必刷基礎題114等腰三角形與最短路徑問題解析版

1、2020-2021學年八年級數(shù)學上冊同步必刷題闖關練（人教版）第十三章軸對稱13.3-13.4等腰三角形與最短路徑問題處刷基融龜知識點1:等三角形的判定與性質【例1】（2019秋孝昌縣期末）如圖.上午8時，一艘船從A處出發(fā)以15海里/小時的速度向正北航行,10時到達3處，從A、3兩點望燈塔C,測得Z/V4C = 42°, ZNBC = 84° ,則3處到燈塔C的距離為（B. 20海里C. 30海里D求不岀來【解答】解：根據(jù)題意得：AB = 2xl5 = 3O （海里）,vZjV4C = 42° ZNBC = M° » 乙 C = ZNBC _

2、公AC = 42° 2C = ZNAC.”C = AB = 3O海里.即從海島3到燈塔C的距離是30海里.故選：C.【變式11】（2019秋洛江區(qū)期末）如圖，在AABC中，AB = 4, AC = 6, ZABC和ZACB的平分線交 于點過點E作MN/BC分別交初、AQ于A/、N，則AAM/V的周長為（ ）A【解答】解：.MN/BC，C4D.不確泄/. ZAMV = ZABC.BE平分/ABC. . ZABC = 2ZMBE ,.ZAMN = 23BE ZAMN = ZMBE+ZMEB ,.ZMBE = ZMEB:.MB = ME 同理，NC = NE, c皿=AM+ME + EN

3、+ AN = AB + AC = 10【變式12】 （2020春九江期末）如圖，AABC是等腰三角形，AB = AC . ZA = 2O% 3P平分ZABC：點D是射線BP上一點，如果點D滿足AfiCD是等腰三角形，那么ZBDC的度數(shù)是【解答】W：當BC=CD時,如圖所示,ZA = 2O。，AB = AC./.ZABC = 8O°> .3P平分ZABC,.ZCBD = 40°BC = CD乙 CBD = /BDC = 4d光加=BC時，如圖所示,/ ZA = 20° > AB = AC.ZABC = 80°,腫平分ZABC.ZCBD = 40

4、°BD = BC:ABDC = 70。DB = DCW.如圖所示.vZA = 20°, AB = AC.J.ZABC = 80°>腫平分ZABC，.ZCBD = 40°,BD = CD、/.ZBDC = 100°.故答案為：40。、70?；?00。A【變式13】（2020春沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，AABC中，BF、CF分別平分ZABC和ZACB .過點 F作DE/BC交于點D,交AC于點£,那么下列結論:ZDFB = ZDBF ；ZECF = £FC二 MDE 的周長等于MFC的周長；ZBFC = 90° +

5、 lzA 其中正確的是2【解答】解：®v BF是ZABC的角平分線，.ZABF = ZCBF ,又-DEHBC.ZCBF = ADFB.ZDBF = ZDFB ,故正確： 同理ZECF = ZEFC，故匸確： 假設為等邊三角形，則AB = AB = BC,如圖，連接廿,AZDBF = ZDFB. AECF = ZEFC , .BD = DF, EF = EC. .MOE 的周長=AD+DF + EF + AE = AD + BD+AE+EC = AB + AC.F是ZABC, ZACB的平分線的交點第三條平分線必過其點，即AF平分ABAC，.WC為等邊三角形，:.ZBAC = ZBC

6、A = ZABC = f ,.ZFAB = ZFBA = ZFAC = ZFCA = 30P ,FA = FB = FC.: FA + FC>AC .FB七FC>AC，F(xiàn)B + FC + BC>BC + AC,. .FB + FC + BC>/B + AC.即SBFC的周長> SADE的周長，故鉛誤: 在 中，ZBAC + ZABC + ZACB = SO°.（1）,任血FC 中乙CFB + ZFBC+ZFCB = 180°>即 ZCFB + lzABC + izACB = 180°.（2）,2 2（2） x2-（1）得上8氏=

