一元二次方程知識點總結及典型習題解析

1、一元二次方程、本章知識結構框圖二、具體內(nèi)容(一) 、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個數(shù)為 1未知數(shù)的最高次數(shù)為 2,整式方程，可化為一般形式；2 正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù)2(1 )明確只有當二次項系數(shù) a = 0時，整式方程ax bx 0才是一元二次方程。(2) 各項的確定(包括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù) ).(3) 熟練整理方程的過程3元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解4 列出實際問題的一元二次方程(二) 、一元二次方程的解法1 明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而 把一元二次方程轉化為一元一次

2、方程求解；2根據(jù)方程系數(shù)的特點，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3體會不同解法的相互的聯(lián)系；4 值得注意的幾個問題：2 2(1) 開平方法：對于形如 x二n或(ax b)二n(a = 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負數(shù)，可用開平方法求解當 n 0 時，x =. n ；當 n = 0 時，X| = x? = 0 ;當n : 0時，方程無實數(shù)根。（2）配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉化為（x m）2二n的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟： 移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常

3、數(shù)項移到方程的右邊； “系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質把二次項的系數(shù)化為1； 配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為（x m）2二n的形式；求解：若n _ 0時，方程的解為x = -m _ n，若n ： 0時，方程無實數(shù)解。（3）公式法：一元二次方程2 axbx c = 0(a = 0)的根 x =- b 二 b2 -4ac2a當b2 -4ac 0時，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根不相等；2b當b -4ac =0時，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根相等，寫為 捲=X22a當b2 -4ac : 0時，方程無實數(shù)根.公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定a,b, c的值

4、；代入b2-4ac中計算其值，判斷方程是否有實數(shù)根；若 b2 -4ac_0代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。（因為這樣可以減少計算量。另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一 元二次方程。）（4）因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個為0，即:若 ab =0，則 a = 0或b = 0 ； 因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得 到兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。（5）選用適當方法解一元二次方程 對

5、于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應注意二次 根式的化簡問題。 方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定 不要忘記對字母的取值進行討論。（三）、根的判別式1了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合 題意的參數(shù)取值范圍。（1） :. = b2 _4ac（2）根的判別式定理及其逆定理：對

6、于一元二次方程ax2 bx c = 0（ a = 0）當二 方程有實數(shù)根; 0 時a工0當嚴0方程無實數(shù)根;a0 = 0時二方程有兩個相等的實數(shù)根;（當仏沁時二方程有兩個不相等的實數(shù)根；當?shù)?頁共14頁從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2 常見的問題類型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應用判別式，證明一元二次方程根的情況 先計算出判別式（關鍵步驟）； 用配方法將判別式恒等變形； 判斷判別式的符號； 總結出結論 例：求證：方程（a2 1）x2 -2ax （a2 4） = 0無

7、實數(shù)根。（4）分類討論思想的應用：如果方程給出的時未指明是二次方程，后面也未指明兩個根，那一定要對方次方程進行分類討論，如果二次系數(shù)為 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項系數(shù)不為0,程可能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根。（5）元二次方程根的判別式常結合三角形、四邊形、不等式（組）等知識綜合命題，解答時要在全面 分析的前提下，注意合理運用代數(shù)式的變形技巧（6）元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題（四）、一元二次方程的應用1數(shù)字問題：解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。2幾何問題：這類問題要結合幾何圖形的性質、特征、定理或法

8、則來尋找等量關系，構建方程，對結果要 結合幾何知識檢驗。3增長率問題（下降率）：在此類問題中，一般有變化前的基數(shù)（a ）,增長率（x ）,變化的次數(shù)（n ）,變化后的基數(shù)（b ），這四者之間的關系可以用公式a（i x）n =b表示。4.其它實際問題（都要注意檢驗解的實際意義，若不符合實際意義，貝y舍去）（五）新題型與代幾綜合題（1）有100米長的籬笆材料，想圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600平方米，在場地的北面有一堵50米的舊墻，有人用這個籬笆圍成一個長40米、寬10米的倉庫，但面積只有 400平方米，不合要求，問應如何設計矩形的長與寬才能符合要求呢？（2）讀詩詞解題（列出方程，并估算出周瑜

