概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題冊要點

1、第六章樣本及抽樣分布17'、選擇題1.設X,X2 ,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本,則X,X2 ,Xn必然滿足()A.獨立但分布不同；B.分布相同但不相互獨立；C獨立同分布； D.不能確定2 下列關于“統(tǒng)計量”的描述中，不正確的是().A 統(tǒng)計量為隨機變量B.統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)C.統(tǒng)計量表達式中不含有參數(shù)D估計量是統(tǒng)計量3下列關于統(tǒng)計學“四大分布”的判斷中，錯誤的是()1A.若 F F (口，壓),則 F (n2,nJB若 T t(n),貝UT2 F(1, n)C.若 X N(0,1),則X2 X2(1)D 在正態(tài)總體下n、(Xi)2V 2x2( n_1)cr4.設Xi,S2表示來自總

2、體 N(7,2)的容量為ni的樣本均值和樣本方差 (i =1,2)，且兩總體相互獨立，則下列不正確的是(尋S2A. 4|2F(n1 -1小2 -1)-1S2B (X1 壬)-(豈-鳥) N(0,1)C.X1 二 t(nJS / ： nD.(n-1)Sx2(n1)5.設X1,X2/ ,Xn是來自總體的樣本，則n(Xj -x)2 是(n-1).A.樣本矩B.二階原點矩C.二階中心矩D.統(tǒng)計量6X1,X2/ ,Xn是來自正態(tài)總體 N(0,1)的樣本,X,S2分別為樣本均值與樣本方差,則( ).A. XN(0,1)B. nX N(0,1) C.Xj2x2(n)D. t(n-1)S27.給定一組樣本觀測

3、值X1,X2，X9且得v Xi =45 Xi -285,則樣本方差S2A. 7.58設X服從t(n)分布,2065C.D.32P| X | = a，則 PX ： - 為().B.601A. a2B. 2a1C. a21D. 1 a229設X1,X2，,xn是來自正態(tài)總體 N(0,2 )的簡單隨機樣本，若Y = a(X1 2X2)2 b(X3 X4 X5)2 c(X6 X7 X8 X9)2 服從 x2 分布，a, b, c的值分別為(1 1 1A JJ8 12 16111B.,2012161 1 1D.-,-2 3 4N(0,32)，設 X1,X2, ,X9和9 、Xi 丫1,丫2,，丫9分別是

4、來自兩總體的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量U二 號 服從分布是(10設隨機變量X和Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布).A. t(9)B. t(8)C. N(0,81)D. N(0,9)】、填空題1.在數(shù)理統(tǒng)計中,稱為樣本.2 .我們通常所說的樣本稱為簡單隨機樣本，它具有的兩個特占八、4.設隨機變量X1,X2，Xn相互獨立且服從相同的分布，EX，DX Y2 ,n_Xi ,則 EX = n v;DX =(X1,X2，X10)是 來自總 體 X N(0,0.32)的個樣本，的觀測值為().10p瓦 Xi2 >1.445.已知樣本Xi，X2,，乂佗取自正態(tài)分布總體 N（2,1） , X為樣本均值，已知PX

5、_，=：0.5 , 則-.10. 6設總體XN（7；2） , X是樣本均值，Sn是樣本方差，n為樣本容量，則常用的隨2機變量（n乎服從分布.CF第七章參數(shù)估計'、選擇題1.設總體X NOV-2），Xi, ,Xn為抽取樣本，則1V (Xj -X)2 是( n i 4（A） J的無偏估計（B）；2的無偏估計（C）的矩估計 （D）二2的矩估計2設X在0，a上服從均勻分布，a 0是未知參數(shù)，對于容量為n的樣本X-,Xn，a的最大似然估計為（）（A）maxX1,X2, ,Xn(B)Xi(C) maxX1,X2, ,Xn - minX1,X2, ,Xn1 n(D)1v Xi n im3設總體分布為

6、N（，；2），J2為未知參數(shù)，則 二2的最大似然估計量為（(A)U (Xj _X)2 n i仝(B)二 (Xi -X)2 n1 i 呂4設總體分布為)2N（,；2）,已知，則二2的最大似然估計量為（(A)S21 n 2(C) (Xj)2 n i $n 12(B) Sn1 n(D)丄區(qū))2n -1 id5 X1,X2,X3設為來自總體X的樣本，下列關于E（X）的無偏估計中，最有效的為（）(A)(C)1 / 、(X1 X2)21(X1 X2 X3)41(B)(X1 X 2 X 3)3221(D) X1 X 2 X 3 )333Xi,X2,Xn(n _2)是正態(tài)分布N（»；2）的一個樣本，

7、若統(tǒng)計量n A2 2（Xi 1 -Xi）為二的無偏估計，則i 4K的值應該為（(A)丄(B)2n2n112n -21(D)-n 17. 設二為總體X的未知參數(shù)，哥門2是統(tǒng)計量,宀門2為二的置信度為1 -a（0 ： a ：1）的置信區(qū)間，則下式中不能恒成的是（A. P片：v : v2 = 1- aB.Pv . -2PQ ：刊 = aC. Pp 十2 _1 - aD.Pp切Pp: 6二空2n,且分位數(shù)均指定為“上側分位數(shù)”時, C7A. (X U0.025)Jn8設X N（，；2）且二2未知，若樣本容量為則）的95%的置信區(qū)間為（B. (X _ C. (X 二10.025 (n)勺n t°

