拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用

1、取拉普拉斯逆變換像函數(shù)原函數(shù)解代數(shù)方程拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用學(xué)生姓名：岳艷林班級(jí)：物電系物本0801班學(xué)號(hào)：0036指導(dǎo)老師：韓新華摘要通過(guò)對(duì)拉普拉斯變換在求解常微分方程、典型偏微分方程中的應(yīng)用舉例，綜合比較、歸納總結(jié)拉普拉斯變換在求解微分方程中的優(yōu)勢(shì)以及局限性。關(guān)鍵詞拉普拉斯變換常微分方程偏微分方程引言傅里葉變換和拉普拉斯變換是常用的積分變換，但對(duì)函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換時(shí)必須滿足很強(qiáng)的條件，于是人們將傅里葉變換進(jìn)行改造便得到在物理和工程等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用的拉普拉斯變換。本文通過(guò)具體例子，重點(diǎn)討論拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用。應(yīng)用拉普拉斯變換求解微分方程的步驟如下：1、對(duì)線性微分

2、方程中每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，使微分方程變?yōu)閟的代數(shù)方程；2、解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式；3、用拉氏反變換得到微分方程的時(shí)域解。微分方程的解微分方程像函數(shù)的代數(shù)方程取拉普拉斯變換一、拉普拉斯變換以及性質(zhì)。1拉普拉斯變換的定義。傅里葉變換要求滿足狄里希利和在t內(nèi)絕對(duì)可積，但是在物理、無(wú)線電技術(shù)等十幾應(yīng)用中，許多以時(shí)間t為自變量的函數(shù)通常在t<0時(shí)不需要考慮或者沒(méi)有意義，像這樣的函數(shù)不能取傅里葉變換。為避免上述兩個(gè)缺點(diǎn)，將函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)改造，便產(chǎn)生了拉普拉斯變換。設(shè)函數(shù)f(t)(t>0)滿足下列條件：在區(qū)間0,8)上，除了有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)外，函數(shù)f(t)及它的導(dǎo)數(shù)f'

3、(t)處處連續(xù)，即函數(shù)f(t)分段連續(xù)；t存在常數(shù)M>0和>0,使對(duì)任何t值(t>0),有|f(t)|<Me,即隨著t的增大，函數(shù)|f(t)|的增大不比某個(gè)指數(shù)函數(shù)快，其中為其增長(zhǎng)指數(shù)。此時(shí)積分f(t)estdt,(sci,c0)在半平面Re(s)>c上一定存在,在0Re(s)c1c上絕對(duì)且一致收斂。則此積分所確定的函數(shù)F(s)f(t)estdt(t>0)(在半平面Re(s)>c內(nèi)，F(xiàn)(s)0為解析函數(shù))稱為f(t)的拉普拉斯變換(簡(jiǎn)稱拉氏變換)或像函數(shù)，而f(t)稱為F(s)的拉普拉斯逆變換(簡(jiǎn)稱拉氏逆變換)或原函數(shù)。它們之間的關(guān)系常用簡(jiǎn)單的符號(hào)表示

4、為F(s)Lf(t),f(t)L1F(s)或F(s)f(t),f(t)F(s).由于從定義求拉普拉斯變換或拉普拉斯飯變換困難且復(fù)雜，在控制工程中，常常通過(guò)查閱已編好的“拉氏變換對(duì)照表”來(lái)實(shí)現(xiàn)。拉氏變換對(duì)照表列出了工程上常用的時(shí)間函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的拉氏變換，可以根據(jù)該表查找原函數(shù)的拉氏變換,或者從像函數(shù)查找原函數(shù)。對(duì)于表中不能找到的形式，可以把它展開(kāi)成部分分式,再求拉普拉斯變換或拉普拉斯反變換。幾種常用的拉普拉斯變換對(duì)函數(shù)表如下:原函數(shù)像函數(shù)原函數(shù)像函數(shù)11stn（n為整數(shù)）n!n1ste1s1.-sinatt,aarctanssint22scosts22ssht22schts22stsint2s2