9、去世時的年齡）：大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位學子算得準，多少年華屬周瑜？ （36歲）已知：a,b,c分別是厶A B C勺三邊長，當m 0時，關于x的一元二次方程c（x2 m） b（x2 -m）-2、max=0有兩個相等的實數(shù)根，求證：ABC是直角三角形。（4） 已知：a, b,c分別是 ABC的三邊長，求證：方程 b2x2 （b2 ca2 ）x c 0沒有實數(shù)根。（5） 當m是什么整數(shù)時，關于x的一元二次方程 mx2 -4x 4 = 0與x2 - 4mx 4m2 - 4m - 5 = 0的根 都是整數(shù)？ （ m =1）m

10、i（6）已知關于x的方程x2 2 0，其中m為實數(shù)，（1 ）當m為何值時，方程沒有實x +2x2m數(shù)根？ （ 2）當m為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根？求出這三個實數(shù)根。答案：（1）m ： _2（ 2）x = -1, 一仁.2.（六）相關練習（一） 一元二次方程的概念1.一元二次方程的項與各項系數(shù)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項，一次項，常數(shù)項：(1)5x2 _2 =3x2(5x ,-3x,-2)(2)2 -6x2 15x =0(6x2,15x,- . 2)(3)3y(y 1) =7(y 2)5(3y2 ,_4y,_9)(4)(m . m)(m 一 . m) (m -2

11、)2 = 7 -5m2(2m Q-3)(5)(5a -1)2 =4(a -3)22(3a ,2a,-5)2 應用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值（1） m為何值時，關于 x的方程（m-、. 2）xm - （m，3）x = 4m是一元二次方程。（2）若分式x2 -7x -8x二廠3 由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值（1）關于x的一元二次方程（a -1）x2 x a20有一個根為0,則a - 已知關于x的一元二次方程ax2 bx c = 0（a = 0）有一個根為1，一個根為-1,則a b c =a _ b c 二2(3)已知c為實數(shù)，并且關于x的一元二次方程x? _3x c=0的一個根

12、的相反數(shù)是方程 的一個根，求方程x2 3x -c = 0的根及c的值。x 3xc = 0(二)一元二次方程的解法1.開平方法解下列方程：(1) 5x2 -125 =02(2) 169(x-3) =289(3) y2 亠 361=0(4) (1 - . 3)m2 二 0(5)2(3x1)2)52. 配方法解方程：(1) x2 2x -5 = 0(3) 2y2 -4y = -33. 公式法解下列方程：(1) 3x2 二 6x22(2) y 5y 1 = 0(2) p23 = 2、3p第9頁共14頁(3) 7y2 =11y(4) 9n =5n22(5) x 2 = (x _2)(2x _1) _34

13、. 因式分解法解下列方程:2(2) y 4y -45 = 01 2(1) x2 -9 =04第11頁共14頁(3) 8x210x -3 = 0(4) 7x2 7 21x = 0(5) 6x2 -3、3x =2、2x- .62(6) (x-5) =2(x-5)-1(7) (x23x)2 -2(X23) -8 =05解法的靈活運用(用適當方法解下列方程)(1)2(2x -7)2 二 1282 2 2(2) 2m-m 1=2(m -2m)(1) 4x? _ x 3 = 7x(2) 3(x2) = 4x2(3) 6x(x _2) = (x _2)(x 3)2(4)y 3y(3-2y)y(3y-1)3

14、一 232 2(5) 81(2x -5)2 =144(x -3)26 解含有字母系數(shù)的方程( 解關于x的方程)：(1) x2 -2mx m2n2 二 0(2) x2 3a2 = 4ax - 2a 12(3) (m n)x 2nx = m _ n ( m n - 0 )(4) a2(x2 -x -1) -a(x2 -1) =(a2 -1)x（三）一元二次方程的根的判別式1. 不解方程判別方程根的情況：第15頁共14頁(3) 4x2 5 = 4、5x2. k為何值時，關于x的二次方程kx2 -6x 0(1) 有兩個不等的實數(shù)根(2) 有兩個相等的實數(shù)根(3) 無實數(shù)根3. 已知關于x的方程 4x2

