)的射影，/ua且/_LQ4, 求證：1 VPA證明：取直線/的方向向量)，同時取向量而，PA-注重向

23、量在垂直、共而中的使 用的意識的培養(yǎng)。因為/_L質(zhì)，所以況=0。因為PO_La,且/ua,所以/_LPO因此"麗=0。又因為Z 西=£ （而+蘇）= ZM+"dX=o,所以/_LQ4這個命題叫做三垂線定理，思考其逆定理如何證明 三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)德一條直線，如果和這個 平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平而內(nèi)的射 影垂直。例2.川，是平而夕內(nèi)的兩條相交直線，如果/_L?，/ _L，求證：1 La 證明：在內(nèi)作任一直線g個，分別在/, m, ii, g,上取非零向量i, ？，g -因為用與相交，所以向量/，7不平行，由向量共面的充要條件知，存在惟一的

24、有序?qū)崝?shù)對",），），# -* 一使 g = xm + >7?將上式兩邊與向量作數(shù)量積， 一得/ g = x/ m + yl - n因為i 機=0 . i =0 ,所以71=o所以j_L",即/_Lg這就證明了直線垂直于平面a內(nèi)的任意一條直線.所以/_La四.練習(xí)鞏固五.拓展與提高六.小結(jié)七.作業(yè)練習(xí)與測試:（基礎(chǔ)題）所成角的大小為（）AD=3, AA' =5, NBAD=90°,A' C的長,1.如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，若則 AB,與 QB(A) 60° (B) 90(C) 105° (D) 75NBAA，=N

25、DAA，=60°,DB2、如圖，在平行六而體ABCD-A' B' C' D'中，AB=4,3、如圖，線段AB, BD 在平面a內(nèi)，BDlABt 線段 AC J. a ,且 AB二a, BD=b, AC=c,求 C, D 間的距離。1、如圖在正方體AG中，M、N分別是AA】、BBi的中點，求直線CM與D】N所成的角。口AiBi（1）夾角、空間向量數(shù)量積、運算律（2）三垂線定理及其逆定理（3）夾角、距離的求法課本P106,習(xí)題3.1 A組，第3題、第4題、第5題回顧方法1.已知空間四邊形OABC中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,且OA=OB=OC, M、N

26、分別是OA、BC的中點，G是MN的中點，求證OG_LBC分析：要證OGLBC,只需證明068右=0。把OG、BC用基向量OA、OB、OC表示略解：OG = -(OMON) = - -dA(bBOC) = -(OAOBOC) 22122J 4BCOC-OB（中等題）解得z = i2 .已知平行六面體ABCDTACD的底面是菱形，KZC1CB=ZGCD=ZBCD=60°（1）證明CCBD（2）當(dāng)工2的值為多少時,能使A£_L平面QBD?并證明 CC、分析：取B.C反CC；為運算的基向量，則6方=6-圍。注意向量間的方向?qū)A角的影響略證（2）設(shè)烏=雙九0）,菱形邊長為“，則6 =

27、/ICC； CC,m cQ = -（czi+cQ+cG（6-cc；）=- ： - M =o,元當(dāng)義=1 時，A.C BD =-(CDCBCC) (CD-CB) = 0§ 3. 1. 4空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示?【學(xué)情分析】：本小節(jié)首先把平面向量的基本定理推廣到空間向量的基本定理.這種推廣對學(xué)生學(xué)習(xí)已無困難.但仍要 一步步地進行，學(xué)生要時刻牢記，現(xiàn)在研究的范圍已由平而擴大到空間.這樣做，一方而復(fù)習(xí)了平而向量、學(xué)習(xí)了空間向量，另一方面可加深學(xué)生的空間觀念.讓學(xué)生從二維到三維發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能 力?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：(1)知識與技能：掌握空間向量基本定理，會判斷空間向量共面(2