5、22(s)tcost22s222x2(s)(t)1erfc(-aF)2Mt1aJs一es2.拉普拉斯變換的性質(zhì)。線性定理若 Lfi(t)Fi(s), Lf2(t)F2(s),則 Lc#i(t)c2f2(t)CiFi(s)C2F2G).其中 Ci,C2是常數(shù).導(dǎo)數(shù)定理若 L f (t)F(s),則 Lf'(t) sF(s) f(0).推廣到高階導(dǎo)數(shù)Lfn(t) snF(s) sn1f(0) sn 2f'(0)Sf(n 2)g f(n 1)(0).積分定理若 L f (t)相似性定理若 Lf(t)F(s)，則 L:( )d 1Ls1sF(s),則 L f (at) - F(-).

6、a a(t).位移定理若 L f (t)F(s),則 Le t f (t) F(s).延遲定理若 Lf(t)F(s),則 Lf(t to)est0F(s).卷積定理若Lfi(t)Fi(s),Lf2(t)F2(s),則Lfi(t)if2(t)Fi(s)Fz(s),t其中fl(t)lf2(t)0fl()f2(t)d，稱為fi(t)與f2(t)的卷積.、拉普拉斯變換在求解常微分方程中的應(yīng)用1.初值問(wèn)題與邊值問(wèn)題。例：求解初值問(wèn)題y''4y'3yet,y(0)y'(0)1.解：設(shè)Y(s)Ly(t),對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換,s2Y(s)sy(0)y4sY(s)y(0

7、)3Y(s)結(jié)合初始條件，有2s1 2Y(s) s 1 4sY(s)1 3Y(s)整理展開(kāi)成部分分式，有2一一_s2 6s 67Y(s) 2(s 1)2(s 3)41(s 1)2由拉普拉斯變換函數(shù)表由拉普拉斯變換函數(shù)表1一 sn! nse;可知L313t；es 3tn,并結(jié)合位移定理Le t f (t) F(s),對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演,整理可得方程的解為17 ty(t) L Y(s) e4例：求解邊值問(wèn)題y''1 t33t1t3tte-e(72t)e3e.2 44)y0,y(0)0,y(2)1.解：設(shè)Y(s)Ly(t),對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有2's2Y(s)s

8、y(0)y(0)Y(s)0,結(jié)合初始條件，有2'_s1+可知 L 2 te .(s 1)對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得方程的解為y(t) L1Y(s) y'(0)tet,為了確定y(0),將條件y(1) 2代入上式可得y (0)-,Y(s)y(0)Y(s)0,整理展開(kāi)成部分分式，有y(0)11Y(s)瀉丫叱L1由拉普拉斯變換函數(shù)表L s對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得方程的解為昌t 11e,L J e11' ty(t) L Y(s) -y (0)(e e 2為了確定y'(0),將條件y(2 )y (0)sinht.1代入上式可得y'(0)1sinh 2所以

9、，方程的解為小sinhty(t).sinh22y y 0, y(0)例：求解常系數(shù)微分方程y2.常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程。0,y(i)2.解：設(shè)Y(s)Ly(t),對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有s2Y(s)sy(0)y'(0)2sY(s)y(0)Y(s)Q結(jié)合初始條件，有s2Y(s)y(0)2sY(s)Y(s)0,整理展開(kāi)成部分分式，有Y(s)共再，s2s1(s1),由拉普拉斯變換函數(shù)表L14tn,并結(jié)合位移定理Letf(t)F(ss所以，方程的解為y(t)L1Y(s)2tet2tet1.e例：求解變系數(shù)微分方程ty2yty0,y(o)1,y(o)%,(%為吊數(shù))解：設(shè)Y(s)Ly(

