特殊隨機變量起源及應(yīng)用

1、絡(luò)暫減矣求衣葬Harbin I nstitute of Technology課程設(shè)計說明書（論文）課程名稱：彳設(shè)計題目：特殊隨機變量起源及應(yīng)用院 系：航天學(xué)院控制科學(xué)與工程系班 級：1104104設(shè)計者：學(xué) 號：1110410418指導(dǎo)教師： 設(shè)計時間：20121211哈爾濱工業(yè)大學(xué)教務(wù)處特殊隨機變量起源及應(yīng)用摘要本文論述了幾類特殊隨機變量的起源、定義、及部分應(yīng)用。詳細介紹了離散型的二 項分布和泊松分布，連續(xù)型的正態(tài)分布，討論了其在系統(tǒng)有效性問題、能量供應(yīng)問題、 成績評價等方面的應(yīng)用，并詳細探討了二項分布的泊松逼近和正態(tài)逼近，論述了棣莫弗 拉普拉斯極限定理，列舉了該定理在實際中的應(yīng)用。正文一、

2、隨機變量定義進行試驗時，相對于試驗的實際結(jié)果而言，通常我們更感興趣的是有關(guān)試驗結(jié)果的 某些函數(shù)。比如，在擲兩枚骰子的游戲中，我們通常更關(guān)心兩枚骰子的點數(shù)之和，而不 是各枚骰子的具體值；同樣，在擲若干枚硬幣時，我們或許關(guān)心正面朝上的總數(shù)，而不 關(guān)心實際結(jié)果有關(guān)正面朝上或反面朝上的排列情況。這些感興趣的量是試驗結(jié)果的實值 函數(shù)，我們稱之為隨機變量。定義1.1稱定義在樣本空間上試驗結(jié)果的實值函數(shù)E（3）為一個隨機變量。定義1.2稱一元函數(shù)：F （x） =P （3） <x）（對任意實數(shù)x）為隨機變量 E（3） 的分布函數(shù)。二、離散型隨機變量若一個隨機變量最多有可列個可能取值，則稱這個隨機變量為離

3、散型的。2. 1伯努利分布和二項分布瑞士數(shù)學(xué)家雅克伯努利（Jacques Bernoulli,16541705）首次研究獨立重復(fù)試驗 （每 次成功率為p）。在他去世后的第 8年（1713年），他侄子尼克拉斯出版了伯努利的著作推測術(shù)。在書中，伯努利指出了如果這樣的試驗次數(shù)足夠大，那么成功次數(shù)所占的比 例以概率1接近p。雅克伯努利是這個最著名的數(shù)學(xué)家庭的第一代。在后來的三代里，一共有8到12個伯努利，在概率論、統(tǒng)計學(xué)和數(shù)學(xué)上做出了杰出的基礎(chǔ)性貢獻。2. 1 . 1伯努利分布和二項分布的定義在一次試驗中，事件 A出現(xiàn)的概率為 p,不出現(xiàn)的概率為 q=1-p。若以B記事件A 出現(xiàn)的次數(shù)，貝U B僅取0

4、,1兩值，相應(yīng)的概率分布為：0 = P 3=k= pkq1qk=0,1這個分布稱為伯努利分布，亦稱兩點分布。隨機變量3稱為伯努利隨機變量?，F(xiàn)在進行n次獨立重復(fù)試驗，以記事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則卩稱為參數(shù)為（n,p）的 二項隨機變量。其對應(yīng)的概率由二項分布給出:k k n _kb(k;n,p)=P卩=k= Cn p q ,k=0,1,2,? ,n記作E( n,p ) o伯努利分布可以看作 n=1的二項分布。2.1.2 二項分布的性質(zhì)二項分布具有以下性質(zhì)：(1 )若 E E( n,p),則 EE =np,Var E =npq.(2)若EE( n ,p),則當(dāng)k從0到n時，p E =k開始單調(diào)遞增，然后