28、)過程與方法：正交分解推導(dǎo)入手，掌握空間向量基本定理(3)情感態(tài)度與價值觀：認(rèn)識將空間向量的正交分解，能夠?qū)⒖臻g向量在某組基上進行分解【教學(xué)重點】：空間向量正交分解，空間向量的基本定理地使用【教學(xué)難點工空間向量的分解【課前準(zhǔn)備】：課件 【教學(xué)過程設(shè)計】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖一.溫故知新回顧平面向量的正交分解和平面向量的基 本定理由此為基礎(chǔ)，推導(dǎo)空間向量 的正交分解和基本定理新課講授1 .空間向量的正交分解設(shè)；，E是空間的三個兩兩垂直的向量， 且有公共起點拆對于空間任意一個向量 p = OP,設(shè)Q為點P在i, 7所確定的平 面上的正投影，由平面向量基本定理可知， 在麗，E所確定的平而上，存在

29、實數(shù)z, 使得麗= O0 + Z%而在；，所確定的平面上，由平面向量基 本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使得OQ = xi + yj從而麗= +由此可知，對空間任一向量方，存在一個有 序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得 = xi + y/ + zk，稱 *，y j . zk 為向量 p在i，j , i上的分向量。2 .空間向量的基本定理如果三個向量"了"不共而，那么對空間任一向量p»存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組以平而向量的基本定理為基 礎(chǔ)，層層遞進，得到空間向 量的正交分解形式。>*1* (x, y, z)，使 =xa + yb + zc由此定理，若三向量不共而，

30、那么空間的任一向量都可由HI線性表 示，我們把"1叫做空間的一個基底， "WZ叫做基向量?？臻g任意三個不共而的向量都可以構(gòu) 成空間的一個基底.如果空間一個基底的二個基向量的兩 互相垂直，那么這個基底叫做正交基底，特 別地，當(dāng)一個正交基底的三個基向量 3,1,1都是單位向量時，稱這個基底為單 位正交基底，對空間任一向量力，存在一個 唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使"0P = xex + ye2 + ze3 記 =(x, y, z)推論：設(shè)O,A,8,C是不共面的四點， 則對空間任一點P,都存在唯一的三個有序 實數(shù)x,y,Z，使。戶= x0，+)'0與 +

31、z3?.,注意介紹單位正交基、正交 基、基的特殊與一般的關(guān)系， 以幫助學(xué)生理解概念。三.典例講練例1.如圖，已知空間四邊形。鉆。，其 對角線08, AC, M,N分別是對邊 O48C的中點，點G在線段上，且 MG = 2GN ,用基底向量礪,礪.反表 示向量0G.向量的分解過程中注意向量 的運算的正確使用。四.練習(xí)鞏固五.拓展與提高解：OG = OM+MG 2 =OM "MN3= OA + (ON-OM)1 2 1 1 = -OA + -(OB + OC)-OA2 3 22= -OA + -(OB + OC)-OA2331 一 1 -. 1 一=-OA+-OB+-OC633而弓方+:

32、而+;。乙1、如圖，在正方體。4)3-C4''£>/&中，,0OA. OB. OC 表示 OD 和 OM點E是AB與0D的交點,M是OD，與CE的交點，試分別用向量A解：ODf =OA + OB + OCOM =-OA + -OB + -OC 333課本P102練習(xí)1、2、31.設(shè)A、B、C、D是空間任意四個點，令充分認(rèn)識基底的特征，即線u= AD + BC, v= AB + CD, w =AC + BD ,則、v. w三個向量A.互不相等B,至多有兩個相等C.至少有兩個相等D.有且只有兩個相等2 .若、b、c是空間的一個基底，下列各組la、mb、（/?