10、t),對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有Lty2LyLty0,一_n_1-_即LtyLy4Lty0,亦即ds2Y(s)sy(0)y'(0)2sY(s)y(0)Y(s)0,dsds兩邊積分可得2dd2sY(s)s2-Y(s)y(0)2sY(s)y(0)-Y(s)0,dsds結(jié)合初始條件，有dd2sY(s)s2dY(s)12sY(s)1Y(s)0,dsds整理可得色Y(s)-r,dss21兩邊積分可得Y(s)arctansc,欲求待定系數(shù)c,可利用limY(s)0,所以從c,即s21Y(s)-arctansarctan-,2s由拉普拉斯變換函數(shù)表L1arctana1sinat,可知L1arc

11、tans1sint.stt對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，可得方程的解為1 1y(t)L1Y(s)-sint.3.含函數(shù)的常微分方程。例：質(zhì)量為m的物體掛在彈簧系數(shù)為k的彈簧一端，當(dāng)物體在t=0時(shí)受到?jīng)_擊力f(t尸A(t),其中A為常數(shù)。若物體自靜止平衡位置x=0處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求該物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律x(t)解：根據(jù)牛頓定律，有mxf(t)kx,其中-kx由胡克定律所得，是使物體回到平衡位置的彈簧的恢復(fù)力。所以，'''物體運(yùn)動(dòng)的微分方程為mxkxf(t0),且xx0.這是二階常系數(shù)非齊次微分方程，對(duì)方程兩邊取拉普拉斯變換，設(shè)Lx(t)X(s),Lf(t)LA(t)A,并考慮到初始條件，則

12、得2ms2X(s)kX(s)A,如記o2k,有X(s)-212.mms011由拉普拉斯變換函數(shù)表L2smt,可知L2sin0t.ss00對(duì)方程兩邊同時(shí)取反演，從而方程的解為Ax(t)sin0t.m0可見(jiàn)，在沖擊力作用下，運(yùn)動(dòng)為一正弦振動(dòng)，振幅是A-,角頻率是。，稱0m0為該系統(tǒng)的自然頻率(或稱固有頻率)4.常微分方程組。例：求解常微分方程組tx y e , 3x 2yt x(0)y(0) 1.2e ,解：設(shè)Y(s)Ly(t),對(duì)方程組的兩個(gè)方程兩邊分別取拉普拉斯變換，有sX(s) x(0)X(s) Y(s)sY(s) y(0)3X(s) 2Y(s)1s 1,2s 1結(jié)合初始條件，整理可得(s

13、1)X(s) Y(s)s13X(s)(s2)Y(s)=s1解該方程組，可得1X(s),s1取其逆變換，可得原方程組的解x(t)et,y(t)et.三、拉普拉斯變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用1.齊次與非齊次偏微分方程；例：求解齊次偏微分方程2-ux2y,(x0,y),xyuy0x2,ux03y.解：對(duì)該定解問(wèn)題關(guān)于y取拉普拉斯變換，并利用微分性質(zhì)及初始條件可得Lu(x,y)U(x,s),LsU(x,s)u(x,0)sUx2,y2uuUrudUcLL(一)sLy0s2x,xyyxxxdx221xLxyr,sLux0Ux0?.s這樣，原定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)s的一階常系數(shù)線性非齊次微分方程的邊值問(wèn)dUs

14、一2xdx2x-T , sUx032 . s方程嚶2x2J可轉(zhuǎn)化為 sdU -s 2xdx解此微分方程，可得其通解為3 x3s32c,其中c為常數(shù)。s為了確定常數(shù)c,將邊界條件0 A代入上式，可得 s2 2 .s3所以，U(x,s) j 3s32 2 .s由拉普拉斯變換函數(shù)表1 一， 1 x-1,可知 L一由拉普拉斯變換函數(shù)表鼻tn,可知Ls3x3s3L 旨 3y.方程兩邊取反演，從而原定解問(wèn)題的解為3 2u(x, y) L 1U (x,s) y- 3y 6例：求解非齊次偏微分方程2ut22a2f g,(g為常數(shù))，(xx0,t 0),0, t0.0,t 0解：對(duì)該問(wèn)題關(guān)于t取拉普拉斯變換，并

