電路知識學(xué)習(xí)資料之電阻電路的等效變換

1、第二章 電阻電路的等效變換、教學(xué)基本要求兩個(gè)電路互為等效是指（ 1）兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)不同的電路在端子上有相同的電壓、電流關(guān)系，因而可以互相代換； （ 2）代換的效果是不改變外電路（或電路中未被代換的部分） 中的電壓、電流和功率。電路的等效變換的條件是互相代換的兩部分電路具有相同的伏安特性。等效的對象是 外電路（或電路中未被代換的部分）中的電壓、電流和功率。等效變換的目的是簡化電路。深刻地理解“等效變換”的思想，熟練掌握 “等效變換”的方法在電路分析中是很 重要的。本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容有：電路的等效變換概念，電阻的串聯(lián)和并聯(lián)，電阻的 Y 形連接和 形連接的等效變換，電壓源、電流源的串聯(lián)和并聯(lián)，實(shí)際電源的兩

2、種模型及其等效變換， 輸入電阻的概念及計(jì)算。內(nèi)容重點(diǎn)：電路等效的概念； 電阻的串、并聯(lián)；實(shí)際電源的兩種模型及其等效變換，輸入電阻的 概念及計(jì)算是本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。本章內(nèi)容以第一章闡述的元件特性、基爾霍夫定律為基礎(chǔ)，等效變換的思想和幾種等 效變換對所有線性電路都具有普遍意義，在后面章節(jié)中都要用到。難點(diǎn)：1. 等效變換的條件和等效變換的目的；2. 含有受控源的一端口電阻網(wǎng)絡(luò)的輸入電阻的求解。§21引言1電阻電路僅由電源和線性電阻構(gòu)成的電路稱為線性電阻電路（或簡稱電阻電路） 。2分析方法（1）歐姆定律和基爾霍夫定律是分析電阻電路的依據(jù)；（2）對簡單電阻電路常采用等效變換的方法 ,也稱化簡的方

3、法。本章著重介紹等效變換的概念。等效變換的概念在電路理論中廣泛應(yīng)用。所謂等效變 換，是指將電路中的某部分用另一種電路結(jié)構(gòu)與元件參數(shù)代替后，不影響原電路中未作變 換的任何一條支路中的電壓和電流。在學(xué)習(xí)中首先弄清等效變換的概念是什么？這個(gè)概念 是根據(jù)什么引出的？然后再研究各種具體情況下的等效變換方法。§2-2電路的等效變換1. 兩端電路（網(wǎng)絡(luò)）任何一個(gè)復(fù)雜的電路，向外引出兩個(gè)端鈕，且從一個(gè)端子流入的電流等于從另一端子 流出的電流，則稱這一電路為二端電路（或一端口電路）。若兩端電路僅由無源元件構(gòu)成，稱 無源兩端電路。兩端電路無源兩端電路2. 兩端電路等效的概念結(jié)構(gòu)和參數(shù)完全不相同的兩個(gè)兩端

4、電路B與C,當(dāng)它們的端口具有相同的電壓、電流關(guān)系（VCR）,則稱B與C是等效的電路。相等效的兩部分電路B與C在電路中可以相互代換，代換前的電路和代換后的電路對 任意外電路A中的電流、電壓和功率而言是等效的，即滿足：(a)(b)需要明確的是：上述等效是用以求解 A部分電路中的電流、電壓和功率，若要求圖（a）中B部分電 路的電流、電壓和功率不能用圖（b）等效電路來求，因?yàn)椋珺電路和C電路對A電路來 說是等效的，但B電路和C電路本身是不相同的。結(jié)論：（1）電路等效變換的條件： 兩電路具有相同的VCR ；（2） 電路等效變換的對象：未變化的外電路A中的電壓、電流和功率；（3） 電路等效變換的目的：化簡

5、電路，方便計(jì)算。2-109§2-3電阻的串聯(lián)、并聯(lián)和串并聯(lián)1. 電阻串聯(lián)(Series Conn ection of Resistors )電路特點(diǎn)+u電阻串聯(lián)圖示為n個(gè)電阻的串聯(lián)，設(shè)電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)，由基爾霍夫定律得電路特點(diǎn):(a) 各電阻順序連接，根據(jù)KCL知，各電阻中流過的電流相同；(b) 根據(jù)KVL ,電路的總電壓等于各串聯(lián)電阻的電壓之和，即：+- - - +4-(2)等效電阻+ w(a)(b)把歐姆定律代入電壓表示式中得：以上式子說明圖(a)多個(gè)電阻的串聯(lián)電路與圖(b)單個(gè)電阻的電路具有相同的VCR，是互為等效的電路。其中等效電阻為:兀=広+覽+ +底=£盡