33、W0）：a+2力、2+3c、3。-9c：®«+2、+2c、c+%：+3、3+2r、2a+4c中，仍能構(gòu)成空間基底的是A.B.C.D.3 .已知e分別是空間四邊形A8CD 的邊 AB、BC,CD, OA 的中點，（1）用向量法證明瓦£G,”四點共而；（2）用向量法證明：BD平面EFGH ；（3）設(shè)"是EG和F7/的交點，求證：對空間任一點0,有ONI =-（a + OB + OC + OD）4c性無關(guān)的三個向量就可以構(gòu) 成空間的一個基底。六.小結(jié)1 .正交分解的推導(dǎo)和空間向量基本定理2 .如何將向量用坐標(biāo)表示3 .任意空間向量在某組基底下的分解七.作業(yè)課本

34、P106習(xí)題3.1第6題練習(xí)與測試：（基礎(chǔ)題）1如圖，在正方體加犯-C4'。'夕中，點E是AB與0D的交 點.M是0A與CE的交點，試分別用向量3,麗.5?表示歷和麗解：= OA + OB + OC 1 1 1 ，3332.設(shè)向量是空間一個基底，則一定可以與向量 p = a+kq = a-b構(gòu)成空間的另一個基底的向量是A. aB. br-C. cD. Cisb3 .設(shè)A、B、C、D是空間任意四個點，令 =AD +沅，v=7 + CD. w=AC + BD,則、八卬三個向量A.互不相等 B.至多有兩個相等C.至少有兩個相等D.有且只有兩個相等4 .若、b、c是空間的一個基底，下列

35、各組la、mbc（/2W0）：（）a+2b、2）+3c、3a9c；a+26、5+2c、c+2a；a+3b、3b+2c、 2r/+4c中，仍能構(gòu)成空間基底的是（）A. B.C. ®®D. ®®5 .設(shè)A, 8, C,。是空間不共而的四點，且滿足M 芯=0, AC AD = 0, M.布=0 ,則BCD是（ A.鈍角三角形B.直角三角形 C.銳角三角形D.不確定6 .已知S是AABC所在平面外一點，D是SC的中點，若&5 = xA© +）鞏。+zAS ,則 x+y+z=.7 .在空間四邊形ABCD中,AC和BD為對角線，G為aABC的重心，

36、E是BD上一點，BE=3ED,以/5, AC, AD為基底，則屈=（中等題）8 .已知四面體A8C。中，4B.AC4O兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中，不一定成立的是（）(1) . AB + AC + AD=AB + AC-AD(2). AB CD = AC BD = AD BC(3). (AB + AC + AD) BC = 0 (4). IAB + AC +ADI2=I XBI2 +1 ACI2 +1 ADI2不一定成立的是9.已知非零向量不共線，如果A* = e； + ,Ad = 2+8e；,45 = %；34，求證：A、B、C、D共§ 3. 1. 5空間向量運算的坐標(biāo)表示【學(xué)情分析

37、】:平面向量有座標(biāo)表示，空間向量也有座標(biāo)表示，在上一節(jié)中，單位正交分解就能夠完成向量坐標(biāo)向空 間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化?，F(xiàn)在，通過本行的學(xué)習(xí)，我們可以將向量的地定性公式定量化，在解題特別是 在解決立體幾何問題的過程中，可以大大簡化問題的難度?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：（1）知識與技能；能用坐標(biāo)表示空間向量Y（2）過程與方法：由平面坐標(biāo)運算類別空間坐標(biāo)運算，掌握空間向量的坐標(biāo)運算（3）情感態(tài)度與價值觀：類比學(xué)習(xí)，注重類比，運用向量的運算解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的開拓能力。【教學(xué)重點工空間向量的坐標(biāo)運算【教學(xué)難點】；空間向量的坐標(biāo)運算【課前準(zhǔn)備】：課件【教學(xué)過程設(shè)計】：溫故知新平而向量的坐標(biāo)運算1 .空間向量的直角坐