15、利用微分性質(zhì)及初始條件可得Lu(x,t) U(x,s),2Ly s2U(x,s) sus2U, t oLg22.2L2Lu(x,t)Ju,xxdxLUxoUx00.這樣，原定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)s的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的邊值問(wèn)題:2dU12U1g22sU，dxaasUx。0，SimU0.2dU12,1g方程2-2-SU-2可轉(zhuǎn)化為dxaas解此微分方程，可得其通解為U(x,s)d22 s U 2，dxaa sU12M1g。代入上式,為了確定常數(shù)C1，C2,將邊界條件U|x。0,limUsf (t t。),可得C10,C2耳，ss所以，U(x,s)g(1eax)鼻33ss由拉普拉斯變換函數(shù)

16、表L12s由拉普拉斯變換函數(shù)表L1瞿sx9d3estn,可知L1斗處2.sss_x_xceC2 eg3,其中c1,c2為常數(shù)。2tn,并結(jié)合延遲定理L1est0F(s)x1s可知L-3-ea3s9(t勺2u(t勺.2aa方程兩邊取反演，從而原定解問(wèn)題的解為xu(x,t)L1U(x,s)L1瀉-g3ea-t2g(t-)2u(t-).ss22aa(或)Mtx-; a2.有界與無(wú)界問(wèn)題。例：求解有界偏微分方程22u2U2a-,(0xl,t0),txux00,ux1(t),Iuult00,-0.tt0解：對(duì)該定解問(wèn)題關(guān)于t取拉普拉斯變換，記Lu(x,t)U(x,s),Lt2s2Usus2U,d2Udx

17、22L-2xLuxoUx00,LuxiUxi(s).這樣，原定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)s的二階常系數(shù)線性齊次微分方程的邊值問(wèn)題:d2Udx2U x00,U xl0,(s).該方程的通解為U (x, s)ss-x-xcea c?e a ,其中 Ci,C2 是常為確定常數(shù)Ci,c2,將邊界條件U|x00,代入上式，可得Ci00,即gC2；將邊界條件U x-1(s)代入上式，可得(s) Gea-iC2e a因此GC2(s)si -iea e a從而eU(x,s)(s)es_xasias_xea3eass_x_x(eaea)(e(s)sIsI(eae*)(e!ia叫ea)吟ea)ss、-(Ix)-(Ix)e

18、aea(5) 4I_s1 eas一s(3lx)as一s(3lx)ea4l_sa為了求U(x,s)的拉普拉斯逆變換，注意到分母為4l_sea,所以逆變換u(x,t)是周期為41的關(guān)于1的周期函數(shù)。根據(jù)周期函數(shù)的拉普拉斯變換式，其中a(s)4I一s1ea表明(t)是以41為周期的周期函數(shù)，即aL(t)(s)41s1ea141sea4I0a()esd，由拉普拉斯變換函數(shù)表L11(s41(t)，sea并結(jié)合延遲定理L1est0F(s)f(tM)，可知L11e4!seealxsa(tx、/Ix、-)u(t).a同理可知L11(s)4I一sealxsa(tx)u(ta3).aL11(s)4I-seaUsa

19、(t3lx)u(ta3lx).aL11(s)41sea3Ixsea(t3Ix、小)u(ta3Ix).a方程兩邊取反演，從而原定解問(wèn)題的解為u(x,t)L1U(x,s)(t3)u(t3)(t3Mu(tVaa(ta3lx)u(ta3l(t3)u(t)aa).a其中u(a)為單位階躍函數(shù),即u(a)0,a0,1,a0.例：求解無(wú)界偏微分方程2a2Uhu,（h為常數(shù)），（x0,t0）,txu|xoUo（常數(shù)），Uto0.解：對(duì)該問(wèn)題關(guān)于t取拉普拉斯變換，記Lu(x,t)U(x,s),LsU(x,s) usU,2L-2xLu(x,t)d2U dx2Luxo U xoUos這樣，原定界問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)s的

