淺談求導(dǎo)的方法

1、淺談求導(dǎo)的方法12級(jí)專接本 杜金鳳 摘要 導(dǎo)數(shù)作為一種研究數(shù)學(xué)知識(shí)的工具，在求單調(diào)性、最值、切線等方面發(fā)揮了獨(dú)特的作用，并且在高等數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要的地位。本文對(duì)求導(dǎo)方法進(jìn)行了簡(jiǎn)單的歸納與總結(jié)。 關(guān)鍵字 導(dǎo)數(shù) 高等數(shù)學(xué) 方法 一引言導(dǎo)數(shù)是初等數(shù)學(xué)于高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，是高考的熱點(diǎn)，同樣在高等數(shù)學(xué)中，求導(dǎo)問題也是一個(gè)非常重要的內(nèi)容。它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必不可收的基礎(chǔ)，是對(duì)函數(shù)形狀研究的重要工具。因此，本文對(duì)求導(dǎo)方法進(jìn)行了歸納，然后通過一些實(shí)例具體的介紹求導(dǎo)的方法。二導(dǎo)數(shù)的定義1.1 導(dǎo)數(shù)的定義定義 1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義?？紤]在點(diǎn)附近（除點(diǎn)以外）有定義的新的函數(shù)如果當(dāng)時(shí)，有極限，則說(shuō)在點(diǎn)是可導(dǎo)的，或

2、者說(shuō)在點(diǎn)是有導(dǎo)數(shù)的。而這個(gè)極限值，便稱為在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為，即=如果引入記號(hào) ，分別稱之為自變量和函數(shù)的改變量，則有 定義 2 （i）設(shè)函數(shù)在一個(gè)一點(diǎn)為右端點(diǎn)的閉區(qū)間上有定義。若極限 存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)左可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限值為在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)，記為。（ii）設(shè)函數(shù)在一個(gè)一點(diǎn)為左端點(diǎn)的閉區(qū)間上有定義。若極限 存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)右可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限值為在點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)，記為。由左右極限與極限的關(guān)系易得，在點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件是，它在既左可導(dǎo)又右可導(dǎo)，而且左右導(dǎo)數(shù)相等。此時(shí)定義 3 設(shè)是使可導(dǎo)的點(diǎn)組成的數(shù)集。因此，對(duì)于每一個(gè)，在點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)。在上定義一個(gè)新的函數(shù)，使它在屬于的每一點(diǎn)處的函數(shù)值就是。這個(gè)函數(shù)稱為的

3、導(dǎo)函數(shù)，記為。易見。在大多數(shù)情況下，人們都把導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)。三求導(dǎo)的方法1 顯函數(shù)的求導(dǎo)法 2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算(1) 若函數(shù)和在點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)也可導(dǎo). (2) 若函數(shù)和在點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)也可導(dǎo)，且 (3) 若函數(shù)和在點(diǎn)可導(dǎo)，且，則在點(diǎn)也可導(dǎo)，且例1設(shè)，求.解： =.例2 求.，求. 解： .例3 ，求。解 例4 設(shè)，求解 2.2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法與反函數(shù)求導(dǎo)法則 設(shè)在點(diǎn)可導(dǎo)，在點(diǎn)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo) (1) 一般的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法例設(shè)，求解：將看做和的復(fù)合函數(shù)，故 注 必須指出： (2) 反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)在x處有不等于零的導(dǎo)數(shù)，且反函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處連續(xù)，則存在，且即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接

4、函數(shù)倒數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。 例1 設(shè)，求解 的反函數(shù)為 而 所以 即例2 設(shè)，求。解 的反函數(shù)，而，則即 2.3 基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式(1)（c為常數(shù)）(2)（為任意常數(shù)）(3)(4)，(5)，(6)，(7)2隱函數(shù)求導(dǎo)法 由方程所確定的y于x的函數(shù)關(guān)系稱為隱函數(shù)。把隱函數(shù)化為顯函數(shù)，稱為隱函數(shù)的顯化。例如從方程中。但有時(shí)隱函數(shù)的顯化有困難，甚至有時(shí)變量不一定能用x直接表示。例如。所以不管一函數(shù)能否顯化，我們希望有一種的方法直接有方程求出它所確定的應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。要求方程所確定的隱函數(shù)y（x）的導(dǎo)數(shù)，只要將視為的函數(shù),利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，對(duì)方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得到一個(gè)關(guān)于，解出就可以了。例1 由方