7、90。+丄ZBAC，故正確：2故答案為.【變式14】（2020江干區(qū)一模）已知：如圖，在AABC中，/B>AC, ZB = 45°,點D是BC邊上一 點，且AD = AC,過點C作CF丄AD于點E,與AB交于點F .（1）若ZC4Q = a,求： ZBC4的大?。?ZBCF的大?。海ㄓ煤?amp;的式子表示）（2）求證：AC = FCA【解答】(1)解：®AD = AC ZC4D = a/. ZBC4 = *(180O-a) = 90。-過點A作AG丄BC J：點G ,如圖所示：/.ZZMG + ZA£>G = 900/.ZC4G = ZDAG = 1

8、ZCAD = la ,2 2CF丄AD?點E，.ZDCE+ZADG = 90°9:.ZDCE = ADAG = -ZCAD = a ,2 2即 ZBCF = la；2(2)證明：.ZB = 45。，AG丄BC,ZE4G = 45。，v ZBAC = 45°+ ZC4G, ZAFC = 45° + ZDCE . ZDCE = ZDAG, ZCAG = ZDAG , ZBAC = ZAFC ,:.AC = FC 【變式15】（2020青山區(qū)校級模擬）如圖，在AABC中，EDHBC, ZABC和ZACB的平分線分別交£D于點G、F,若BE = 6, DC =

9、8, DE = 20、求FGA【解答】解:EDUBC.在GB = ZGBC, ZGBC = ZGBE，.ZEGB = AEBG,ADFC = AFCB,AFCB = AFCD、0CF = ADFC、 BE = EG、CD = DF、BE = 6, DC = 8、DE = 20,.FG = DE-EG-DF = DE-BECD = 2G6-8 = 6知識點2：等邊三角形的判定與彳【例2】（2018秋襄州區(qū)期中）如圖，AABC是等邊三角形，DE/BC.若AB = 5,A. 2的周長為（）B6C9D15【解答】解：.WC為等邊二角形,/.ZA = Z5 = ZC = 60°,DEHBC.

10、.ZADE = ZAED = ZB = ZC = 6O。,：.MDE為等邊三角形，.AB = 5, BD = 3,:.AD = AB-BD = 2：.MDE的周長為6,故選：B.【變式21】（2016*陜西一模）已知：如圖，在A4BC中，D為的中點，AD丄BC,ZABC = 60°, ZECD = 40°,則 ZABE = (AA. 10。B 15°C 20°D 25°【解答】解:vD為BC的中點,2丄BC、二AD是BC的線段垂直平分線，.E是AD上一點， .EB = EC, ZEBD = ZECD,又 vZABC = 60° ZEC

11、D = 4O°,ZABE = 60。一 40° = 20°故選：C.【變式22】（2020-臺州）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6, E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點.分別過點E, F沿著平行于3A，C4方向各剪一刀，則剪下的ADEF的周長是【解答】解：等邊三角形紙片的邊長為6. E，F(xiàn)是邊3C上的三等分點,.£F = 2,AABC是等邊三角形，,.ZB = ZC = 60%又 vDE/MBt DFHAC、.ZD£F = ZB = 60。，ZDFE = ZC = W:.SDEF是等邊三角形，剪卜-的的周長是2x3 = 6.故答案為：6.【變式23

12、】（2019秋江陰市期中）在下列結論中：有三個角是60。的三角形是等邊三角形；有一個外角是120。的等腰三角形是等邊三角形；有一個角是60。，且是軸對稱的三角形是等邊三角形：有一腰上的高也是這腰上的中線的等腰三角形是等邊三角形.其中正確的是.【解答】解：有三個角是60。的三角形是等邊三角形，正確： 有一個外角是120。的等腰三角形是等邊三角形，正確： 有-個角是60。，且是軸對稱的三角形是等邊三角形，正確. 有一腰上的髙也是這腰上的中線的等腰三角形是等邊三角形，正確：故答案為.【變式24】（2020春太平區(qū)期末）已知：如圖，點C為線段加上一點，MCM, CBN都是等邊三 角形，AN交MC于點、