20、二階常系數(shù)線性齊次微分方程的邊值問(wèn)題:o,d2Udx2Uxou°,lim Uo（為自然定解條件）.s x解此微分方程可得通解為shshxxU(x,s)Cieac?ea，其中為常數(shù)。為確定常數(shù)Ci,c2,將邊界條件U|xo也代入上式，可得CiC2受ss將邊界條件limUo代入上式，可得C1o.x因此，C2u0.ssh所以，U（x,s）曳e”.從而U(x,t)L1U(x,s)L1u0esxa,由拉普拉斯變換函數(shù)表L111,可知LluiUo.由拉普拉斯變換函數(shù)表,ir1L-ea.sserfc-2=j_e2d,21可知L11erfc(x)22a、t).x2at如果令fx2ate2d,顯然f(

21、0)=0,由導(dǎo)數(shù)定理Lf'(t)sF(s)f(0)可知f(t)L1s1-飛-ea,sx-s亦即L1eaf(t)由位移定理LetfF(s),J'sh可知L1ex2attex24TThte由卷積定理Lfi(t)i可得U(x,t)4x)dt2a.t2attx一e2attx2(方ht)f2(t)Fi(s)F2(s),L1當(dāng)L1es：/shxa,令一,最后可得該定解問(wèn)題的解為2au(x,t)L1當(dāng)L1esshxaUox2at.tex2(方ht)x2e4a2tetUo()xe02a(t).(t)'d2u0x2at2hx2E)d.四、拉普拉斯變換在求解多維微分方程中的應(yīng)用例：求解三維

22、常微分方程組''xxyz0,"IIIxyyz0,x(0)1,y(0)z(0)x(0)y(0)z(0)0.''xyzzQ解：設(shè)X(s)Lx(t),Y(s)Ly(t),Z(s)Lz(t),對(duì)方程組的兩個(gè)方程兩邊分別取拉普拉斯變換并結(jié)合初始條件，有(s21)X(s)Y(s)Z(s)0,2X(s)(s21)Y(s)Z(s)0X(s)Y(s)(s21)Z(s)0.解該方程組，整理展開(kāi)成部分分式，有X(s)3s(s21)(s22)Y(s)Z(s)3s2s22(s21)(s22)取其逆變換，可得原方程組的解x(t)y(t)|cosh(,2t)1一cost,3,、11

23、z(t)cosh(、2t)-cost.33五、拉普拉斯變換在求解高階微分方程中的應(yīng)用及推廣。1.拉普拉斯變換在求解非齊次高階微分方程特解中的應(yīng)用形如y(n)a1y(n1)amy'ayf(x)的方程稱為n階常系數(shù)非齊次線性微分方程，這里a1,a2,an1,an為常數(shù)，f(t)為連續(xù)函數(shù)。我們平時(shí)用到的f(x)種 形pnxn),的形式主要有：f(x)ex,f(x)exp(x)(其中p(x)pxp?x2f(x)sinx、f(x)cosx.該非齊次微分方程的解即該非齊次微分方程的特解與對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解。對(duì)于該方程的通解可用多種方法求特解，如：比較系數(shù)法、常數(shù)變易法、算子法等。下面將用拉

24、普拉斯變換法求解該方程的特解。設(shè)Y(s)Ly(t),F(s)Lf(x),為求特解令初始條件為零，對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，得到Y(jié)(s)-n-r(s)s a1san 1s一,下面結(jié)合f(x)的三種形 an式分別作介紹。(1) f(x) ex此時(shí)，Y(s)1(s)(sn &sn1anis an)對(duì)其進(jìn)行部分分式分解，令Y(s)Bsn1Csn 2nn 1(s asan 1san)則該齊次微分方程特解的形式與自由項(xiàng)f(x)有關(guān)，也就是說(shuō)與變換項(xiàng)f有關(guān);Bcn1Ccn2*D.、對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解由nBsn1cs-決定，只要該項(xiàng)分母中不(sa1san1san)含有特解因子s,則特解只取決