38、標(biāo)運算律A(al.a?.a3)二.新課講授a+b = (al +瓦,出 +偽,丹 +打)a-b = （al _|,色一瓦,。3一打），注重類比學(xué)習(xí)，舉一反三, 在平而向量中有坐標(biāo)運算, 空間向量中也有，運算規(guī)律 和結(jié)論的本質(zhì)是一樣的。Aa =)(A e R),若A（x，加&）, 8（,%，22），則48 =（占一七，丹一凹，馬一4）一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo),2 .數(shù)量積：即 a -b = ab +a2b23b33 .夾角：/-* r a baxby + ajcos(ab) = ,.、/ 卬 31 忖+才+短析+蠟+叱4 .模長公式

39、：若。=(4,生,“3)，則 I a 1= yja- a = Jaj +4'.5 .平行與垂直：a/b<=>aA =Ab1.a2 =Ab2,a3 =Ab3(AeR) aJL/?oa- = Oo ab + a2b2 + 613b3 = 06,距離公式：若，B(x2,y2,z2),則 I/1Q1= J aS =>/(x2-A1)24-(y2-.yl)2+(z2-z1)2 ,或dAB =一再)2+(乃一片)2+«2-馬)2 .例1.如圖，在正方體AB8 44GR中，E,工分別是44，G2的一個四等分點，求8片與。工所成的 角的余弦值。三.典例講練將空間向量的運算與

40、向量的坐標(biāo)表示結(jié)合起來，不僅可以解決夾角和距離的計算問題，而且可以使一些問題的解決變得簡單。解：不妨設(shè)正方體的棱長A1 為1,分別以麗，皮，麗; 為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Oryz,AB31則 8(1,1,0), £,(1,-,1), 0(0,0,0), K(0,1l)1 1所以8£=(0, w，D，Df；=(0,-,l) VF7 -J715I BE. 1= -， I DFX1= -， BE DF 1 4141 16' ' 'I d所以cos v BE. , DF、=, 1117例2,如圖，正方體A8C£)- A81GQ 中，E, a

41、廠分別是8名，2月的中點,求證：EF ± DAla 4：,證明：不妨設(shè)正方體的棱長為1,分別以加，DC , 西為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz ,又4(1,0,1), £)(0,0,0),所以而；=(1,0,1),所以訴西=0,因此而_L兩，即四.練習(xí)鞏固課本P105練習(xí)1, 2, 31.如圖在正方體AG中，M、N分別是AA1、BB的中點, 求直線CM與DN所成的角。五.拓展與提高學(xué)習(xí)注意觸類旁通,舉一反 三，引進向量的坐標(biāo)運算式 把定性的向量定量化的有 效辦法。這樣可以把向量問 題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題2.已知三角形的頂點A (1, -h 1), B (2, 1, -1)

42、,C (-L - 1, -2),這個三角形的面積是()B.V101C.2V10T因此，8與與。居所成角的余弦值是匕3.己知點 A (1, 2, 3), B= (2, 1, 2), P (1, 1, 2)在 直線OP (或延長線上)取一點P,使©豆最小，求S 的坐標(biāo)及最小值.解:設(shè) S (k,k,2k)為 OP 上一點，則初二(1一工2-k,3-2k)SB =(2kJ k.2- 2k)：.SASB=(l-k)(2-k)+(2-k)(l-k)+(3 - 2k)(2 - 2k) 4?=6k2 16k+10=6(k )2 334, ,?4 4 8k= 一時,(SASB)nin =一二此時OS

43、=333 3 33六.小結(jié)1 .空間向量的直角坐標(biāo)運算律2 .數(shù)量積與夾角3 .模長與距離4 .平行于垂直七.作業(yè)課本P106習(xí)題3.1, A組第8、9、11題.練習(xí)與測試：(基礎(chǔ)題)1.已知向量2 = (021)3 = (-1,一2),貝后與坂的夾角為()A. (TB. 45°C. 90° D. 180°2 .已知,;= (4 + 1,0,2出= (6,2-1,2),若力；，則4與的值分別為()A. ,B. 5 2C.，D5, -25 25 2(中等題)3已知A(3J,3), 8(1,0,5),求：(1)線段A8的中點坐標(biāo)和長度：(2)到A, 8兩點的距離相等的