5、單調(diào)遞減， 它在k= (n+1) p時取最大值。2.2泊松分布泊松分布是法國數(shù)學(xué)家S.D.泊松在他所著的關(guān)于概率論在訴訟、刑事審訊等方面應(yīng)用的書中提出的，這本書于1837年出版。近數(shù)十年來，泊松分布日益顯示其重要性，成了概率論中最重要的幾個分布之一。首先已經(jīng)發(fā)現(xiàn)許多隨機現(xiàn)象服從泊松分布。這種情況特別集中在兩個領(lǐng)域中。一是 社會生活，對服務(wù)的各種要求，諸如電話交換臺中來到的呼叫次數(shù)，公共汽車站來到的 乘客數(shù)等等都近似的服從泊松分布，因此在運籌學(xué)及管理科學(xué)中泊松分布占有重要地位；另一領(lǐng)域是物理科學(xué)，放射性分裂落到某區(qū)域的質(zhì)點數(shù)，熱電子的發(fā)射，顯微鏡下落在 某區(qū)域中的血球或微生物的數(shù)目等等都服從泊松

6、分布。2. 2 . 1泊松分布的定義一個取值為0, 1, 2之一的隨機變量 E稱為服從參數(shù)為 入的泊松隨機變量，如果對 某一入0，有kP E=k= Je：,k=0,1,2,?k!簡記作EP (入)2. 2 . 2泊松分布的性質(zhì)泊松分布具有以下性質(zhì)：(1) 泊松隨機變量的期望和方差都等于其參數(shù)入。(2) 當(dāng)n足夠大，p充分小，而使得np保持適當(dāng)?shù)拇笮r，以(n,p)為參數(shù)的二項分布可以近似看作參數(shù)為入的泊松分布，這個入值通常憑經(jīng)驗確定。2. 3應(yīng)用的例子例1系統(tǒng)有效性問題一個通訊系統(tǒng)由n個元件組成，各個元件是否工作正常是相互獨立的，并且各個元 件正常工作的概率為 p。若在系統(tǒng)中，至少有一半的元件

7、工作正常，那么整個系統(tǒng)有效。 我們討論的是當(dāng)p為何值時2k+1個元件的系統(tǒng)比2k-1個元件的系統(tǒng)更有效。正常工作的元件數(shù)是一個服從參數(shù)為(n,p)的二項分布的隨機變量。首先考慮5個元件的系統(tǒng)何時比 3個元件的系統(tǒng)更有效。5個元件的系統(tǒng)有有效的概率為3 3 、24 4 、5C5 P (1 - P)C5 P (1 - P) P而3個元件的系統(tǒng)有效的概率為223C3 p (1 - p) p因此，以下條件成立時， 5個元件的系統(tǒng)比3個元件的系統(tǒng)更有效:10p3(1 - p)2 5p4(1 - p) p5 3p2(1 - p) p3化簡為3(p-1)2(2p-1) 01考慮2k+1元件的系統(tǒng)，令 X表示

8、“前2k-1個元件中工作正常的元件數(shù)目”，那么P2k 1(系統(tǒng)有效)=PX _ k 1 PX 二k(1 -(1-p)2) PX 二k-1p2上式之所以成立是基于事件“2k+1個元件的系統(tǒng)有效”可以寫成下列三個互不相容的事件的并：(i) X> k+1;(ii )X=k而且剩下的2個元件中至少有一個工作正常；(iii )X=k -1而且剩下的2個元件都工作正常。由于卩2工作有效)=PX 一 k二 PX 二 k PX 一 k 1可得F2k 1(工作有效)- F2kJ(工作有效)二 PX 二 k -1p2 -(1 - p)2PX 二 kkJ kd 一 、k 2 一 、2k k 一= C2k4P

9、(1 - P)P (1 - P) C22P (1 - P) = c；k4Pk(1-p)kp-(1-p)10 二 p2例2能量供應(yīng)問題假定有n=10個工人間歇性的使用電力，我們的目的是估計所需要的總負荷。建立這樣一個簡化的數(shù)學(xué)模型：設(shè)想在任何一個給定的時刻每一個工人以同樣的概率p需要一個單位電力。如果他們是獨立的進行工作，則恰有k個工人同時需要電能的概率是b( k; n, p)。如果一個工人在一個小時內(nèi)平均有12分鐘需要電能，則我們令p=1/5。于是在同時有7個或者7個以上的工人需要電能的概率為b (7; 10, 0.2) +b(8; 10, 0.2)+ b (10; 10, 0.2) =0.0

