2021屆高考數(shù)學(xué)140分難點(diǎn)突破訓(xùn)練立體幾何(含詳解)

1、數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破訓(xùn)練一一立體幾何1.將兩塊三角板按圖甲方式拼好，其中B D 90 , ACD 30 , ACB 45 , AC 2，現(xiàn)將三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影恰好在 AB上，如圖乙.(1) 求證： AD 平面 BDC ; (2) 求二面角D AC B的大??；(3) 求異面直線AC與BD所成角的大小.2.如圖，在正三棱柱 ABC ABQ,中，各棱長(zhǎng)都等于 a, D E分別是AC,、BB,的中點(diǎn)，(1) 求證：DE是異面直線AC,與BB,的公垂線段，并求其長(zhǎng)度；(2)求二面角E AC, C的大小;(3)求點(diǎn)C,到平面AEC的距離.3.如圖，在棱長(zhǎng)為 a的正方體 ABCD AB

2、GDi中,點(diǎn)，EF交 BD于 H.(1)求二面角,EF B的正切值；(2) 試在棱BjB上找一點(diǎn)M使DjM 平面EFB1，并證明你的結(jié)論;(3) 求點(diǎn)D1到平面EFB1的距離.4. 如圖，斜三棱柱 ABC-AB1C1的底面是直角三角形，AC丄CB / ABC=45，側(cè)面AABB是邊長(zhǎng)為a的菱形，且垂直于底面 ABC / AAB=60°, E、F分別是AB、 BC的中點(diǎn).(1) 求證EF/平面 AACC;(2) 求EF與側(cè)面AABB所成的角；(3 )求三棱錐A BCE的體積.5. 直三棱柱 ABC-ABQ中， ABC為等腰直 角三角形，/ BAC= 90°，且 AB= AA,

3、 D E、F 分 別為B1A、CC、BC的中點(diǎn)。(I )求證：DE/平面ABC(II )求證：BF丄平面AEF；(III )求二面角 B AE-F的大小(用反三角函數(shù)表示)。6. 在直角梯形 ABCD中，/ A=Z D=90°, AB< CD SD丄平面 ABCD AB=AD=aSD= J2a，在線段SA上取一點(diǎn)E (不含端點(diǎn))使 EC=AC截面CDE與 SB交于點(diǎn)F。(I)求證：四邊形 EFCD為直角梯形；(H)求二面角 B-EF-C的平面角的正切值；CD(川)設(shè)SB的中點(diǎn)為M當(dāng)C的值是多少時(shí)，能使 DMC為直角三角形？請(qǐng)給出證明。QAB7.如圖，正四棱柱ABCD A1B1

4、C,j D1的底面邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱長(zhǎng)為4,連結(jié)A1B，過(guò)A作AF A,B，垂足為F,且AF的延長(zhǎng)線交B1B于E。(I )求證：D1 B平面AEC(II )求三棱錐B AEC的體積(III )求二面角B AE C的正切值。n8.如圖.斜三棱柱 ABC A,BQ 的各棱長(zhǎng)均為2,側(cè)棱BB1與底面ABC所成角為，且側(cè)面ABB1A垂直于底面ABD.(1)求證：點(diǎn)B,在平面ABCh的射影為 AB的中點(diǎn);(2) 求二面角 G ABi-B的大?。?3) 判斷B1C與C1A是否垂直，并證明你的結(jié)論.9.如圖，以正四棱錐 V-ABCD底面中心 0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中Ox/ BC Oy/ AB

5、 E為VC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a,高為h.11.如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1, CD的中點(diǎn).(1) 證明：ADL D1F ;(2) 求AE與D1F所成的角；(3) 證明：面 AEDL面 AFD1 ；(4) 設(shè)AA = 2，求三棱錐F- A1ED1的體積Vf aied112.長(zhǎng)方體 ABCD-ABQD中，E為AA上一點(diǎn)，平面 BCE丄平面BCE AB=BC=1 AA=2。(1) 求平面BiCE與平面BiBE所成二面角的大小；(文科只要求求 tan )(2) 求點(diǎn)A到平面BiCE的距離。13.正三棱柱 且AM與側(cè)面(1)(本問(wèn)(n)(本問(wèn)6分)假設(shè)6分)假設(shè)