44、點P(x, y, z)的坐標(biāo) y z滿足的條件.* 1 3解：(1)設(shè)M是線段A8的中點，則OM=z(QA + O3) = (2,3,彳). 223J AB的中點坐標(biāo)是(2,3,5)，AB = (-2,4,3)I AB 1= 7(-2)2 +42 +(-3)2 =回.(2) ;點尸(x,y,z)到A,8兩點的距離相等，則 7U-3)2+(y-D2+(z-3)2 = 7(x-l)2+(y-5)2+(z-0)2 ,化簡得：4x-8y + 6z + 7 = 0,所以，到48兩點的距離相等的點尸(x,y,z)的坐標(biāo)x,y,z滿足的條件是4x-8.v + 6z + 7 = 0.點評：到4B兩點的距離相等

45、的點尸(x,y,z)構(gòu)成的集合就是線段AB的中垂而，若將點P的坐標(biāo)x、y, z滿足的條件4x -8y + 6z + 7 = 0的系數(shù)構(gòu)成一個向量1 = (4-8,6),發(fā)現(xiàn)與AB = (-24,3)共線。4,已知三角形的頂點是A。,1,1), B(2,l-1), C(-l-1-2),試求這個三角形的而積。分析：可用公式5=1|人后|.|從口16畝人來求而積.2解：:麗= (1,2,-2), 衣=(-2,0,-3),：.AB 1= 2+22+(-2)2 = 3 , I AC 1= 7(-2)2+0 + (-3)2 = 713 ,Ad = (1,2, 2).(-2.0, -3) = -2 + 6

46、= 4,.*=網(wǎng)<而,恁>=型辿=3=處.ABAC 3x71339，所以阿 213xMT-39sin A = sin < AB. AC >= 5/l-cos2 < AB. AC >則向量a +否與a-B的夾角是5 .已知。=(cos8,1,sin6),5 = (sin6,1,8s6)，A. 90°B. 60° C. 30° D. 0°6 .已知 = (，),！ = (2),則-臼的最小值是 ()A右 B屈55D.7 .已知。=(3cosa,3sina,l)和Q =(28s/7,2sin/7,l),則|PQ|的取值范圍是

47、()A. 0,5B.0,25§ 3. 2. 1直線的方向向量與平面的法向量【學(xué)情分析工教學(xué)對象是高二的學(xué)生，學(xué)生已經(jīng)具備空間向量與立方體幾何的相關(guān)知識,所以本門課是通過這些知 識理解空間的幾個元素點、直線、平面的位置的向量表示，并且用向量及其運算表示線線、線而、面面間 的位置關(guān)系,可以比較順利地進行教學(xué).在教學(xué)中，師生共同探索發(fā)現(xiàn)用向量及其運算表示線線、線面、面 而間的位置關(guān)系并予于應(yīng)用，在起點高的班級中是可行的.【教學(xué)目標(biāo)】：（1）知識與技能：理解直線的方向向量和平而的法向量：會用向量及其運算表示線線、線面、而面間的 位置關(guān)系.（2）過程與方法：在解決問題中，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法

48、，加深對相關(guān)知識的理解。（3）情感態(tài)度與價值觀：開始體會把立方體幾何幾何轉(zhuǎn)化為向量問題優(yōu)勢?！窘虒W(xué)重點工平面的法向量.【教學(xué)難點】：用向量及其運算表示線線、線而、面而間的位置關(guān)系.【課前準(zhǔn)備】：Powerpoint課件【教學(xué)過程設(shè)計工教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖一、復(fù)習(xí)引 入1. （3 .兩個非零向量共線的充要條件是什么？4 .什么叫直線的方向向量？5 .回顧平面向量基本定理。為探索新知識做準(zhǔn) 備.二、探究新 知一、點、直線、平面的 p位置的向量表示1.思考：如何確定一 7個點在空間的位置？如圖，在空間 / 中，我們?nèi)∫稽c0作為基點，那么空間中任意 一點P的位置就0 可以用向量而來表示.稱向量而為