13、E，BM交CN于點、F（1）求證：AN = BM ;（2）求證：ACEF為等邊三角形.ACB【解答】證明：(1).ACM, 'CBN圧等邊三角形，:.AC = MC, BC = NC ZACM = ZNCB = 60P,:.ZACM + ZMCN = ZNCB + ZMCN 即 ZACN =如CB， 在 AAC7V 和 中.ACMCZACN = ZMCB ,NC = BC.AACN 三 AAZCB(SAS), .AN = BM(2) 讓CAN沁CMB , ZCAN = ZCMB , 又ZMCF = 180° ZACW Z/VCB = l80。一 60° 60

14、6; = 60。，.ZA/CF = ZACE，在AC4E和4CMF中，ZCAE = ACMF. CA = CM ,AACE = ZMCF:.CAE = ACMF(ASA), CE = CF，- ACEF為等腰三角形，又 vZECF = 60°,. .ACEF為等邊三角形.【變式25】(2019秋越秀區(qū)校級期中)如圖，已知SABC是等邊三角形，D是邊AC的中點，連接BD，EC丄于點C, CE = BD求證：A4PE是等邊三角形.【解答】證明：丁。是等邊三角形，D為邊AC：的中點. .BD丄 AC,即 ZA£>B = 90%EC 丄 BC,：.ZBCE = 90°

15、;, .ZDBC + ZDCB = 90°, ZECD+ZBCD = 90P , .ZACE = 8BC,在CBD和中BD = CE< 乙DBC = ZACEBC = AC:ACBD = AACE(SAS),.CD = AE ZAEC = zWC = 90°,£)為邊AC的中點，ZAEC = 90%:.AD = DE ,.AD = AE = DE，即AAPE是等邊三角形，知識點3：含30度角的直角三角形【例3】（2020春競秀區(qū)期末）已知在直角三角形中30°角所對的直角邊為2,則斜邊的長為（）A. 2B. 4C 6D 8【解答】解：在 RtAABC

16、中，ZC = 90°, Z4 = 3O°, BC = 2、/. AB = 2BC = 2x2 = 4,【變式31】（2019秋興安盟期末）如圖，在RtAABC中，ZC = 90° > Z5 = 30°> CD是斜邊AB上的高,AD = 3cm.則M的長度是（）A. 3cmB. 6cmC. 9cmD 2cm【解答】解：在RtAABC中，CD是斜邊初上的髙，.ZADC = 90°.ZACD = ZB = 30° （同角的余角相等），. AD = 3cm ,在 RtAACD 中，AC = 2AD = & 八在 RtAAB

17、C 中，/B = 2AC = 2cm .AB的長度是2加故選：D.【變式32】（2020春舞鋼帀期中）如圖，在 WC中，AB = AC. ZBAC = 120° 9加的垂直平分線交AB于點E,交BC于點、F ,若BF" 則BC的長為：【解答】解：連接廿，/ AB = AC ZBAC = 120% /.Zfi = ZC = 3O°.EF是線段AB的垂直平分線，.FA = FB = ,.ZFAB = ZB = 3O。,ZFAC = ZBAC-ZFAB = 90°， 在 RtAFAC 中，ZC = 30° > ：.FC = 2FA = 2.BC

18、 = BF + FC = 3, 故答案為 3.的長度為40八則邊界AC的中點D與點3的距離是加.C、【解答】解：連接在 RtAABC中，ZA = 30°, BC = 40,AC = 2BC = 80 >D是AC中點，:BD = -AC = 40.2即邊界AC的中點D與點B的距離是40m :故答案為：40.【變式3d】 (2019秋黔東南州期末)如圖，等邊的邊長為12, D為AB邊上一動點,過點£>作DE丄BC于點E.過點E作EF丄AC于點F.(1) 若AD = 2,求AF的長；(2) 當AD取何值時，DE = EFel【解答】解:（1） 初=12，AD = 2：