8、;.05(n -1)v nSD. (X 二一t°.025(n-1)V n9設X N（ = ；2）,2均未知，當樣本容量為 n時，匚2的95%的置信區(qū)間為（22 )X0.025 (n -1)A( -1)' (n -1)SX0.975 (n 1)B( (n-1)S2 , (n-1)S2)X0.025 (n-1) X0.975C.(4t°.025(n -1)(n-1)S2 )t0.975(n -1)D. (X ±孕怙025(n 1)Un】、填空題1點估計常用的兩種方法是:2.若X是離散型隨機變量，分布律是PX =x =P（x；r），（二是待估計參數(shù)），則似然函數(shù)

9、是，X是連續(xù)型隨機變量，概率密度是f（X；“，則似然函數(shù)是3. 設總體X的概率分布列為：X 02 2P p 2 p(1-p) p 1-2p其中p (0 ： p ：1/2)是未知參數(shù).利用總體X的如下樣本值：1, 3, 0,2,3, 3, 1, 3則p的矩估計值為 _，極大似然估計值為 .4. 設總體X的一個樣本如下：1.70，1.75，1.70，1.65，1.75則該樣本的數(shù)學期望 E(X)和方差D(X)的矩估計值分別 .5.設總體X的密度函數(shù)為:0 : x : 1其他設X1,Xn是X的樣本,則的矩估計量為，最大似然估計量為2 16假設總體X N(j；10某車間生產滾珠，從長期實踐可以認為滾珠

10、的直徑服從正態(tài)分布，且直徑的方差為 :二=0.04 ,從某天生產的產品中隨機抽取9個，測得直徑平均值為15毫米，給定=0.05則滾珠的平均直徑的區(qū)間估計為 .(Z0.05 = 1.645 , Z0.025 = 1.96)11. 某車間生產滾珠，從某天生產的產品中抽取6個，測得直徑為：14.615.114.914.815.215.1已知原來直徑服從N (J0.06)，則該天生產的滾珠直徑的置信區(qū)間為,(a =0.05 , Z°.05 二1*645, Z0.025 =1.96).12. 某礦地礦石含少量元素服從正態(tài)分布，現(xiàn)在抽樣進行調查，共抽取12個子樣算得)，且XXi，XX2,，Xn為

11、總體X的一個樣本,n i 二則X是的無偏估計.27設總體X NC1 ,； )，XX2,Xn為總體X的一個樣本，貝帰數(shù)k=,使n k送Xj -X為cr的無偏估計量.i 18從一大批電子管中隨機抽取 100只，抽取的電子管的平均壽命為1000小時，樣本均方差為S =40.設電子管壽命分布未知，以置信度為0.95，則整批電子管平均壽命J的置信區(qū)間為(給定 Z°.05 =1.645 ,Z°.025 = 1.96).9設總體X N("，二2),"，二2為未知參數(shù)，則 的置信度為1的置信區(qū)間為S =0.2，則匚的置信區(qū)間為 (:. =0.1 ,2 (11) =19.

12、68 ,2 . (11) = 4.57)_ 12 2第八章假設檢驗一、選擇題1. 關于檢驗的拒絕域 W,置信水平：，及所謂的“小概率事件”，下列敘述錯誤的是（）.A.:的值即是對究竟多大概率才算“小”概率的量化描述B 事件（X1,X2，Xn），W|Ho為真即為一個小概率事件C.設W是樣本空間的某個子集，指的是事件（X1,X2，Xn）|H 0為真D .確定恰當?shù)?W是任何檢驗的本質問題2.設總體XN（»；2）f2未知，通過樣本X1,X2 ,Xn檢驗假設H。：要采用 檢驗估計量（）.X - J0X - J0X _X - 1A. :B. :C. :-D. / . nS/ . nS/ n；/

13、 . n3.樣本X1,X2/ ,Xn來自總體N（122）,檢驗H。： 乜100,采用統(tǒng)計量（）.A.X -10012/ . nC.X -100S/、n -1D.224設總體X NC'S ）,；未知，通過樣本X1,X2，,Xn檢驗假設H。：一0,此問題拒絕域形式為A.X二 100S/ .10CB.X-100 : Cs/如X -100C. S/J10CD. X C5設X1,X2/ ,Xn為來自總體N（=32）的樣本，對于H。：丄=100檢驗的拒絕域可以形如（ ）A . X 卩 >CX -100B. X100AC C. >C D. X100VCS/V n6、樣本來自正態(tài)總體N（&