6、 覽結(jié)論：1) 電阻串聯(lián)，其等效電阻等于各分電阻之和；2) 等效電阻大于任意一個(gè)串聯(lián)的分電阻。(3)串聯(lián)電阻的分壓若已知串聯(lián)電阻兩端的總電壓，求各分電阻上的電壓稱分壓。由圖(a)和圖(b)知:= RJ =盡上-=昱Lf滿足5 :：氣尺:址:址結(jié)論：電阻串聯(lián)，各分電阻上的電壓與電阻值成正比，電阻值大者分得的電壓大。因此串連 電阻電路可作分壓電路。例2- 1求圖示兩個(gè)串聯(lián)電阻上的電壓。解：由串聯(lián)電阻的分壓公式得:(注意U2的方向)(4)功率各電阻的功率為：所以：/樂：冕=耳乂:&:刃總功率：廠_-西R. t幾f勺Rji=R/ +R/十+ &/ + - -FJ?/ =2+ 4十

7、63;從上各式得到結(jié)論:1)電阻串連時(shí)，各電阻消耗的功率與電阻大小成正比，即電阻值大者消耗的功率大;2)等效電阻消耗的功率等于各串連電阻消耗功率的總和2. 電阻并聯(lián)(Parallel Connection)(1)電路特點(diǎn)圖示為n個(gè)電阻的并聯(lián)，設(shè)電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)，由基爾霍夫定律得電路特點(diǎn):(a) 各電阻兩端分別接在一起，根據(jù) KVL 知, 各電阻兩端為同一電壓；(b) 根據(jù)KCL，電路的總電流等于流過各并聯(lián) 電阻的電流之和，即：(2)等效電阻(町把歐姆定律代入電流表示式中得:/ = £ 4- / > + - 4-=+ G =1/R為電導(dǎo)以上式子說明圖（a）多個(gè)電阻的并聯(lián)電路

8、與圖（b）單個(gè)電阻的電路具有相同的 VCR，是互 為等效的電路。最常用的兩個(gè)電阻并聯(lián)時(shí)求等效電阻的公式:R _也憶_盡憶 趙 1/1?! + 1/R,盡 + 凡其中等效電導(dǎo)為： = q 4 q + q =2因此有：=G =+丄十十丄即 R 兀吧&&比"結(jié)論：1）電阻并聯(lián)，其等效電導(dǎo)等于各電導(dǎo)之和且大于分電導(dǎo)；2）等效電阻之倒數(shù)等于各分電阻倒數(shù)之和，等效電阻小于任意一個(gè)并聯(lián)的分電阻。3）并聯(lián)電阻的電流分配若已知并聯(lián)電阻電路的總電流，求各分電阻上的電流稱分流。由圖（a）和圖（b）知:即:滿足：，譏 ：f ：人 仃：q：仃：對于兩電阻并聯(lián)，有:1/焉+個(gè)-耳+耳結(jié)論：電阻并

9、聯(lián)，各分電阻上的電流與電阻值成反比，電阻值大者分得的電流小。因此并連電阻電路可作分流電路（4）功率各電阻的功率為:= q碼理二q禺3 pjl=gau所以:總功率:P = Gu1 = (G1G1十晉&不十十GJ/二G”+G” + G諛+&評二£+卑+匕從上各式得到結(jié)論：1）電阻并連時(shí)，各電阻消耗的功率與電阻大小成反比，即電阻值大者消耗的功率小;2）等效電阻消耗的功率等于各并連電阻消耗功率的總和。3. 電阻的串并聯(lián)電路中有電阻的串聯(lián)，又有電阻的并聯(lián)的電路稱電阻的串并聯(lián)電路。電阻相串聯(lián)的部 分具有電阻串聯(lián)電路的特點(diǎn)，電阻相并聯(lián)的部分具有電阻并聯(lián)電路的特點(diǎn)。例2 2 求圖示電