19、.BD = AB-AD = O£ RtABDE 屮ZBDE = 90。一 ZB = 30。:BE = -BD = 52.CE = BC BET在RtACFE中ZCEF = 90o-ZC = 30°1 7.CF = = CE丄2 2:AF = AC-FC = ；（2 ）在遜吃和AEFC中ZBED = ZCFE = 90。< ZB = ZC,DE = EF:SBDE = SCEF（AAS）.BE = CF.be = cf = Lec2.be = Lbc=4,3.BD = 2BE = :.AD = AB-BD = 4 .AD = 4時，DE = EF 【變式3-5 （201

20、9秋渝北區(qū)期末）小明在學習了 “等邊三角形”后，激發(fā)了他的學習和探究的興趣, 就想考考他的朋友小崔，小明作了一個等邊AABC,如圖，并在邊AC上任意取了一點F （點F不與點A、 點C重合），過點F作FH丄AB交AB于點H ,延長到G,使得BG = AF,連接FG交初于點/.（1）若AC = 1O,求H/的長度：（2）延長BC到再延長3A到使得AE = B£），連接風>,EC,求證：ZECD = ZEDC【解答】（1）解:vMBC是等邊三角形，.ZABC = ZACB = 60°,如圖1，過F作FD/AB,交BC于D,過F作FNHBC.交AC于N ,E圖1 .ZFDC

21、= ZABC = 3。,:ZFDC = ZACB = «FD = g、. .ACDF是等邊三角形，.CD = CF,AC = BC.AF = BD, BG = AF，.BD = BG，Bl I IDF、 .GI = FI,FN/BG,.乙 FN1 =乙 GB1，在ATM和GB/屮，乙 FN1 =乙 GBI1 乙 NIF = ZBIG ,FI=G1ZNl 三'GBI(AAS).：.NI=BI , FN = BG、：FN = AF.: FH 丄 AB， AH = HN,.HI = HN + NI = L AB = So = 5 ；2 2t ) ill：明：解法：如圖乙延氏C

22、63;至PMBC = DP，連接AP、EP， AE = BD.:.AE = CP,在AACP和ACAE中，CP = AEZ/1CP = ZC4E = 12O。AC = CA:.MCP = ACAE(SAS),AP = CE，BE = AB + AE，BP = BC + CP、.BE = BP,ZABC = 60°,:.EBP是等邊三角形，.BP = EP，ZEPD = 60°,： .ZEPD = ZABC.在AABP和MPE中，AB = DP ZjBC = ZEPD »BP = EP/. MBP = M)PE(SAS), AP = ED = EC，/. ZECD

23、= ZEDC 解法J 如圖3.延長CD至P,使BC = DP連接BD = PC = AE、BE = AB + AE，BP = BC + CP、BE = BP，v ZABC = 60°、:.EBP是等邊三角形， EB = EP, AEPD = g、 ZEPD = ZABC,在SEBC和中，(EB = EP/ AABC = ZEPD ,BC = PD SEBC = AEPD(SAS)EC = ED, ZECD = ZEDC 知識點4：軸對稱最短路線問題【例4】(2019秋石景山區(qū)期末)如圖，已知ZO,點卩為其內一定點，分別在ZO的兩邊上找點A、B,使MW周長最小的是()【解答】解：分別在

24、ZO的兩邊上找點A、B,使APAB MJ長最小的是D選項，故選：D.【變式4-11 （2019秋海淀區(qū)校級月考）如圖，A、"是兩個居民小區(qū)，快遞公司準備在公路/上選取點P處建一個服務中心，使PA + PB最短.下面四種選址方案符合要求的是（）【解答】解：根據(jù)題意得，在公路/上選取點P,使PA + PBl短.則選項A符合要求，故選：A.【變式42】（2020秋沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，在RtAABC中，ZACB = 90°，AC = 6, 5C = 8, /W = 1O.A£平分ZCAB交BC于D點,E, F分別是AD, AC上的動點，則CE + EF的最小值為 解：如圖所示:(.AB .取點 F AF = Ar，過丿 Cl CH. HAD 平分 ZCAB.根據(jù)對稱知.EF = EF，ACBC 24 EF + CE = EF + EC,74