一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型習(xí)題解析

1、一元二次方程、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖二、具體內(nèi)容(一) 、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個(gè)數(shù)為 1未知數(shù)的最高次數(shù)為 2,整式方程，可化為一般形式；2 正確識(shí)別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù)2(1 )明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù) a = 0時(shí)，整式方程ax bx 0才是一元二次方程。(2) 各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù) ).(3) 熟練整理方程的過(guò)程3元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解4 列出實(shí)際問(wèn)題的一元二次方程(二) 、一元二次方程的解法1 明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而 把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次

2、方程求解；2根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3體會(huì)不同解法的相互的聯(lián)系；4 值得注意的幾個(gè)問(wèn)題：2 2(1) 開(kāi)平方法：對(duì)于形如 x二n或(ax b)二n(a = 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開(kāi)平方法求解當(dāng) n 0 時(shí)，x =. n ；當(dāng) n = 0 時(shí)，X| = x? = 0 ;當(dāng)n : 0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。（2）配方法：通過(guò)配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為（x m）2二n的方程，再運(yùn)用開(kāi)平方法求解。配方法的一般步驟： 移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常

3、數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊； “系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1； 配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為（x m）2二n的形式；求解：若n _ 0時(shí)，方程的解為x = -m _ n，若n ： 0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解。（3）公式法：一元二次方程2 axbx c = 0(a = 0)的根 x =- b 二 b2 -4ac2a當(dāng)b2 -4ac 0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；2b當(dāng)b -4ac =0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫(xiě)為 捲=X22a當(dāng)b2 -4ac : 0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定a,b, c的值

4、；代入b2-4ac中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；若 b2 -4ac_0代入求根公式求值，否則，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。（因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一 元二次方程。）（4）因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0，即:若 ab =0，則 a = 0或b = 0 ； 因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個(gè)因式都為零，得 到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。（5）選用適當(dāng)方法解一元二次方程 對(duì)

5、于無(wú)理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡(jiǎn)便的多，只不過(guò)應(yīng)注意二次 根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。 方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡(jiǎn)便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對(duì)于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時(shí)一定 不要忘記對(duì)字母的取值進(jìn)行討論。（三）、根的判別式1了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合 題意的參數(shù)取值范圍。（1） :. = b2 _4ac（2）根的判別式定理及其逆定理：對(duì)

6、于一元二次方程ax2 bx c = 0（ a = 0）當(dāng)二 方程有實(shí)數(shù)根; 0 時(shí)a工0當(dāng)嚴(yán)0方程無(wú)實(shí)數(shù)根;a0 = 0時(shí)二方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;（當(dāng)仏沁時(shí)二方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)?shù)?頁(yè)共14頁(yè)從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2 常見(jiàn)的問(wèn)題類型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況 先計(jì)算出判別式（關(guān)鍵步驟）； 用配方法將判別式恒等變形； 判斷判別式的符號(hào)； 總結(jié)出結(jié)論 例：求證：方程（a2 1）x2 -2ax （a2 4） = 0無(wú)

7、實(shí)數(shù)根。（4）分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時(shí)未指明是二次方程，后面也未指明兩個(gè)根，那一定要對(duì)方次方程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0,程可能會(huì)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根。（5）元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識(shí)綜合命題，解答時(shí)要在全面 分析的前提下，注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧（6）元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題（四）、一元二次方程的應(yīng)用1數(shù)字問(wèn)題：解答這類問(wèn)題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。2幾何問(wèn)題：這類問(wèn)題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法

8、則來(lái)尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對(duì)結(jié)果要 結(jié)合幾何知識(shí)檢驗(yàn)。3增長(zhǎng)率問(wèn)題（下降率）：在此類問(wèn)題中，一般有變化前的基數(shù)（a ）,增長(zhǎng)率（x ）,變化的次數(shù)（n ）,變化后的基數(shù)（b ），這四者之間的關(guān)系可以用公式a（i x）n =b表示。4.其它實(shí)際問(wèn)題（都要注意檢驗(yàn)解的實(shí)際意義，若不符合實(shí)際意義，貝y舍去）（五）新題型與代幾綜合題（1）有100米長(zhǎng)的籬笆材料，想圍成一矩形倉(cāng)庫(kù)，要求面積不小于600平方米，在場(chǎng)地的北面有一堵50米的舊墻，有人用這個(gè)籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)40米、寬10米的倉(cāng)庫(kù)，但面積只有 400平方米，不合要求，問(wèn)應(yīng)如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)與寬才能符合要求呢？（2）讀詩(shī)詞解題（列出方程，并估算出周瑜