49、點的位置 向量。要求學(xué)生自己尋找 空間中的幾何元素 點、直線、平面的 位置的向量表示方 法。2思考：在空間中給定一個定點A和一個定方向（向量），能確定一條直線在空間的位置嗎？-/a7*/AP=Aa(AR)A如圖，點A和Z不僅可以確定直線1的位置，還可以具體表示出上的任意一點P。3.思考：給定一個定點和兩個定方向（向量），能確定一個平面在空間的 位置嗎？2S/OP = xa + yb(x. ye/?)如圖，點。和3、b不僅可以確定平面。的位置，還可以具體表示出。內(nèi)的任意一點P.*4.思考：給定一個定點和一個定方向（向量），能確定一個平面在空間的 位置嗎？聯(lián)系平面向量基本 定理來理解。法向量：若7

50、,2，則a叫做平面。的法向量。一彳 a學(xué)生記住法向量的概念。A如圖，過點A,以Z為法向量的平面是完全確定的.二、線線、線面、面面間的位置關(guān)系與向量運算的關(guān)系設(shè)直線1、m的方向向量分別為力、b,平面2,/的法向量分別為工 探究1:平行關(guān)系1,線線平行：/機。a/b<a = Ab通過對對稱軸不同 作法的探討，拓展 學(xué)生的思維.讓學(xué)生對每一種關(guān) 系都進行探究，找2,線面平行：/a <=> 7 JL 丘 o 7 日=03,面面平行：a/3<>u/v<=>u=Ay探究2：垂直關(guān)系L線線垂直：2,線面垂直:1 1 a <=> ci Hu <>

51、;a = AH3,面面垂直：a±/7<=> m ±v <=>m-v =0探究3：夾角(0<<)1，線線夾角：/,?的夾角為acosd = Ue ab2,線面夾角：的夾角為夕sin = M 1 a II u 13,面面夾角：e,a向夾角為8, cos 0 =1 U II V 1到相應(yīng)的向量關(guān)系 和運算公式。通過向量理解這些 關(guān)系式，而不是機 械記憶它們。三、練習(xí)鞏 固(1 .設(shè)直線九s的方向向量分別為B，根據(jù)下列條件判斷，m的位置 關(guān)系：(1)。 (2,1,2), Z> = (6,3,6)(2-= (1,2,-2), 3 = (-2,

52、3,2)(3)7 = (0,0,1),/? = (0,0,-3)答案：(1)平行；(2)垂直：(3)平行。2 .設(shè)平面。,尸的法向量分別為根據(jù)下列條件判斷平面。,萬的位置 關(guān)系：鞏固知識，培養(yǎng)技 能.(l)w = (-2,2,5), v = (6,-4,4)(2)i7 = (l,2,-2),v = (-2,-4,4)(3)萬=(2,3,5),/ = (3,1)29答案：(1)垂直：(2)平行；(3)相交，交角的余弦為，° 2,247四、拓展與 提高1.已知點P是平行四邊形A8c。所在平面外一點，如果 而=(2,-1,4), 而= (4,2,0), 而=(-1,2,-1).(1)求證：

53、A戶是平面A8CD的法向量；(2)求平行四邊形A8CD的面積.(1)證明：麗麗=(-1,2, 1)(2, 1,-4) = 0,麗麗=(-1,2,-1)(4,2,0) = 0,AP±AB, APYAD,又48nAO = A, AP_L平面A8C0,4戶是平面A8C。的法向量.(2) 1 而匕“2尸+(1)2+(7)2=0，IAZ5|=V42+224-02 =25/5 ,. A反 A萬=(2, -1, -4) (4,2,0) = 6,.63x/105笫 4 題 cos(AB, AD)=，105. sin /BAD =層,$ Sums T A*l 1A5 1 sin ABAD = 876 引導(dǎo)學(xué)生進行應(yīng) 用.對法向量作理解.鞏固以