25、于-o若sna1sn1an1sansQ則A (s)Y (x)nn 1(sa1san 1s an)整理展開(kāi)成部分分式，有Y(s)1(s2)(s2s)ABsCs2s2s此時(shí)(s2s)s20,則11an 1s an)Y(x)nn1s(sa1s對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演,整理可得原微分方程的特解為y(t)1LY(s)4nn1右sasan1San(s)ms(sLj.nm1bis1112xes22bnm)0,)Dbn m)'nm1'cnm f(x) e Xp(x)(其中 p(x)px P2X2令y(s)ABCm1nmnm1(s)(s131s同理，相應(yīng)的拉斯變換特解為、，、1r丫(X)-、m1/n

26、m(s)(snm1b1sbnm).例：求解常系數(shù)線性齊次方程y''5y''8y'4ye2x的特解。解：設(shè)Y(s)Ly(t),令初始條件為零,對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有(s3 5s218s4)Y(9s2此時(shí)s31(s 2)(s3 5s2 8s 4)(s 2)(s 2)2(s 1)5s2 8s 4s 2 0,AAsB(s2)3(s1)則相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為1 rY (X)一,E / n m(s ) (sn m 1b1sbn m)s2對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得原微分方程的特解為111122Xy(t)L1Y(s)L13-x2e2x一 n PnX )

27、.(s2)2例：求微分方程y5y6yxe2x的特解。解：設(shè)Y(s)Ly(t),令初始條件為零，對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有(s2 5s16)Y(s)2,(s2)2WJY(s)22(s 2)2 (s25s 6)(s122)2(s 2)(s 3)此時(shí)s25s 6 s 2As B(s 2)2Cs D2,s2 5s 6As BY(s) (s2)2s3s 2s2 4s1s2 5s 61 ss 2,相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為Y (s)s2 4 s 421ss2 4 s 41 s(2 s)(1 s)s2 4s 4As B(s 2)2(s 2)2(s 2)2 (s 2)3 '對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整

28、理可得原微分方程的特解為11y (t) L Y (s) L (s 2)2 (s 2)32x(xe1xe2x)22x 1xe (1 一 x). 2(3)f(x)sinx、f(x)cosx例：求解微分方程V、4y'5ysin2x的特解。解：設(shè)Y(s)Ly(t),令初始條件為零,對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有22(s24s5)Y(s)-,s4AsBCsD22一s4s4s52AsBY(s)(s24)2s24s5s2424s12(4s1)s24(4s1)(4s1)s22(4s1)16s212(4s1)s2465-相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為Y(s)AsB2(4s1)s2465(s24)1(865s

29、s24對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得原微分方程的特解為sin 2x).11s21y(t)LY(s)L8-(8cos2xs4s4652 .拉普拉斯變換在求解高階微分方程中的推廣。引理1n階常系數(shù)線性齊次方程的解(積分曲線)具有平移不變性。也就是說(shuō),若y=y(x)為n階常系數(shù)線性齊次方程的一個(gè)解，則對(duì)任意的常數(shù)c,y=y(x+c)也是n階常系數(shù)線性齊次方程的解。引理2若yy(x,Xo,y0)為n階常系數(shù)線性齊次方程的一個(gè)解，yy(x,Xo,y°)經(jīng)平移后變?yōu)閥y(x%,0,丫。),則丫y(x%,0,y0)也是n階常系數(shù)線性齊次方程的解。下面給出利用拉普拉斯變換方法求解三階常系數(shù)線性齊次方

30、程ypy'qyry。滿足在任意點(diǎn)的初始條件1''2y(%)y0,y(xo)y0,y(%)y0的斛。設(shè)方程的解為yy(x,xo,yo)y(xxo,0,yo),這樣，我們便將初值點(diǎn)平移到了xXo0點(diǎn)，于是可用如下的拉普拉斯變換方法求解該初值問(wèn)題。令y(t)y(xxo,0,yo)(其中txx°),'''(2)(3(3)y(0)yo,y(0)yo,y(0)y。,y(0)y。.設(shè)Y(s)Ly(t),對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，得到Lypy'qyry0,由拉普拉斯變換的導(dǎo)數(shù)定理Lf'(t)sF(s)f(0)以及高階導(dǎo)數(shù)推廣Lfn(