6、aABC-ABC的底邊長(zhǎng)為1,高為h(h>3)，點(diǎn)M在側(cè)棱BB上移動(dòng)，至U底面ABC的距離為x, BCC所成的角為a；的中點(diǎn)，DP14.如下圖，PD垂直于正方形 ABCC所在平面，AA 2, E是PB3與AE夾角的余弦值為3(1) 建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)(2) 在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)F,使EF 平面E的坐標(biāo)；PCB15.如下圖，直三棱柱 ABC A1B1C1中,ACB = 90°,側(cè)面AB1與側(cè)面AC1所成的二面角為60°,90°, ABM為 AA1 上的點(diǎn)，A1MC1 30°, CMC116.(1)求BM與側(cè)面ACi所成角的正切值;(2)求頂

7、點(diǎn)A到面BMC1的距離.如圖，斜三棱柱 ABC A1B1C1，側(cè)面BB1C1C與BCA90。，/ B1BC 6(f, BC BB1=2,假設(shè)二面角B1B C 為 30°,(I)證明AC 平面BB1C1C ;底面ABC垂直n求 AB1與平面BB1C1C所成角的正切值;川在平面 AA1B1B內(nèi)找一點(diǎn)P,使三棱錐P BB1C為正三棱錐，并求 P到平面BB1C距離17.平行六面體 ABCD AiBiCiDi的底面為正方形，Oi,o分別為上、下底面的中心，且A在底面ABCD的射影是o。I求證：平面oC 平面ABCDII 假設(shè)點(diǎn)E,F分別在棱上AAi, BC上，且AE 2EAi，問(wèn)點(diǎn)F在何處時(shí)，

8、EF ADIII 假設(shè) AiAB 60，求二面角C AAi B的大小用反三角函數(shù)表示答案：i. (i )設(shè)D在AB的射影為BC ,DOBCO，貝U DO 又 BC BA,AD , 又 AD CD ,平面ABC ,BCAD平面ADB 平面BDC2由iADBD，又 AD i,AB 、2，BDi O為AB中點(diǎn)以O(shè)B為x軸，OD為z軸，過(guò)O且與BC平行的直線為A ,0,0, B二0,0, C二.2,0, D0,0,-2 2 2inu設(shè)ni x, y, z為平面ACD的法向量，由niy軸建系，那么2urnruAC 0, niumrAD 0,uu可得 ni(i, i,i)in易知n20,0,i為平面ABC

9、的法向量,u uu cos ni, n2-tn-nin2ni3 所以所求二面角為 arc cos3uuur uuir AC AD urnr uuir AC ADurnr urnr(3) cos AC,ADi2，所以所求角為602. i 取AC中點(diǎn)F,連接DF.因?yàn)镈是ACi的中點(diǎn)，所以 DF/ CCi，且DF-CCi . 又 BBi/CCi ,2E是BBi的中點(diǎn)，所以DF/ BE DF= BE所以四邊形BEDF是平行四邊形，所以 DE/ BF, DE= BF.因?yàn)锽Bi丄面ABC BF 面ABC所以BBi丄BF.又因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)， ABC是正三角形，所以 BF丄ACBF -"a

10、因?yàn)锽Bi丄BF, BBi / CCi，所以BF丄CCi，所以BF丄面AC%，又因?yàn)锳Ci面AC% ,2所以BF丄ACi，因?yàn)镈E/ BF,所以DEL AG , DEL BBi，所以DE是異面直線 ACi與BBi的公垂線段,且 DE3a2ACGA .又 DE面 AEC1 ,CE，那么BB1 / CC1，DEL BB1，所以 DEL CC1，又因?yàn)镈EL AC1，所以DEL面所以面AEC1丄面ACC1，所以二面角EAC1C的大小為90°.(3)2 a亠忑A CEC1的底面面積為S CEC1咼ha .所以(2)因?yàn)槔忮FVa cec11 a233a a3 22123 在三棱錐C1 AEC中

11、，底面 AEC中, AECEa，那么其高為a,2所以S aec2a設(shè)點(diǎn)C1到平面AEC的距離為d,由Va cec12 11Vci aec 得3d自3，所以dJ3即點(diǎn)C1到平面AEC的距離為a23.(1 )連 AC B1H，貝U EF/ AC因?yàn)锳C丄BD所以BDL EF.因?yàn)镼B丄平面ABCD 所以 B1H丄EF,所以/ B1HB為二面角B1 EFB的平面角.在Rt B1BH 中，B1B a , BHa4.所以tan B1HBBB 2 2 .(2)BH在棱BiB上取中點(diǎn)M 連DiM，因?yàn)镋F丄平面BiBDDi，所以EFLD1M .在正方形BB1C1C中，因?yàn)镸 F分別為BB1 , BC的中點(diǎn)，