14、#39;,；2）,未知要檢驗H°:；2=100,則采用統(tǒng)計量為（).A.(n -1)S2B.(n -1)S2C.100100D.nS21007、設總體分布為 N（ 7匚2）,若已知，則要檢驗H 0 :匚2 _ 100，應采用統(tǒng)計量（）.X -4A S/、n、填空題B.(n -1)S22CT' (Xi 1)C. i4100D.2-X)1001.為了校正試用的普通天平 行稱量，得如下結果：,把在該天平上稱量為100克的10個試樣在計量標準天平上進99.3,98.7,100.5,101,2,98.399.799.5102.1100.5,99.2假設在天平上稱量的結果服從正態(tài)分布,為

15、檢驗普通天平與標準天平有無顯著差異,H02.設樣本X1,X2，,X25來自總體N（,9）,未知.對于檢驗H。=譏，H1取拒絕域形如 X 卩0 Xk，若取a =0.05，貝u k值為第六章樣本及抽樣分布答案一、選擇題1. ( C )2. (C) 注：統(tǒng)計量是指不含有任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)3. ( D)X 卩2對于答案D,由于 N(0,1),i =1,2，n，且相互獨立，根據(jù)2分布的定義有n、(Xi)2空 2X2( n)CT4.(C) 注:X1芒7( ni 1)才是正確的5. (D)6C) 注:1 XXN(0,)，l t(n-1)才是正確的 nS JnHX -12 蘭 1=2PX 12 蘭 11

16、= 2PX12.；2 ,52 “5 ；1 =2：(T)17.(A)S29 - 2遲(Xi X )二 一 919_v X2-9 X2ii咼91285 -9 25“=7.588. (A)9. (B)由題意可知X1 +2X2 N(0,20)，X3 +X4 +X5 N(0,12)，X7 X8 X9 N(0,16)，且相互獨立，因此2 2 2(X1 +2X2 ) +(X3 +X4 +X5 ) +(X6 +X7 +X8 +X9 ) 20 12111即 a ,b ,c =201216解:X61610(A)999解：' Xi N(0,92)= x Xi 9 N 0,1Y2i =1i =1i=1Z Xi

17、 9由t分布的定義有 身t 9J 81二、填空題1. 與總體同分布，且相互獨立的一組隨機變量2. 代表性和獨立性CT23，n4. 0.15.26. 2（n-1）第七章參數(shù)估計一、選擇題1.答案：D.1 n解因為二2 二 E（x2）e2（x），E?（X2）=A2Xi2，n 7n_所以，；?2 二E?（x2）_E?2（x）二丄、（Xi _x）2.n y2. 答案：A.L(a)最大,1 1 、， 解因為似然函數(shù)L（a） -，當a = max Xi時,a （maxXi）ii所以，a的最大似然估計為 maxVXX?,，Xn.3答案A .2 n 1" 121解似然函數(shù)L（丄，二）exp 2區(qū)-丄

18、），二.由 rlnL"y斗2兀 2yin L = 0，得二2 二 A2. P224.答案C.解在上面第5題中用取代X即可.5答案B.6答案C.7答案D.8答案D.9答案B.二、填空題:1.矩估計和最大似然估計;2丨【p(x)，丨I f(X；R ；ii13,0.2828;48解(1) p 的矩估計值 X =Xi =16/8=2，令 E(X)=3-4p = X ,id：得p的矩估計為 0=(3-X)/4=1/4.(2)似然函數(shù)為824L(p) = 一P(X 二 xj 二 P(X =0)P(X =1) P(X =2)P(X =3)=1= 4p(1-p)2(1-2p)4In L(p) =1

19、n4 6ln p 2ln(1 - p) 4ln(1 2p)628令I nL(p)0，二 12p2 -14p 3 = 0p 1 -p 1-2p二 p =(7 一 .13)/12.由 0：p：1/2，故 p=(7.13)/12 舍去所以p的極大似然估計值為0 = (7 - 13)/12二0.2828.4、1.71，0.00138 ；_送 X2解由矩估計有：E?(x)二x,E?(x2)= ，又因為 D(X)二 E(X2)-E(X)2，n所以 (XX= 17 1-75 1-7 1-65 175 =1.715:n且 3（x）二= 0.001385 (Xi -x)2 n i $5、？ = 2X 11 -X

20、n ' In Xii -4n；'二 In Xii=123解(1)的矩估計為:>'21E(X)=x (，-1)xdx =o樣本的一階原點矩為:所以有:？ = 2X 121 -X(2)的最大似然估計為:nnL(X1，Xn； ' W.I T)X乂 1)n(i【Xi)7id：nIn L = n ln(1) r In | X in二 In Xi =0i =1nn - 二 In Xi得：？=iTn' In Xii =16、1 nn解 E(X)E(Xi).n imn7、；712n(n -1)解注意到X1,X2,，Xn的相互獨立性, 1Xi -XX1 -X2 (n- 1)Xi -XnnE(Xi -X) = 0,D(Xi -X)二n -1n所以，Xi -X N(0,n -1E(|Xi -X|)=z|z22 5n dz因為：Ek、|Xi -X|.i 1n -1Qn,2Fj2cyn dzZ'22一 2:廠nkL E|Xi2-X| =knn -1<7n所以，k二”2n(n _1)8、. 992.16，1007.84；解這是分布未知，樣本容量較大，均值