定積分與微積分基本定理

1、NO.13 課題：定積分與微積分定理使用時間： 2011-10-11【使用說明及學法指導】1.先仔細閱讀教材選修 2-2：, 再思考知識梳理所提問題，有針對性的二次閱 讀教材，構建知識體系，畫出知識樹； 2. 限時 30 分鐘獨立、規(guī)范完成探究部 分，并總結規(guī)律方法 .【學習目標】1了解定積分的實際背景， 了解定積分的基本思想， 了解定積分的概念、 幾何意義。2直觀了解微積分基本定理的含義 , 并能用定理計算簡單的定積分。3應用定積分解決平面圖形的面積、 變速直線運動的路程和變力作功等 問題，在解決問題的過程中體驗定積分的價值 .?學習重點：正確計算定積分，利用定積分求面積。學習難點：定積分的

2、概念，將實際問題化歸為定積分問題。學習策略： 運用“以直代曲” 、“以不變代變”的思想方法，理解定積分的概念。 求定積分主要是要找到被積函數(shù)的原函數(shù)，也就是說，要找到一個函數(shù), 它的導函數(shù)等于被積函數(shù) . 求導運算與求原函數(shù)運算互為逆運算 .【課前預習】一、基礎知識梳理： 知識點一：定積分的概念女口果函數(shù)丄 在區(qū)間一上連續(xù)， 用分點尬二弘 5 < 乓丈xb-i=占將區(qū)間譲】分為n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間 9 -a rr r 1豐乞/(杲加=兀/(g)兇小和上任取一點9 (i=1,2,3,n )，作和式z山 阿，當吃-時，上述和式無限趨近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做 ' 在區(qū)間"

3、;-上 的定積分.記作)1即12 ，這里與分別叫做積分 與積分，區(qū)間叫做，函數(shù)-叫做，芒叫做， Z叫做.說明：(1)定積分的值是一個常數(shù)，可正、可負、可為零；(2)用定義求定積分的四個基本步驟：分割；近似代替；求和；取極限知識點二：定積分的幾何意義：設函數(shù)- ' 在區(qū)間-" ' -'-上連續(xù).在八7上，當時，定積分1在幾何上表示由曲線 -'以及直線- - '與二軸圍成的 ；在巴J上，當-'時，由曲線'以及直線一與上軸圍成的曲邊梯形位于 工軸下方，定積分】7在幾何上表示曲邊梯形面積的 ；在上，當,既取正值又取負值時，曲線I - 的

4、某些部分在工'軸 的上方，而其他部分在二軸下方，如果我們將在軸上方的圖形的面積賦予正號，在工軸下方的圖形的面積賦予負號;在一般情形下，定積分L 丁 f與工軸所圍成的各部分面積知識點三:定積分的性質:(1)(2)為常數(shù)），.+；丨門 h-二 l '：-:廠_7 （其中（3）知識點四：微積分基本定理:微積分基本定理（或牛頓-萊布尼茲公式）如果在心上連續(xù)，且*20 打心"瞇5"叫其中陀）叫做八）的一個原函數(shù).、,I,:、八注意: 求定積分主要是要找到被積函數(shù)的原函數(shù)，也就是說，要找到一個函數(shù),它的導函數(shù)等于被積函數(shù).由此，求導運算與求原函數(shù)運算互為逆運算.由于一一

5、 也是.的原函數(shù)，其中c為常數(shù)知識點五：應用定積分求曲邊梯形的面積：1. 如圖，由三條直線芒軸（即直線-:1'1 ）及一條曲線，-（L ,='）圍成的曲邊梯形的面積：g=r 了（兀）必=-恥脅2 如圖，由三條直線，'=：卞軸（即直線|-）及一條曲線，-（廠I；二口）圍成的曲邊梯形的面積：£ T J：/必| 二-J：，（x）必二仇 w- f（x）曲3 .由三條直線亠-'-軸及一條曲線”（不妨設在區(qū) 間一-一上二-，在區(qū)間-上；''）圍成的圖形的面積:j：掄臨 j：于陰齊4.如圖，由曲線人=撾花 2 = f'SH m 及直線x =

6、a , = i圍成圖形的面積：？jX0ab"S=£/(X)-/i(A)k!A = JJi(A-J*/aUVA知識點六：定積分在物理中的應用 變速直線運動的路程作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程-，等于其速度函數(shù)在時間區(qū)間宀上的定積分，即;，. 變力作功物體在變力I的作用下做直線運動，并且物體沿著與7 -相同的方向從W移動到3呦，那么變力陀)所作的功伽.規(guī)律方法指導3.利用定積分求由兩條曲線圍成的平面圖形面積的步驟：(1) 畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖像；(2) 解方程組求出交點坐標，確定積分的上、下限;(3) 借助圖形確定出被積函數(shù);(4) 寫出平面圖形的定

7、積分表達式；(5) 運用公式求出平面圖形的面積.二、我的知識樹：【我的疑問】【課內探究】經(jīng)典例題精析：類型一：利用定積分的幾何定義求定積分：1. 說明定積分1"" -'丁所表示的幾何意義，并根據(jù)其意義求出定積分的值。？【變式】由以及t軸圍成的圖形的面積寫成定積分是類型二：運用微積分定理求定積分例題：運用微積分定理求定積分：計算下列定積分的值：(1)丄,(2p, (3) J類型二：運用積分的性質求定積分：例題3.求定積分：類型四：利用定積分求平面圖形面積例題4.求直線 '八-與拋物線1-1所圍成的圖形面積【變式】求由曲線(曲)，4 ,工=圍成的平面圖形的面積、總結提升1.知識方面：2. 數(shù)學思想方法：NO.13課題：定積分與微積分定理【課后訓練案】使用說明：1.限時45分鐘完成：2.獨立、認真；規(guī)范快速。1.說明下列定積分所表示的幾何意義，并根據(jù)其意義求出定積分的值。(1)一 ；2. 利用定積分的幾何定義求定積分:(2)3. 計算下列定積分的值:(1)(2)(3)、-x,-1 < a