12、所以B1F丄C1M .又因?yàn)镈1C1 L平面BCC1B1，所以B1F丄D1C1，所以B1F丄D1M，所以D1M丄平面EFB1.(3)設(shè)D1M與平面EFB1交于點(diǎn)N,那么D1N為點(diǎn)D1到平面EFB1的距離.在RtMB1D1中，D1B12D1ND1M.因?yàn)镈1B1. 2a ,D1M3a，所以UN2DB-4a，故點(diǎn)D1到平面EFB1的距離為4 aD1M334.(1 )T A1ABB是菱形，E是AB中點(diǎn)， E是AB中點(diǎn), 連 AC / F 是 BC中點(diǎn)， EF/ AQ/ AC 平面 AACC，EF 平面 AACC， EF/ 平面 AACC(2)作FG丄AB交AB于G,連EG ：側(cè)面 AABB丄平面 A

13、BC且交線是 AB FG丄平面 AABB,/ FEG是 EF與平面 AABB所成的角由 AB=a, AC丄 BC / ABC=45，得 FG 返 FB ? BG由 AA=AB=a,/ AiAB=60° ,得EG24tan FEG3T,(3)VA BC=V ABC由EG! AB,平面1 13a3V E ABCACBC EG3 24824FEG 30AABB丄平面 ABC - EG!平面 ABC5.解法(I )連接AiB、AE,并延長(zhǎng)AiE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) 由E為GC的中點(diǎn)，AC/ CP可證AiE= EP/ D E是 AB AiP 的中點(diǎn)， DE/ BP又 BP 平面 ABC DE 平

14、面 ABC DE/平面ABC 4分(II ) ABC為等腰直角三角形，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)P,連接BP。 BC丄AF,又T BB丄平面ABC由三垂線定理可證BiF 丄 AF設(shè) AB= AiA= a那么 B1F23a2,2EF23a2 , BiE249a24 B1F2 EF2BiE2 , B1F± FE/ AF FE F, B1F±平面 AEF9分(III )過(guò)F做FM丄AE于點(diǎn)M連接BiM/ BF丄平面AEF,由三垂線定理可證 Bi MIX AE/ BiMF為二面角 BiAE- F的平面角C iC丄平面ABC, AF丄FC,由三垂線定理可證 EF丄AFJ 30在Rt AEF中，可

15、求FMa0在 Rt BiFM中，/ BiFM= 90° , tan / B.MF 吐 5FM Z B1 MF arctan - 5面角BAE F的大小為arctanJ5 14分解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系O- xyzBFC令 AB= AA = 4,那么 A (0, 0,0),E (0,4,2),F(2,2,0), B (4, 0,0),Bi(4,0,4)2 分(I )同解法一 6分(II )B1F (2 ,2 ,4),EF(2 ,2 , 2)AF(2 , 2 ,0)B1F EF (2)X 22 X (2)(4) X(2) 0 B1F丄ef ,B1F 丄 EFB1F AF (2)X

16、22X 2(4)X 00 B1F 丄 AF，二 B1F 丄 AF/ AF FE F，二 B1F 丄平面 AEF 10 分(III )(有個(gè)別學(xué)生按超出課本要求的方法求解，按此標(biāo)準(zhǔn)給分)平面AEF的法向量為B1F (2 , 2 ,4)，設(shè)平面BAE的法向量為n AE 0n (x, y, z) ,n B1A 02y z 0x z 0令x = 2,那么z2, y 1,二 n (2, 1,2)二 cos n , B1Fn 6j_6j'q X y246|n | |B1F|9 、246.面角B AE- F的大小為W'6arccos66. (I)v CD/ AB AB 平面 SAB CD/平

17、面 SAB面 EFCQ 面 SAE=EF,二 CD/ EF T D 90°, CD AD,又 SD 面 ABCD SD CD CD 平面 SAD - CD ED 又 EF AB CDEFCD為直角梯形(n) CD 平面 SAD, EF / CD ,EF 平面 SAD AE EF, DE EF , AED 即為二面角D EF- C的平面角ED CD, Rt CDE 中 ec2 ED2 CD 2而 AC 2 AD 2 CD 2且 AC ECED ADADE 為等腰三角形， AEDEAD tg AED - 2(川)當(dāng)CD 2時(shí)，DMC為直角三角形ABAB a, CD 2a,BD AB2 A