15、 - (m，2)x=1-m有兩個相等的實數(shù)根求m的值和這個方程的根.2 24.若方程x 2(a1)x a 4a - 5 = 0有實數(shù)根，求：正整數(shù) a.5.對任意實數(shù) m,求證：關于x的方程(m2 T)x2 -2mx m2 4 = 0無實數(shù)根6. k為何值時，方程(k -1)x2 -(2k3)x (k 30有實數(shù)根7設m為整數(shù)，且4：；m：40時，方程x2 -2(2m - 3)x 4m2-14m 8 =： 0有兩個相異整數(shù)根， 求m的值及方程的根。一元二次方程應用題總結分類及經(jīng)典例題1、列一元二次方程解應用題的特點列一元二次方程解應用題是列一元一次方程解應用題的繼續(xù)和發(fā)展，從列方程解應用題的方

16、法來講， 列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一 次，因此這類問題大部分都可通過算術方法來解決如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術方法就很困難了，正由 于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關面積問題，經(jīng)過兩次增長的平均增長率問題，數(shù)學 問題中涉及積的一些問題，經(jīng)營決策問題等等.2、列一元二次方程解應用題的一般步驟和列一元一次方程解應用題一樣，列一元二次方程解應用題的一般步驟是：“審、設、列、解、答”“審”指讀懂題目 審清題意，明確已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關系.這一步是解決問題的基礎;(2) “設”是指設元，設元分直接設元和間接設元，所謂

17、直接設元就是問什么設什么，間接設元雖然所設未 知數(shù)不是我們所要求的，但由于對列方程有利，因此間接設元也十分重要恰當靈活設元直接影響著 列方程與解方程的難易；“列”是列方程，這是非常重要的步驟，列方程就是找出題目中的等量關系，再根據(jù)這個相等關系列出 含有未知數(shù)的等式，即方程找出相等關系列方程是解決問題的關鍵；(4) “解”就是求出所列方程的解；(5) “答”就是書寫答案，應注意的是一元二次方程的解，有可能不符合題意，如線段的長度不能為負數(shù)，降低率不能大于100%等等因此，解出方程的根后，一定要進行檢驗.3、數(shù)與數(shù)字的關系 兩位數(shù)=(十位數(shù)字)x 10 +個位數(shù)字三位數(shù)=(百位數(shù)字)x 100 +

18、 (十位數(shù)字)x 10 +個位數(shù)字4、翻一番翻一番即表示為原量的 2倍，翻兩番即表示為原量的 4倍.5、增長率問題實際數(shù)=基數(shù)+增長數(shù)(1)增長率問題的有關公式：增長數(shù)=基數(shù)X增長率(2) 兩次增長，且增長率相等的問題的基本等量關系式為：原來的X (1+增長率)增長期數(shù)=后來的說明：(1)上述相等關系僅適用增長率相同的情形；(2)如果是下降率，則上述關系式為：原來的X (1 增長率)下降期數(shù)=后來的6、利用一元二次方程解幾何圖形中的有關計算問題的一般步驟(1)整體地、系統(tǒng)地審讀題意；(2)尋求問題中的等量關系(依據(jù)幾何圖形的性質);(3) 設未知數(shù)，并依據(jù)等量關系列出方程；(4)正確地求解方程

19、并檢驗解的合理性；(5)寫出答案.7、列方程解應用題的關鍵(1) 審題是設未知數(shù)、列方程的基礎，所謂審題，就是要善于理解題意，弄清題中的已知量和未知數(shù)，分清 它們之間的數(shù)量關系，尋求隱含的相等關系；(2) 設未知數(shù)分直接設未知數(shù)和間接設未知數(shù)，這就需根據(jù)題目中的數(shù)量關系正確選擇設未知數(shù)的方法和正確地設出未知數(shù).8、列方程解應用題應注意：(1) 要充分利用題設中的已知條件，善于分析題中隱含的條件，挖掘其隱含關系；(2) 由于一元二次方程通常有兩個根，為此要根據(jù)題意對兩根加以檢驗.即判斷或確定方程的根與實際背景和題意是否相符，并將不符合題意和實際意義的1已知直角三角形三邊長為三個連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長和面積2.一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4,且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4,求這個兩位數(shù)3某印刷廠在四年中共印刷1997萬冊書，已知第一年印刷了342萬冊，第二年印刷了 500萬冊，如果以后兩年的增長率相同，那么這兩年各印刷了多少萬冊？4. 某人把5000元存入銀行，定期一年到期后取出 還是一年，且利率不變，到期如果全部取出，正好是300元，將剩余部分（包括利息）繼續(xù)存入銀行，定期275元，求存款的年利率？（不計利息稅）5. 某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