9、去世時(shí)的年齡）：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符，哪位學(xué)子算得準(zhǔn)，多少年華屬周瑜？ （36歲）已知：a,b,c分別是厶A B C勺三邊長(zhǎng)，當(dāng)m 0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程c（x2 m） b（x2 -m）-2、max=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：ABC是直角三角形。（4） 已知：a, b,c分別是 ABC的三邊長(zhǎng)，求證：方程 b2x2 （b2 ca2 ）x c 0沒(méi)有實(shí)數(shù)根。（5） 當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程 mx2 -4x 4 = 0與x2 - 4mx 4m2 - 4m - 5 = 0的根 都是整數(shù)？ （ m =1）m

10、i（6）已知關(guān)于x的方程x2 2 0，其中m為實(shí)數(shù)，（1 ）當(dāng)m為何值時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)x +2x2m數(shù)根？ （ 2）當(dāng)m為何值時(shí)，方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根？求出這三個(gè)實(shí)數(shù)根。答案：（1）m ： _2（ 2）x = -1, 一仁.2.（六）相關(guān)練習(xí)（一） 一元二次方程的概念1.一元二次方程的項(xiàng)與各項(xiàng)系數(shù)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫(xiě)出二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)：(1)5x2 _2 =3x2(5x ,-3x,-2)(2)2 -6x2 15x =0(6x2,15x,- . 2)(3)3y(y 1) =7(y 2)5(3y2 ,_4y,_9)(4)(m . m)(m 一 . m) (m -2

11、)2 = 7 -5m2(2m Q-3)(5)(5a -1)2 =4(a -3)22(3a ,2a,-5)2 應(yīng)用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值（1） m為何值時(shí)，關(guān)于 x的方程（m-、. 2）xm - （m，3）x = 4m是一元二次方程。（2）若分式x2 -7x -8x二廠3 由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值（1）關(guān)于x的一元二次方程（a -1）x2 x a20有一個(gè)根為0,則a - 已知關(guān)于x的一元二次方程ax2 bx c = 0（a = 0）有一個(gè)根為1，一個(gè)根為-1,則a b c =a _ b c 二2(3)已知c為實(shí)數(shù)，并且關(guān)于x的一元二次方程x? _3x c=0的一個(gè)根

12、的相反數(shù)是方程 的一個(gè)根，求方程x2 3x -c = 0的根及c的值。x 3xc = 0(二)一元二次方程的解法1.開(kāi)平方法解下列方程：(1) 5x2 -125 =02(2) 169(x-3) =289(3) y2 亠 361=0(4) (1 - . 3)m2 二 0(5)2(3x1)2)52. 配方法解方程：(1) x2 2x -5 = 0(3) 2y2 -4y = -33. 公式法解下列方程：(1) 3x2 二 6x22(2) y 5y 1 = 0(2) p23 = 2、3p第9頁(yè)共14頁(yè)(3) 7y2 =11y(4) 9n =5n22(5) x 2 = (x _2)(2x _1) _34

13、. 因式分解法解下列方程:2(2) y 4y -45 = 01 2(1) x2 -9 =04第11頁(yè)共14頁(yè)(3) 8x210x -3 = 0(4) 7x2 7 21x = 0(5) 6x2 -3、3x =2、2x- .62(6) (x-5) =2(x-5)-1(7) (x23x)2 -2(X23) -8 =05解法的靈活運(yùn)用(用適當(dāng)方法解下列方程)(1)2(2x -7)2 二 1282 2 2(2) 2m-m 1=2(m -2m)(1) 4x? _ x 3 = 7x(2) 3(x2) = 4x2(3) 6x(x _2) = (x _2)(x 3)2(4)y 3y(3-2y)y(3y-1)3

14、一 232 2(5) 81(2x -5)2 =144(x -3)26 解含有字母系數(shù)的方程( 解關(guān)于x的方程)：(1) x2 -2mx m2n2 二 0(2) x2 3a2 = 4ax - 2a 12(3) (m n)x 2nx = m _ n ( m n - 0 )(4) a2(x2 -x -1) -a(x2 -1) =(a2 -1)x（三）一元二次方程的根的判別式1. 不解方程判別方程根的情況：第15頁(yè)共14頁(yè)(3) 4x2 5 = 4、5x2. k為何值時(shí)，關(guān)于x的二次方程kx2 -6x 0(1) 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根(2) 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(3) 無(wú)實(shí)數(shù)根3. 已知關(guān)于x的方程 4x2

15、 - (m，2)x=1-m有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根求m的值和這個(gè)方程的根.2 24.若方程x 2(a1)x a 4a - 5 = 0有實(shí)數(shù)根，求：正整數(shù) a.5.對(duì)任意實(shí)數(shù) m,求證：關(guān)于x的方程(m2 T)x2 -2mx m2 4 = 0無(wú)實(shí)數(shù)根6. k為何值時(shí)，方程(k -1)x2 -(2k3)x (k 30有實(shí)數(shù)根7設(shè)m為整數(shù)，且4：；m：40時(shí)，方程x2 -2(2m - 3)x 4m2-14m 8 =： 0有兩個(gè)相異整數(shù)根， 求m的值及方程的根。一元二次方程應(yīng)用題總結(jié)分類及經(jīng)典例題1、列一元二次方程解應(yīng)用題的特點(diǎn)列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展，從列方程解應(yīng)用題的方