18、D2 2a, BDC 45°BC 2a, BCSD 平面 ABCD, SD BC, BC 平面 SBD在 SBD中，SD DB, M 為 SB中點(diǎn)，MD SBMD 平面SBC,MC 平面SBC, MD MC DMC為直角三角形7.(I ) ABCD A1B1C1D1 是正四棱柱D1D 平面 ABCD連AC,又底面ABC是正方形AC BD由三垂線定理知，D1B AC同理，D1B AE，AE AC AD1B平面AEC5分BD11 VB AEC VE ABCEB 平面ABCEB的長(zhǎng)為E點(diǎn)到平面ABC的距離Rt ABE Rt A1ABEBAB2A1AV B AECV E ABC3Sabc e

19、b278(III )連 CFCB 平面 A1B1 BA，又 BF AE由三垂線定理知，CFAE于是，BFC為二面角BAEC的平面角在RtABE 中，BFBABE9AE5在RtCBF 中，tg BFC53BFC arctg -5即二面角B AE C的正切角為-38.(1)如圖，在平面BA，過(guò)B,作B,D丄AB于 D,T 側(cè)面BAi丄平面ABC B1D 丄平面 ABC B1BA是 BB1 與平面 ABC所成的角，二B1BA = 60°.四邊形ABBA 是菱形，- ABB1為正三角形， D是AB的中點(diǎn)，即B1在平面ABCh的射影為AB的中點(diǎn).(2) 連結(jié)CD T ABC為正三角形，又平面A

20、,B丄平面ABC平面A|B 平面ABC= AB CDL平面AB，在平面 A1B內(nèi)，過(guò)D作DEL AB1于E,連結(jié)CE那么CE丄AB1 , /CED為二面角C- AB1 -B的平面角在 Rt CED中，CD 2sin60, 3，連結(jié)BA1于Q那么A'QBO .3 , DE BO 3,22CD二 tan CED2 . 所求二面角 GAB1-B 的大小為 arctan2 .DE(3) 答：BQ C1A，連結(jié) BC1 ,BB1CC1 是菱形 BC1 B1CCDL平面 AB , B1D AB ,B1C 丄 ABB1C 丄平面 ABC1 , B1C 丄 C1A .a a h9.(1 )依題意，B(

21、a,a,0),C(-a,a,0),D(-a,-a,0),E (，一，一),2 2 2 3a ah a 3a h、 BE (, -) , DE ,-),2 2 2 2 2 2BE DE3a2 h2243a a、 ( a 3a) h h2 2) ( 2 2 ) 2 2J2(3;( y(2)2 210a2 h2.3a、2 用2/h212. 2|DE| 忤)(3)(2)r/10a h -由向量的數(shù)量積公式，有10.cos(BE , DE )=(2)v又由 CBE此時(shí)有BE DE|BE| |DE|/ BED是二面角 -VG(-a, a, 0),CV3 a22cos(BE , DE)1 10a2h2 1

22、102 h210ah222的平面角，BE CV，即有 BECV，得CV(a, -a, h),且 BE (3a2f_即 h.2a .h)0243a2 h26a2 h2a2，6a2 h210a2 h26a2(、2a)210a2 (2a)2arccos( g)(1)連結(jié) AC交 BD于 Q 貝U AGL BDBED(BE, DE )1n arccos.3又 / A,A 丄平面 AC, A1C 丄 BDB1C 丄 BE而 A1B1 丄平面 B1C ,- A1C 丄 BEBD BE= B, A,C 丄平面 BED(2)連結(jié)A1D，由A1B / CD知D在平面A1B1C內(nèi)，由(1)是A,C丄EB.又 AB

23、1 丄 BEBEL平面ABQ，即得F為垂足.125連結(jié)DF,那么/ EDF為ED與平面A1B1C所成的角."9BF16 一279CF，那么EFEC5520415ED 49 EDF在 Rt EDF中,sin25 ED與平面9A1B1C所成的角為arcsin .由AB BC= 3,B1B = 4，可求是BQ = 5,BF(3)連結(jié) EQ 由 EC!平面 BDC1 ACL BD知 ECL BD/ EOC為所求二面角 E-BC-C的平面角.EC9, OC4322在 Rt EOC中, tan EOCEC 3.2OC 4.面角E-BDC的大小為3邁arcta n411. 如下圖，建立空間直角坐標(biāo)