10、路的11 ,14 ,U41A9hR< h+4-1 二/M)2R2R中2R冋2R心解：用分流方法做討=_¥宀討一損7=-£門囚=3 VI丄L R用分壓方法做E尋引/ v從以上例題可得求解串、并聯(lián)電路的一般步驟：（1）求出等效電阻或等效電導(dǎo)；（2）應(yīng)用歐姆定律求出總電壓或總電流；（3）應(yīng)用歐姆定律或分壓、分流公式求各電阻上的電流和電壓。因此，分析串并聯(lián)電路的關(guān)鍵問題是判別電路的串、并聯(lián)關(guān)系。判別電路的串并聯(lián)關(guān)系一般應(yīng)掌握下述 4點(diǎn)：（1）看電路的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。若兩電阻是首尾相聯(lián)就是串聯(lián)，是首首尾尾相聯(lián)就是并聯(lián)。（2）看電壓電流關(guān)系。若流經(jīng)兩電阻的電流是同一個(gè)電流，那就是串聯(lián)；

11、若兩電組上 承受的是同一個(gè)電壓，那就是并聯(lián)。（3）對電路作變形等效。如左邊的支路可以扭到右邊，上面的支路可以翻到下面，彎 曲的支路可以拉直等；對電路中的短線路可以任意壓縮與伸長；對多點(diǎn)接地可以用短路線 相連。一般，如果真正是電阻串聯(lián)電路的問題，都可以判別出來。（4）找出等電位點(diǎn)。對于具有對稱特點(diǎn)的電路，若能判斷某兩點(diǎn)是等電位點(diǎn)，貝肪根據(jù) 電路等效的概念，一是可以用短接線把等電位點(diǎn)聯(lián)起來；二是把聯(lián)接等電位點(diǎn)的支路斷開（因支路中無電流），從而得到電阻的串并聯(lián)關(guān)系。§2-4電阻的星形聯(lián)接與三角形聯(lián)接的等效變換（ 丫變換）1.電阻的 , 丫連接CRi盡i ba如圖所示的橋形結(jié)構(gòu)電路，電路中各

12、個(gè)電阻之間既不是串聯(lián)又不是并聯(lián)，而是丫連接結(jié)構(gòu)，其中Ri、R3和R5, R2、R4和R5都構(gòu)成如圖（a）所示的結(jié)構(gòu)（也稱n形電路）， 而Ri、R2和R5，R3、R4和R5都構(gòu)成如圖（b）所示的丫結(jié)構(gòu)（也稱T形電路）。i1 o2363（a） 形網(wǎng)絡(luò)（b） 丫形網(wǎng)絡(luò) ，丫結(jié)構(gòu)的變形:n形電路（型）T形電路（Y、星型）圖示表明：三個(gè)電阻分別接在每兩個(gè)端鈕之間就構(gòu)成 （ n形電路。三個(gè)電阻一端共同 連接于一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，而電阻的另一端接到3個(gè)不同的端鈕上，就構(gòu)成了 丫（T）形電路。因此, 、丫電路為三端電路，這兩個(gè)電路當(dāng)它們的電阻滿足一定的關(guān)系時(shí)，能夠相互等效變換。 2. 丫電路的等效變換所謂電路等效變換

13、為丫電路，就是已知電路中的三個(gè)電阻Rl2、R23和R31，通過 變換公式求出丫電路的三個(gè)電阻Ri、R2和R3(a)(b)2-710根據(jù)電路的等效條件，為使圖（a）和圖（b）兩電路等效，必須滿足如下端口條件：W12A=12¥23i=M23V Je?u=JIjiy如電路中用電壓表示電流，丫電路中用電流表示電壓，根據(jù) KCL和KVL得如下關(guān)(2)系式:(1)由式（2）解得:(3)2-1025根據(jù)等效條件，比較式（3）與式（1）的系數(shù)，得Y-電路的變換條件:g12=G+q + G斗上=耳+瑪亠盡產(chǎn)凡十盡十-21Kj.=均+耳十類似可得到由電路的變換條件:十十6局屍1131廠1盡?十十&

14、;或也=盡上十兔）+鳳1二6尸GslGi3+G +盡=3315氐十礙+屆1簡記方法:R = 相鄰電阻乘積r _ Y相鄰電導(dǎo)乘積Y NRaaZffT特例：若三個(gè)電阻相等（對稱），則有：Ra =3RyL R1覽丄鷗3需要注意的是：（1）丫電路的等效變換屬于多端子電路的等效，在應(yīng)用中，除了正確使用電阻變 換公式計(jì)算各電阻值外，還必須正確連接各對應(yīng)端子。（2）等效是對外部（端鈕以外）電路有效，對內(nèi)不成立。（3）等效電路與外部電路無關(guān)。（4）等效變換用于簡化電路，因此注意不要把本是串并聯(lián)的問題看作 、丫結(jié)構(gòu)進(jìn)行 等效變換，那樣會使問題的計(jì)算更復(fù)雜例2-3:求圖示橋T電路中電壓源中的電流，其中 E = 1