31、t)snF(s)snQ一 1 U由拉普拉斯變換函數(shù)表 L r cos t,可知L cost,f(0)sn2f'(0)sf(n2)(0)f(n1)(0)可得Ihjsis人1-/isis/siv/siW/siv/Fli'、.,s3Y(s)s2y(0)sy(0)y(0)ps2Y(s)sy。y(0)csY(s)y(0)rY(s)0.結(jié)合初始條件，有3 21221_sY(s)syos%yopsY(s)sy°yoqsYy0rY(s)0.整理可得Y(s)21(s1s22s2 1、，111由拉普拉斯變換函數(shù)表 L 二2 sin t,可知L sint,s 1psq)y0(sp)y01y

32、。2.spsqsr對(duì)上式兩邊同時(shí)取拉普拉斯逆變換，可得,1r、,.1r1,2、zx12lY(s)l-2(spsq)y0(sp)y0y0.spsqsr進(jìn)行變量還原，便得到所求初值問(wèn)題的解為yy(x,X0,y0)y(xX0,0,y0)y(t)y(x%).例：求解二階常系數(shù)線性齊次方程 yy 0，該方程滿足初始條件y()1,y()1.解：首先轉(zhuǎn)化初值條件yy(x,1)y(x,0,1)y(t)(其中tx).444設(shè)Y(s)Ly(t),對(duì)萬(wàn)程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，得到Lyy0,即s2Y(s)s1Y(s)0.整展成部分分式，有Y(s)s 1s2 1s 12L2Ls1s1對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得方程

33、的解為y(t) L1Y(s) cost sint.變量還原，得到原初值問(wèn)題的解為yy(x,1)y(x,0,1)y(t)costsintcos(x)sin(x).2cosx.4444六、綜合比較，歸納總結(jié)。從以上的例題可以看出，用拉普拉斯變換方法求解微分方程有如下的優(yōu)缺拉普拉斯變換對(duì)像函數(shù)要求比傅里葉變換弱，其使用面更寬；用拉普拉斯變換方法求解微分方程，由于同時(shí)考慮初始條件，求出的結(jié)果便是需要的特解。而微分方程的一般解法中，先求通解，再考慮初始條件確定任意常數(shù)，從而求出特解的過(guò)程比較復(fù)雜；用拉普拉斯變換方法求解微分方程的步驟比較明確、規(guī)律性比較強(qiáng)、思路清晰且容易掌握，；零初始條件、零邊界條件使得

34、拉普拉斯變換方法求解微分方程更加簡(jiǎn)單，而在微分方程的一般解法中，不會(huì)因此而有任何簡(jiǎn)化；用拉普拉斯變換方法求解微分方程，對(duì)方程的系數(shù)可變與否、對(duì)區(qū)域有界與否、對(duì)方程和邊界條件齊次與否并無(wú)特殊關(guān)系；用拉普拉斯變換方法求解微分方程，當(dāng)方程的系數(shù)可變、區(qū)域有界、方程和邊界條件非齊次時(shí)，求解過(guò)程沒(méi)有任何困難，而在微分方程的一般解法中，會(huì)遇到很多困難；用拉普拉斯變換方法求解微分方程組，可以在不知道其余未知函數(shù)的情況下單獨(dú)求出某一個(gè)未知函數(shù)，而在微分方程的一般解法中通常是不可能的；拉普拉斯變換像其他變換一樣也有它的局限性，只有滿足它的存在定理時(shí)才可只用拉普拉斯變換。而在微分方程的一般解法中，并沒(méi)有任何限制；拉普拉斯變換可以使解n個(gè)自變量偏微分方程的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為解n-1個(gè)自變量的微分方程的問(wèn)題，逐次使用拉普拉斯變換，自變量會(huì)逐個(gè)減少，有時(shí)還可將解n個(gè)自變量偏微分方程的問(wèn)題