24、系，并設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,貝V D0，0，0，A2，0，0，F(xiàn) 0,1,0),D1 (0, 0, 2), A (2, 0, 2), E (2, 2, 1)(1)AD (-2 , 0, 0), D1F(0, 1, -2 )，且 AD D1F2 x 0 + 0x 1 + 0x( -2 )= 0(2) AE = ( 0, 2, 1),AD D1F .D1F = (0, 1, -2 )設(shè)AE與D1F的夾角為AE D“F|AE| | D1F |0 0 2 1 1 ( 2)02 22 12 , 02 1 2 ( 2)2=90°，即AE與D1F所成的角為直角.(3) 由(1)知 ADD1F，由(2

25、 )知 AE D1F ,D1F 平面AED又 D1F 面 A1FD1 , 面 AED 面 AFD1 .(4) 設(shè)AB的中點(diǎn)為G,連結(jié)GE GD1 .FG / A1D1 ,FG /面 A1ED1 .AA2 S a1ge2S a,agS beg，VF A1 ED1VG A1ED1VD1 A1GE ,Vf 4ED1Vdi “GE-AD!3S A1GE2f1.12. (1)v BC 平面 BB1E ,平面BBE平面BCE , 又平面B-CE平面BCE , B-E 平面 BCE , CE B-E, BE B-E/ BEC就是平面BCE與平面BBE所成二面角的平面角設(shè)/ AEB=，那么/ A-BiE= A

26、E=ABcot =cot ,A- E=A-B- tan =tan/ AE+EA=AA=2, cot+ta n =2 tan=1.即 AE=AE=1在 Rt CBE中, BC=1, BE= .2.+1 運(yùn) tanV22t V2arcta n 2(2 )在三棱錐 C-AEB中，S aeb.11AE A1B-,CB 1,從而22VC AEB1在 Rt B-CE 中，CE .BE2 BC2 . 3,EB12S0S B.ECB12設(shè)A到平面B-EC的距離為h,那么VA B1ECh 16 613.I 設(shè)BC的中點(diǎn)為 D,連結(jié)AD DM在正 ABC中，易知 AD± BC,又側(cè)面BCC與底面ABC互

27、相垂直,即/ AMD為AM與側(cè)面BCC所成的角，/ AMDa，a MDcosAMD= ,AMB到度面ABC的距離， AD丄平面BCC,在 Rt ADM中,依題意BM即為點(diǎn)- BM=x,且 AM 、1x2 ,DM1 4x22COS2 1 x2'由一64,所以cos 4COS即丄22COS解得2 ,14x21 x22x23,COS,BJ即x的變化范圍是Z, . 2；2(II ),即x - 2時(shí),即BM62,| AM|.3,由于 AM BC (AB BM ) BCABBCBM BCcos120且 AM BC | AM | BC | cos AM ,BC ,而 | BC | 1,爲(wèi)cos AM

28、 , BC3,即AM與BC所成的角為arccos 6還可按解答的圖形所示作輔助線，用常規(guī)方法解決14. 1 如題圖以DA DC DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)2，0， 0、B2，2，0，C0，2，0,設(shè) P0，0，2m E 1，1，m，那么 AE -1，1，m，DP 0，0,2nj , cos：； DP ,AE ? 上色 m 1，所以E點(diǎn)的坐標(biāo)是1， 1， 1.v'1 1 m2 2m 3(2) F 平面 PAD 可設(shè) F(x , 0,z) EF (x 1,1, z 1) , EF平面1 , z 1) (0 ,PCB EF CB (x 1,1, z 1)(2, 0

29、, 0)0 x 1 那么 EF PC (x 12,2)0 z 0，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)是(1, 0, 0),即點(diǎn)F是DA的中點(diǎn).15. (1)三棱柱 ABC A1B1C1為直棱柱,BAC為二面角B1 AAA G的平面角，所以BAC 60°，AC1 連接MC那么MC是MB在側(cè)面AC1上的射影所以BMC為BM與側(cè)面AC1所成的角.又CMC190°,A1MC1 30°,MC-m所以 tan BMC3-(2 )過(guò) A作 AN2MBC1面 MBCMBC1，過(guò)N作NH MB，垂足為的距離.AB a ,AC 2，且 ACN 30°,可得MN、3a NH12MN sinBMC33來(lái)求解又 ACB 90 ° . BC 側(cè)面所以 AMC 60°.設(shè) BC m，那么 AC 3 m,3MC 垂足為N因?yàn)锳N /MC1，所以AN/面H,那么NH是N到面MB®