15、3V，R = 2kQEIkHR所以13/11WmA本題也可以把圖（b）中虛線框內(nèi)丫聯(lián)接的三個(gè)1kQ電阻變換成？聯(lián)接，如圖（c）所示R解：利用電阻電路的D 丫變換，把圖中虛線框內(nèi)的？聯(lián)接的三 個(gè)1kQ電阻變換成丫聯(lián)接，如圖（a）所示，求得等效電阻為：（b）（c）§2 5電壓源、電流源的串聯(lián)和并聯(lián)電壓源、電流源的串聯(lián)和并聯(lián)問題的分析是以電壓源和電流源的定義及外特性為基礎(chǔ), 結(jié)合電路等效的概念進(jìn)行的。1. 理想電壓源的串聯(lián)和并聯(lián)(1) 串聯(lián)<b) *圖示為n個(gè)電壓源的串聯(lián)，根據(jù) KVL得總電壓為：M產(chǎn)抵1+%+屮撿=1雖注意：式中Usk的參考方向與Us的參考方向一致時(shí)，Usk在式中取

16、 ?！碧?，不一致時(shí)取 ”號。根據(jù)電路等效的概念，可以用圖(b)所示電壓為Us的單個(gè)電壓源等效替代圖(a中 的n個(gè)串聯(lián)的電壓源。通過電壓源的串聯(lián)可以得到一個(gè)高的輸出電壓。(2) 并聯(lián)就"譏f心+-一笫效電踣(a) "7b) _(a)(b)圖示為2個(gè)電壓源的并聯(lián)，根據(jù) KVL得：上式說明只有電壓相等且極性一致的電壓源才能并聯(lián)，此時(shí)并聯(lián)電壓源的對外特性與 單個(gè)電壓源一樣，根據(jù)電路等效概念，可以用(b)圖的單個(gè)電壓源替代(a)圖的電壓源 并聯(lián)電路。(1) 不同值或不同極性的電壓源是不允許串聯(lián)的，否則違反KVL(2) 電壓源并聯(lián)時(shí)，每個(gè)電壓源中的電流是不確定的。2. 電壓源與支路的串

17、、并聯(lián)等效(1)串聯(lián)+ “圖(a)為2個(gè)電壓源和電阻支路的串聯(lián)，根據(jù) KVL得端口電壓、電流關(guān)系為:H = Hjl+r + njl + r = (if51+HJ2) + (fil + R£)f = KJ + £/根據(jù)電路等效的概念，圖(a)電路可以用圖(b)所示電壓為us的單個(gè)電壓源和電阻為R的 單個(gè)電阻的串聯(lián)組合等效替代圖(a)，其中叫=(%+%)R=Rl+R1)(2)并聯(lián)圖(a)為電壓源和任意元件的并聯(lián)，設(shè)外電路接電阻R，根據(jù)KVL和歐姆定律得端口電 壓、電流為：n = us I = u/K即:端口電壓、電流只由電壓源和外電路決定，與并聯(lián)的元件無關(guān)，對外特性與圖(b)所

18、示電壓為us的單個(gè)電壓源一樣。因此，電壓源和任意元件并聯(lián)就等效為電壓源。3. 理想電流源的串聯(lián)和并聯(lián)(1)并聯(lián)(a)(b> '圖為n個(gè)電流源的并聯(lián)，根據(jù)KCL得總電流為：盅=打+打+匚=另&此注意：式中isk與is的參考方向一致時(shí)，isk在式中取 牛”號，不一致時(shí)取 ”號。根據(jù)電路等效的概念，可以用圖(b)所示電流為is的單個(gè)電流源等效替代圖(a)中的n個(gè) 并聯(lián)的電流源。通過電流源的并聯(lián)可以得到一個(gè)大的輸出電流。(2)串聯(lián)圖示為2個(gè)電流源的串聯(lián)，根據(jù)KCL得： £=如=珀上式說明只有電流相等且輸出電流方向一致的電流源才能串聯(lián) ，此時(shí)串聯(lián)電流源的 對外特性與單個(gè)電