10、008643584.如果最多只能供應(yīng) 6個單位電力，則超過負荷的概率為0.00086，即是1157分鐘內(nèi)約有1分鐘，亦即約20個工作時中可能有一分鐘超過負荷。2. 4其他離散型分布2.4.1退化分布隨機變量只取常數(shù)值 c,又稱單點分布。2.4.2幾何分布在事件A發(fā)生的概率為p的伯努利試驗中，若以 n記A首次出現(xiàn)的試驗次數(shù)，則 n 服從幾何分布：g(k;p)=P二k二qkp,k=1,2,|幾何分布具有無記憶性，在概率論及其應(yīng)用同樣具有很重要的作用。2.4.3超幾何分布對某批N件產(chǎn)品進行不放回抽樣檢查，若這批產(chǎn)品中有 M件次品，現(xiàn)從整批產(chǎn)品中隨機抽出n件產(chǎn)品，則在這n件產(chǎn)品中出現(xiàn)的次品數(shù)v是隨機變

11、量，它取值0, 1, 2，n,其概率分布為超幾何分布 .2.4.4巴斯卡分布若以E記第r次成功出現(xiàn)時的試驗次數(shù)，則E是隨機變量，取值r, r+1，其概率分布為巴斯卡分布.三、連續(xù)型隨機變量前面我們討論了離散型隨機變量的起源及其應(yīng)用，這類隨機變量的可能取值的個數(shù)或者是有限的，或者是可數(shù)無限的。然而，還存在一類隨機變量，它們的可能取值是無 限不可數(shù)的，例如測量誤差、分子運動速度、候車時的等待時間、降水量、風(fēng)速等。稱E為一個連續(xù)性隨機變量，如果存在一個定義在實數(shù)軸上的非負函數(shù)f,使得對于任一個實數(shù)集B,下式成立P：二 f (x)dx函數(shù)f稱為隨機變量E的概率密度函數(shù)，或密度函數(shù)。3. 1正態(tài)分布正態(tài)

12、分布是法國數(shù)學(xué)家亞伯拉罕棣莫弗在1733年引入的。他利用正態(tài)分布求出了有關(guān)拋擲硬幣試驗中隨機事件的概率的近似值。當(dāng)時稱正態(tài)分布為指數(shù)鐘形曲線。1809年，德國著名數(shù)學(xué)家高斯以正態(tài)分布作為奧工具預(yù)測天文學(xué)中星體的位置，這時才展現(xiàn) 了正態(tài)分布的應(yīng)用價值。此后，正態(tài)分布就稱為高斯分布。在十九世紀(jì)后半葉，大部分統(tǒng)計學(xué)家認為大部分數(shù)據(jù)的直方圖都具有高斯鐘形曲線 的形狀。事實上，大家認為正常的數(shù)據(jù)集合應(yīng)該具有這種形狀。由英國統(tǒng)計學(xué)家卡爾皮爾森開始，將咼斯曲線稱為正態(tài)曲線。3. 1 . 1正態(tài)分布的定義稱E為服從參數(shù)為a和c2正態(tài)分布的隨機變量，或者簡稱為正態(tài)隨機變量，如果的密度函數(shù)為(X a)2其中(r&

13、gt;0, a與b均為常數(shù)，相應(yīng)的分布函數(shù)為1F(X)=2匚(y -a)2- 2 e 2二 dy, _： -OQ這個分布就稱為正態(tài)分布，簡記為2N (a, )。特別的，當(dāng)a=0, b =1時，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 N( 0,1)，相應(yīng)的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別記為：(x) ： e 2 , - ： : x ：(x )及(x) o1°(xFy2x e 2 dy, _二：x :-QO11習(xí)慣上把服從正態(tài)分布的隨機變量稱為正態(tài)變量。3.1.2正態(tài)分布的性質(zhì)正態(tài)分布具有以下性質(zhì)：(1) 正態(tài)分布的參數(shù)a和分別代表了它的期望和方差。2 a2(2)若E祀(a, / ),則隨機變量 n服從N ( 0