5、程確定是的函數(shù)，求。解 將方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，解出，得例2 由方程確定的y是x的函數(shù)，求 解 將方程兩邊對(duì)求導(dǎo)， 解出，得，令x=0.由知，故. 例3 由方程確定的是的函數(shù)，求其曲線上點(diǎn)（-2,2）處的切線方程。解 將方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得解出，得 ，由，于是點(diǎn)（-2,2）處的切線方程是 即 .3 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法 參數(shù)方程，（存在反函數(shù)），則為的復(fù)合函數(shù)，所以：例1已知星型線的參數(shù)方程為 ，求。解 因?yàn)椋?， 所以 。例2 求曲線，在對(duì)應(yīng)t=e處的切線方程和法線方程。解 由 所以切線斜率 ，法線斜率 當(dāng)時(shí)故切線方程為 ，即，即例3 求由擺線的參數(shù)方程 t為參數(shù)所確定的函數(shù)導(dǎo)數(shù)。 解

6、因?yàn)樗?4對(duì)數(shù)求導(dǎo)法（利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）對(duì)于一些特殊類型的函數(shù)，它既不是冪函數(shù)，也不是指數(shù)函數(shù)，稱為冪指函數(shù)，我們利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則來(lái)求例1 求的導(dǎo)數(shù)。解 方法1 將方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù) 兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)得 ， 所以 方法2 例2 設(shè)為實(shí)數(shù)，求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解： 因?yàn)榭梢钥醋髋c的復(fù)合函數(shù)，故 例3 設(shè)，求 解 如直接利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法公式求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將會(huì)很復(fù)雜，為此先將方程兩邊取對(duì)數(shù)，得 兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 于是得 5分段函數(shù)的求導(dǎo)法 對(duì)分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，在分段點(diǎn)處必須用導(dǎo)數(shù) 定義來(lái)求，而在每段內(nèi)仍可用初等函數(shù)求導(dǎo)法則來(lái)求導(dǎo)。分段點(diǎn)出極限問題，歸納為該點(diǎn)處在左、右極限兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否一致以及該

7、點(diǎn)處是否連續(xù)的問題。例1 設(shè)函數(shù) (m為整數(shù))，試問：(1) 為何值時(shí)，在連續(xù)； (2) 為何值時(shí)，在可導(dǎo)； (3) 為何值時(shí)，在連續(xù)；解 (1) 當(dāng)時(shí)，。因此，對(duì)一切正整數(shù)，在連續(xù)。(2) 當(dāng)s時(shí)即,;當(dāng)m=1 , 不存在。故正整數(shù)時(shí)，f(x)在處可導(dǎo)且。(1)由(2) 知當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，=0-0=0=，故正整數(shù)時(shí)在連續(xù)。例2 設(shè)， 。求，而，有界，故得到=0例3 函數(shù)在處是否可導(dǎo)？解: 因?yàn)椋?， 所以不存在 ，即在處不可導(dǎo).例4 討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性于連續(xù)性，如圖1 所示解： 連續(xù)性： ，從而.又，故.所以在連續(xù).可導(dǎo)性：因?yàn)樵谔幍淖髮?dǎo)數(shù)為 f(x)在x=0處的右導(dǎo)數(shù)為所以在的左右導(dǎo)數(shù)存在

8、但不相等，于是在處不可導(dǎo).6 利用一階微分形式不變性求導(dǎo)設(shè)函數(shù) 根據(jù)微分的定義, 當(dāng) 是自變量時(shí), 函數(shù)的微分是.如果不是自變量, 而是的可導(dǎo)函數(shù) , 則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 , 于是, 復(fù)合函數(shù) 的微分為 。由于所以。由此可見, 不論 是自變量還是函數(shù)( 中間變量) , 函數(shù)的微分總是保持同一形式, 這一性質(zhì)稱為一階微分形式不變性。有時(shí), 利用一階微分形式不變性求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較方便。例1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 所以例2 方程確定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解 對(duì)方程兩邊求微分，得 ，即 ，所以7 綜合求導(dǎo)法 有些復(fù)雜的函數(shù)在求導(dǎo)時(shí), 常常要將定義、公式等結(jié)合起來(lái)才能正確地求解。例14 為可導(dǎo)函數(shù),，求 。分析: 首先是可導(dǎo)函數(shù)， 可以用求導(dǎo)法則求導(dǎo),其次 不一定是可導(dǎo)函數(shù)， 所以就不能再用求法則對(duì) 求導(dǎo)， 而要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求。也就是說(shuō)常常要將定義法、求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則結(jié)合起來(lái)求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。解 由于，所以，從而 例2 ，求。分析: 直接求導(dǎo), 不僅運(yùn)算量大, 而且不容易發(fā)現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)的規(guī)律, 所以求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí), 應(yīng)先盡量化簡(jiǎn), 再利用求導(dǎo)公式、運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo)。 解 由于 所以 結(jié)束語(yǔ) 導(dǎo)數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，涉及到高等數(shù)學(xué)中的各個(gè)方面。本文就導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)方法的有關(guān)知識(shí)在高等數(shù)學(xué)中進(jìn)行了探討。闡述了求導(dǎo)方法的有關(guān)知識(shí)來(lái)研究各種在高等數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的