16、法來(lái)講， 列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一 次，因此這類問(wèn)題大部分都可通過(guò)算術(shù)方法來(lái)解決如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由 于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問(wèn)題，經(jīng)過(guò)兩次增長(zhǎng)的平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，數(shù)學(xué) 問(wèn)題中涉及積的一些問(wèn)題，經(jīng)營(yíng)決策問(wèn)題等等.2、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟和列一元一次方程解應(yīng)用題一樣，列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟是：“審、設(shè)、列、解、答”“審”指讀懂題目 審清題意，明確已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.這一步是解決問(wèn)題的基礎(chǔ);(2) “設(shè)”是指設(shè)元，設(shè)元分直接設(shè)元和間接設(shè)元，所謂

17、直接設(shè)元就是問(wèn)什么設(shè)什么，間接設(shè)元雖然所設(shè)未 知數(shù)不是我們所要求的，但由于對(duì)列方程有利，因此間接設(shè)元也十分重要恰當(dāng)靈活設(shè)元直接影響著 列方程與解方程的難易；“列”是列方程，這是非常重要的步驟，列方程就是找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出 含有未知數(shù)的等式，即方程找出相等關(guān)系列方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；(4) “解”就是求出所列方程的解；(5) “答”就是書(shū)寫(xiě)答案，應(yīng)注意的是一元二次方程的解，有可能不符合題意，如線段的長(zhǎng)度不能為負(fù)數(shù)，降低率不能大于100%等等因此，解出方程的根后，一定要進(jìn)行檢驗(yàn).3、數(shù)與數(shù)字的關(guān)系 兩位數(shù)=(十位數(shù)字)x 10 +個(gè)位數(shù)字三位數(shù)=(百位數(shù)字)x 100 +

18、 (十位數(shù)字)x 10 +個(gè)位數(shù)字4、翻一番翻一番即表示為原量的 2倍，翻兩番即表示為原量的 4倍.5、增長(zhǎng)率問(wèn)題實(shí)際數(shù)=基數(shù)+增長(zhǎng)數(shù)(1)增長(zhǎng)率問(wèn)題的有關(guān)公式：增長(zhǎng)數(shù)=基數(shù)X增長(zhǎng)率(2) 兩次增長(zhǎng)，且增長(zhǎng)率相等的問(wèn)題的基本等量關(guān)系式為：原來(lái)的X (1+增長(zhǎng)率)增長(zhǎng)期數(shù)=后來(lái)的說(shuō)明：(1)上述相等關(guān)系僅適用增長(zhǎng)率相同的情形；(2)如果是下降率，則上述關(guān)系式為：原來(lái)的X (1 增長(zhǎng)率)下降期數(shù)=后來(lái)的6、利用一元二次方程解幾何圖形中的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題的一般步驟(1)整體地、系統(tǒng)地審讀題意；(2)尋求問(wèn)題中的等量關(guān)系(依據(jù)幾何圖形的性質(zhì));(3) 設(shè)未知數(shù)，并依據(jù)等量關(guān)系列出方程；(4)正確地求解方程

19、并檢驗(yàn)解的合理性；(5)寫(xiě)出答案.7、列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵(1) 審題是設(shè)未知數(shù)、列方程的基礎(chǔ)，所謂審題，就是要善于理解題意，弄清題中的已知量和未知數(shù)，分清 它們之間的數(shù)量關(guān)系，尋求隱含的相等關(guān)系；(2) 設(shè)未知數(shù)分直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)，這就需根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系正確選擇設(shè)未知數(shù)的方法和正確地設(shè)出未知數(shù).8、列方程解應(yīng)用題應(yīng)注意：(1) 要充分利用題設(shè)中的已知條件，善于分析題中隱含的條件，挖掘其隱含關(guān)系；(2) 由于一元二次方程通常有兩個(gè)根，為此要根據(jù)題意對(duì)兩根加以檢驗(yàn).即判斷或確定方程的根與實(shí)際背景和題意是否相符，并將不符合題意和實(shí)際意義的1已知直角三角形三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長(zhǎng)和面積2.一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4,且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4,求這個(gè)兩位數(shù)3某印刷廠在四年中共印刷1997萬(wàn)冊(cè)書(shū)，已知第一年印刷了342萬(wàn)冊(cè)，第二年印刷了 500萬(wàn)冊(cè)，如果以后兩年的增長(zhǎng)率相同，那么這兩年各印刷了多少萬(wàn)冊(cè)？4. 某人把5000元存入銀行，定期一年到期后取出 還是一年，且利率不變，到期如果全部取出，正好是300元，將剩余部分（包括利息）繼續(xù)存入銀行，定期275元，求存款的年利率？（不計(jì)利息稅）5. 某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