14、, 1), 一般N (a,坊2)的分布函數(shù)值可由變換而得F(x)=:：(3)P( x )在x=a處達到極大，其圖形關(guān)于x=a對稱，b越小，分布越集中在x=a附近，b越大，分布越平坦。3.1.3正態(tài)分布的應(yīng)用例1進行一次考試，如果所有考生所得的分數(shù)可近似地表示為正態(tài)密度函數(shù)(換句 話說，各級考分的頻率圖近似的呈現(xiàn)正態(tài)密度的中性曲線。),則通常認為這次考試(就合理的劃分考生成績等級而言)是可取的。教師經(jīng)常用考試的分數(shù)去估計正態(tài)參數(shù) a和二2，然后把分數(shù)超過 a+ b的評為A等，分數(shù)在a到a+b之間的評為B等，分數(shù)在a- b 到a之間的評為 C等，分數(shù)在a-2 b到a- b之間評為D等，分數(shù)在a-2

15、 b以下者評為F 等。(稱這種方法為“曲線上”劃分等級法)由于巴一aP a V =P =1- ：（1） ： 0.1587a巴一aPa ：: a O =P01 -：.-：.： 0.3413<rt _aPa - ；：: a工 P-10 - ：. - ： -.:- 0.3413cr巴一aPa-2：a-匚 = P21 = ； 一 ；】0.1359Cj疋© a年P(guān) : a -2町=P2 - ；0.0228a所以，近似地說，這次考試中，能獲得A等的占16% B等的占34% C等的占34% D等的占14%成績很差的占2%Remark:t aP匕-a| cko) =P-k £ck申

16、k )-呦-k)=迪 k )-1，k=1,2,川k=1 時，P Ea co=逸 1) 1 =0.6826 k=2 時，P a c2o=邁 2) -1=0.9544k=3 時，P匕a c3=逸巧1 =0.9973在實際應(yīng)用中，經(jīng)常遵循的是3 6原則：P匕-a岸 呵=0.0027.例2考慮從A地到B地通過電訊傳送一個二值信號，0或1然而，數(shù)據(jù)通過電訊傳送過程中會遇到噪音干擾。為了減少傳送出錯的概率，當(dāng)傳送的信息為1時，將傳送值2,傳送的信息為0時，就傳送值-2。如果x, x= ± 2為在A地傳送的數(shù)值，R為在B地接收 到的數(shù)值，(R=x+N N為噪音干擾)，當(dāng)信號在B接收后，按如下解碼規(guī)

17、則：如果R> 0.5，則認為是1;如果R<0.5，則認為是0.如果噪音服從正分布，我們將要計算N為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量情形下的出錯概率。共有兩類錯誤。其一是信息1被錯誤的認為是 0;另一類是信息 0被錯誤的認為是1.第一類錯誤會在下列情形發(fā)生：如果信息是1,且2+N<0.5，而第二類錯誤會在下列情形發(fā)生：信息是 0，且-2+N > 0.5.因此，P錯誤 信息是 1 =PN ： -1.5 =1 - 門(1.5) ： 0.0668P錯誤 信息是 0 =PN 2.5 =1 - ：(2.5) ： 0.0062例3二項分布的正態(tài)近似1733 年當(dāng)n很大時，參數(shù)為(n, p)的二項分布

18、可以用正態(tài)分布來近似。棣莫弗在證明了 p=1/2的特殊情形。而后，在 1812年，拉普拉斯對一般的 p進行了證明。棣莫弗-拉普拉斯極限定理在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)每次成功的概率為p,記成功次數(shù)為E,則對任何a<b有：當(dāng)n?g 時Pa "HE b(b)-： aJnp(1 p)V '對于二項分布，我們已經(jīng)有了兩個可能的近似：當(dāng)n較大而p較小時，泊松近似是一個很好的近似；另外，可以證明，當(dāng)np (1-p)較大時，正態(tài)近似相當(dāng)好。以拋擲硬幣為例，記 E為拋40次均勻硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)。我們先用正態(tài)近似求出E =20的概率，在與精確值比較。注意到因為二項分布是離散型隨機變量，而正態(tài)分布為連續(xù)型隨機變量，因此最好在正態(tài)近似前將 P E =i寫為Pi -1/2< E <i+1/2，這里稱為連續(xù)性修正。這樣P=20 =P19.5 乞：:20.519.5 -20-2020.5 -20弔命樣幣巴_20:P-0.160.16(0.16) -0.16) ： 0.1272V10而精確解為:0.1254又如另外一個實際的應(yīng)用例子：某學(xué)院計