解析幾何 存在性問題(含答案)

1、解析幾何存在性問題1、已知橢圓 的離心率為，過的左焦點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為.（）求橢圓的方程；（）設(shè)的右焦點(diǎn)為，在圓上是否存在點(diǎn)，滿足,若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）;若不存在，說明理由.解：（1）因?yàn)橹本€的方程為，令，得，即1分 ，又， ， 橢圓的方程為.分（2）存在點(diǎn)P，滿足 圓心到直線的距離為，又直線被圓截得的弦長為，由垂徑定理得，故圓的方程為.分設(shè)圓上存在點(diǎn)，滿足即，且的坐標(biāo)為，則， 整理得，它表示圓心在，半徑是的圓。 分故有，即圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)。圓上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，滿足.分2、平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：（）的離心率為，焦點(diǎn)為、，直線：經(jīng)過焦點(diǎn)，并與相交于、兩點(diǎn)

2、求的方程；在上是否存在、兩點(diǎn)，滿足，？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由解：依題意，2分，由得3分，橢圓的方程為4分（方法一）若存在滿足條件的直線，設(shè)直線的方程為5分由6分，得7分，（*）設(shè)，則，9分由已知，若線段的中點(diǎn)為，則，10分，即，由，解得13分時(shí)，與（*）矛盾，不存在滿足條件的直線14分（方法二）假設(shè)存在， ，線段的中點(diǎn)為，則，5分由兩式相減得：7分，代入、化簡得： 由已知，則，9分由得，由解得，即11分直線CD的方程為：，聯(lián)立得 13分，方程（組）無解，不存在滿足條件的直線14分3、在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn) 若點(diǎn)C滿足 點(diǎn)C的軌跡與拋物線：交于A、B兩點(diǎn)(1

3、)求證：；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)使得過點(diǎn)P直線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，并以該弦DE為直徑的圓都過原點(diǎn), 若存在，請(qǐng)求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)由知點(diǎn)C的軌跡是M、N兩點(diǎn)所在的直線，故點(diǎn)C的軌跡方程是, 即由, , 故.6分(2)法一：存在點(diǎn) 滿足條件。證明如下：由題意知：弦所在的直線的斜率不為零，設(shè)弦所在的直線方程為：代入得，, 故以AB為直徑的圓都過原點(diǎn) .10分法二：若存在這樣的點(diǎn)P滿足條件，設(shè). 則有得又 由D、P、E三點(diǎn)共線可得當(dāng)時(shí)， 此時(shí) 可驗(yàn)證當(dāng)且時(shí)也符合條件，所以存在點(diǎn)滿足條件. 設(shè)弦AB的中點(diǎn)為則，弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為：，消去k得4、如圖（

4、6），設(shè)點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且最小值為（1）求橢圓的方程；（2）若動(dòng)直線均與橢圓相切，且，試探究在軸上是否存在定點(diǎn)，點(diǎn)到的距離之積恒為1？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）設(shè)，則有，-1分 -2分由最小值為得，-3分橢圓的方程為-4分（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為-5分把的方程代入橢圓方程得直線與橢圓相切，化簡得同理，-8分，若，則重合，不合題意，-9分設(shè)在軸上存在點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離之積為1，則，即，-10分把代入并去絕對(duì)值整理，或者前式顯然不恒成立；而要使得后式對(duì)任意的恒成立則，解得；-12分當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為和，-13分定點(diǎn)到直線的

5、距離之積為； 定點(diǎn)到直線的距離之積為； 綜上所述，滿足題意的定點(diǎn)為或 -14分5、已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，且經(jīng)過定點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓求橢圓的方程；若圓與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；是否存在定圓，使得圓與圓恒相切？若存在，求出定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解：由橢圓定義得， 1分即， 2分，又， . 3分故橢圓的方程為 4分圓心到軸距離，圓的半徑，若圓與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則有，即，化簡得. 6分點(diǎn)在橢圓上，代入以上不等式得：，解得：. 8分又， ，即點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是. 9分存在定圓與圓恒相切，其中定圓的圓心為橢圓的左焦點(diǎn)，半徑為橢圓的長軸長4.

6、 12分由橢圓定義知，即，圓與圓恒內(nèi)切. 14分6、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓 上，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，且與交于點(diǎn).(1) 求橢圓的方程；(2) 是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）; 若不存在，說明理由.（1）橢圓的方程為. 3分 (2)解法1：設(shè)點(diǎn),，則，三點(diǎn)共線, （. 4分, 化簡得：. 5分由,即得. 6分拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即. 同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為 . 8分 設(shè)點(diǎn)，由得：，而，則 . 9分代入得 ，則，代入 得 ，即點(diǎn)的軌跡方程為. 11分若 ，則點(diǎn)在橢圓上，而點(diǎn)又在直線上

7、，12分直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn),直線與橢圓交于兩點(diǎn). 13分滿足條件 的點(diǎn)有兩個(gè). 14分解法2：設(shè)點(diǎn),，由,即得. 4分拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即. 5分， .點(diǎn)在切線上, . 6分同理， . 綜合、得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.經(jīng)過的直線是唯一的，直線的方程為， 9分點(diǎn)在直線上， .點(diǎn)的軌跡方程為. 11分若 ，則點(diǎn)在橢圓上，又在直線上，12分直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn),直線與橢圓交于兩點(diǎn). 13分滿足條件 的點(diǎn)有兩個(gè). 14分解法3：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為， 由消去，得. 4分設(shè),則. 5分由,即得. 6分拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.7分， . 同理,得拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為. 由

8、解得. 10分,點(diǎn)在橢圓上. 11分化簡得.(*) 由, 可得方程(*)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. 滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè). 14分7、已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為,且雙曲線經(jīng)過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)A在雙曲線C上，點(diǎn)B在直線上，且，是否存在以點(diǎn)O為圓心的定圓恒與直線AB相切？若存在，求出該圓的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）解法一：依題意知雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸，設(shè)其方程為點(diǎn)在雙曲線C上， -3分又，所求雙曲線C的方程為-4分解法二：依題意知雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸，設(shè)其方程為-1分點(diǎn)在雙曲線C上， -又，-代入去分母整理得：，又，解得-3分所求雙曲線C的方程為 -4分(2) 設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，其中或.-5分當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，即-6分若存在以點(diǎn)O為圓心的定圓與AB相切，則點(diǎn)O到直線AB的距離必為定值，設(shè)圓心O到直線AB的距離為，則.-7分， ， ，-8分又，故=-11分此時(shí)直線AB與圓相切，-12分當(dāng)時(shí)，代入雙曲線C的方程并整理得，即，解得，此時(shí)直線AB：.也