19、流源一樣，根據(jù)電路等效概念，可以用 (b)圖的單個(gè)電流源替代(a)圖的電 流源串聯(lián)電路。注意：(1)不同值或不同流向的電流源是不允許串聯(lián)的，否則違反KCL(2)電流源串聯(lián)時(shí)，每個(gè)電流源上的電壓是不確定的4. 電流源與支路的串、并聯(lián)等效1)并聯(lián)&<b)圖(a)為2個(gè)電流源和電阻支路的并聯(lián)，根據(jù) KCL得端口電壓、電流關(guān)系為:i =Zn +m/Z4- +=站 + 站 + (1/7 + 1/?J)M = 上式說明圖(a)電路的對外特性與圖(b)所示電流為is的單個(gè)電流源和電阻為R的單個(gè)電 阻的并聯(lián)組合一樣，因此，圖(a)可以用圖(b)等效替代，其中m /q 叫(2)串聯(lián)圖(a)為電流源

20、和任意元件的串聯(lián)，設(shè)外電路接電阻R，根據(jù)KVL和歐姆定律得端口電壓、電流為：胃打=u R即：端口電壓、電流只由電流源和外電路決定，與串聯(lián)的元件無關(guān)，對外特性與圖(b) 所示電流為is的單個(gè)電流源一樣。因此，電流源和任意元件串聯(lián)就等效為電流源。§2-6實(shí)際電壓源和電流源的等效變換圖示為實(shí)際電壓源、實(shí)際電流源的模型，它們之間可以進(jìn)行等效變換。實(shí)際電壓源實(shí)際電流源由實(shí)際電壓源模型得輸出電壓u和輸出電流I滿足關(guān)系：u = us-R.由實(shí)際電流源模型得輸出電壓u和輸出電流I滿足關(guān)系：i = is -G.U比較以上兩式，如令:貝U實(shí)際電壓源和電流源的輸出特性將完全相同。因此，根據(jù)電路等效的概念，

21、當(dāng)上述 兩式滿足時(shí)，實(shí)際電壓源和電流源可以等效變換。變換的過程為：電壓源變換為電流源：其中電流源變換為電壓源:其中需要注意的是：(1) 變換關(guān)系，即要滿足上述參數(shù)間的關(guān)系，還要滿足方向關(guān)系：電流源電流方向與電 壓源電壓方向相反。(2) 電源互換是電路等效變換的一種方法。 這種等效是對電源以外部分的電路等效， 對 電源內(nèi)部電路是不等效的。表現(xiàn)為：如圖示開路的電壓源中無電流流過 Ri；開路的電流源可以有電流流過并聯(lián)電導(dǎo) Gi電壓源短路時(shí)，電阻中Ri有電流；電流源短路時(shí)，并聯(lián)電導(dǎo)Gi中無電流。(3) 理想電壓源與理想電流源不能相互轉(zhuǎn)換，因?yàn)閮烧叩亩x本身是相互矛盾的， 不會有相同的VCR。(4) 電

22、源等效互換的方法可以推廣應(yīng)用，如把理想電壓源與外電阻的串聯(lián)等效變換成理 想電流源與外電導(dǎo)的并聯(lián)，同樣可把理想電流源與外電阻的并聯(lián)等效變換為電壓源形式。例210:利用電源等效互換簡化電路計(jì)算圖示電路中的電流I。解：把圖中電流源和電阻的并聯(lián)組合變換為電壓源和電阻的串聯(lián)組合(注意電壓源的極性)15V從中解得：14例2 11:利用電源等效互換計(jì)算圖示電路中的電壓U解：把5Q電阻作為外電路，10V電壓源和5Q電阻的串聯(lián)變換為2A電流源和5Q電 阻的并聯(lián),6A電流源和10V電壓源的串聯(lián)等效為6A電流源，如圖所示。U 5/«fl貝y t7 = (2+6)x(5/5) = 20r例2- 12:把圖示

23、電路轉(zhuǎn)換成一個(gè)電壓源和一個(gè)電阻的串連組合解:+.KIV(Biovf"| 6A(a)圖a電路的轉(zhuǎn)換過程如下圖所示:圖b電路的轉(zhuǎn)換過程如下圖所示:例2-13:計(jì)算圖示電路中的電流I解：利用電源等效變換，把電路依次轉(zhuǎn)換為圖（&）和（b）(a)(b)因此20例2 14:求圖示電路中的電流ii+ h+9R1也勺解：利用電源等效變換，把電路依次轉(zhuǎn)換為圖（&）和（b）R+1% (R/RM颶(b)由KVL得：人人十申：花，人;.從中解得:本題的求解說明：受控源和獨(dú)立源一樣可以進(jìn)行電源轉(zhuǎn)換；但轉(zhuǎn)換過程中要特別注意 不要把受控源的控制量變換掉了。例 2 15：把圖示電路轉(zhuǎn)換成一個(gè)電壓源和一個(gè)電阻的串連。lld>lldl r-»1/_解：利用電源等效變